Rovnica je rovnosť, v ktorej je neznámy člen – x. Jeho zmysel treba nájsť.

Neznáma veličina sa nazýva koreň rovnice. Riešenie rovnice znamená nájsť jej koreň a na to potrebujete poznať vlastnosti rovníc. Rovnice pre ročník 5 nie sú ťažké, ale ak sa ich naučíte správne riešiť, nebudete s nimi mať v budúcnosti problémy.

Hlavná vlastnosť rovníc

Keď sa obe strany rovnice zmenia o rovnakú hodnotu, bude to naďalej rovnaká rovnica s rovnakým koreňom. Poďme vyriešiť niekoľko príkladov, aby sme lepšie pochopili toto pravidlo.

Ako riešiť rovnice: sčítanie alebo odčítanie

Predpokladajme, že máme rovnicu v tvare:

• a + x = b - tu a a b sú čísla a x je neznámy člen rovnice.

Ak pripočítame (alebo od nich odčítame) hodnotu c do oboch častí rovnice, nezmení sa:

• a + x + c = b + c
• a + x - c = b - c.

Príklad 1

Využime túto vlastnosť na vyriešenie rovnice:

• 37+x=51

Odčítajte číslo 37 z oboch častí:

• 37+x-37=51-37

dostaneme:

• x = 51-37.

Koreň rovnice je x=14.

Ak sa pozorne pozrieme na poslednú rovnicu, vidíme, že je rovnaká ako prvá. Jednoducho sme presunuli člen 37 z jednej strany rovnice na druhú a nahradili sme plus mínusom.

Ukazuje sa, že ľubovoľné číslo možno preniesť z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom.

Príklad 2

• 37+x=37+22

Vykonajte rovnakú akciu, preneste číslo 37 z ľavej strany rovnice doprava:

• x=37-37+22

Keďže 37-37=0, jednoducho to znížime a dostaneme:

• x = 22.

Rovnaké členy rovnice s rovnakým znamienkom, ktoré sa nachádzajú v rôznych častiach rovnice, možno zmenšiť (prečiarknuť).

Násobiace a deliace rovnice

Obidve strany rovnice môžu byť tiež vynásobené alebo delené rovnakým číslom:

Ak sa rovnosť a = b vydelí alebo vynásobí c, nezmení sa:

• a/c = b/c,
• ac = bc.

Príklad 3

• 5x = 20

Vydeľte obe strany rovnice 5:

• 5x/5 = 20/5.

Od 5/5 \u003d 1 potom znížime tieto multiplikátory a deliteľa na ľavej strane rovnice a získame:

• x = 20/5, x = 4

Príklad 4

• 5x = 5a

Ak sú obe strany rovnice delené 5, dostaneme:

• 5x/5 = 5a/5.

5 v čitateli a menovateli ľavej a pravej časti sa znížia, ukazuje sa x \u003d a. To znamená, že rovnaké faktory na ľavej a pravej strane rovníc sa rušia.

Vyriešime ďalší príklad:

• 13 + 2x = 21

Člen 13 prenesieme z ľavej strany rovnice na pravú stranu s opačným znamienkom:

• 2x = 21 - 13
• 2x = 8.

Vydelíme obe strany rovnice 2 a dostaneme:

• x = 4.

Násobenie sústavy normálnych rovníc NttXt1 + Bt1 = 0 inverznou maticou N-1

prijať:

(34)

(35)

Riešenie normálnych rovníc inverznou metódou.

Podľa definície inverznej matice N-1N = E. Táto rovnosť sa používa na zdôvodnenie spôsobu, akým sú prvky inverznej matice definované. Nech t = 2.

To znamená:

- 1. sústava vážených normálnych rovníc.

- 2. sústava vážených normálnych rovníc.

Vo všeobecnom prípade v dôsledku takýchto akcií dostaneme t systémov vážených normálnych rovníc s t rovníc v každom systéme. Tieto systémy majú rovnakú maticu koeficientov ako hlavný, s neznámym δxj a líšia sa od nej iba stĺpcami voľných členov. V j-tej rovnici j-tej sústavy je voľný člen rovný -1, zvyšok sa rovná nule. Sústavy vážených normálnych rovníc sa riešia paralelne s hlavným systémom vo všeobecnej schéme s použitím ďalších stĺpcov pre voľné členy týchto systémov (tabuľka 9). Pre kontrolu sa vypočítané hodnoty prvkov inverznej matice Qij nahradia do celkových rovníc zostavených pre váhové systémy. Napríklad pre t = 2 budú tieto rovnice vyzerať takto:

(+ [pab])Q11 + (+)Q12-1 = 0;

( + ) Q21 + ( + ) Q22 - 1 = 0.

Na predbežnú kontrolu sa používajú rovnosti Qij = Qji (i ≠ j).

Prvky inverznej matice Qij sa nazývajú váhové koeficienty.

Tabuľka 9

Určenie prvkov inverznej matice v Gaussovej schéme

3.6. Odhad presnosti na základe opravných materiálov

Stredná kvadratická chyba funkcie parametra je určená vzorcom:

kde

(36)

Stredná kvadratická chyba váhovej jednotky;

(37)

Recipročná váha funkcie parametra alebo vo forme matice:

(38)

Váha inverzného parametra rovná diagonálnemu prvku inverznej matice.

3.7. Bloková schéma metódy parametrickej úpravy

1. Analyzujte súbor meraní yi, určte t - počet požadovaných meraní. Nastavte systém váh merania pi (i = 1, 2, ..., n).

2. Zvoľte nezávislé parametre x1, x2, ..., xt, ktorých počet sa rovná t.

3. Zostavte parametrické komunikačné rovnice. Upravené hodnoty všetkých nameraných hodnôt sú vyjadrené ako funkcie zvolených parametrov.

4. Nájdite približné hodnoty parametrov x0j.

5. Parametrické komunikačné rovnice vedú k lineárnemu tvaru, vypočítavajú koeficienty a voľné členy parametrických korekčných rovníc.

6. Zostavte funkciu parametra na vyhodnotenie jej presnosti. Váhová funkcia je linearizovaná.

7. Zostavte normálne rovnice, vypočítajte koeficienty a voľné členy normálnych rovníc.

8. Riešte normálne rovnice, vypočítajte korekcie na približné hodnoty parametrov a kontrolujte ich.

9. Vypočítajte korekcie vi k výsledkom merania a kontrolujte νi a .

10. Vypočítajte parametre, upravené výsledky merania a vykonajte kontrolu nastavenia.

11. Vypočítajte vzájomné váhy parametrov a funkcií parametrov.

12. Vykonajte posúdenie správnosti výsledkov merania, vypočítajte smerodajnú chybu jednotky hmotnosti.

13. Vypočítajte stredné kvadratické chyby vyrovnaných hodnôt.

Rovnica s jednou neznámou, ktorá po otvorení zátvoriek a zmenšení podobných pojmov nadobudne tvar

ax + b = 0, kde a a b sú ľubovoľné čísla, sa nazýva lineárna rovnica s jednou neznámou. Dnes zistíme, ako vyriešiť tieto lineárne rovnice.

Napríklad všetky rovnice:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - lineárne.

Hodnota neznámej, ktorá mení rovnicu na skutočnú rovnosť, sa nazýva rozhodnutie alebo koreň rovnice .

Napríklad, ak v rovnici 3x + 7 \u003d 13 nahradíme číslo 2 namiesto neznámeho x, potom dostaneme správnu rovnosť 3 2 + 7 \u003d 13. To znamená, že hodnota x \u003d 2 je riešením alebo koreň rovnice.

A hodnota x \u003d 3 nezmení rovnicu 3x + 7 \u003d 13 na skutočnú rovnosť, pretože 3 2 + 7 ≠ 13. Preto hodnota x \u003d 3 nie je riešením ani koreňom rovnice.

Riešenie ľubovoľných lineárnych rovníc sa redukuje na riešenie rovníc tvaru

ax + b = 0.

Voľný člen prenesieme z ľavej strany rovnice na pravú stranu, pričom znamienko pred b zmeníme na opačné, dostaneme

Ak a ≠ 0, potom x = – b/a .

Príklad 1 Riešte rovnicu 3x + 2 =11.

Prenesieme 2 z ľavej strany rovnice na pravú, pričom zmeníme znamienko pred 2 na opačnú, dostaneme
3x \u003d 11 – 2.

Tak urobme odčítanie
3x = 9.

Ak chcete nájsť x, musíte rozdeliť produkt známym faktorom, tj.
x = 9:3.

Takže hodnota x = 3 je riešením alebo koreňom rovnice.

Odpoveď: x = 3.

Ak a = 0 a b = 0, potom dostaneme rovnicu 0x \u003d 0. Táto rovnica má nekonečne veľa riešení, keďže pri vynásobení ľubovoľného čísla 0 dostaneme 0, ale b je tiež 0. Riešením tejto rovnice je ľubovoľné číslo.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Rozšírime zátvorky:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Tu sú podobní členovia:
0x = 0.

Odpoveď: x je ľubovoľné číslo.

Ak a = 0 a b ≠ 0, potom dostaneme rovnicu 0x = - b. Táto rovnica nemá riešenia, pretože vynásobením ľubovoľného čísla 0 dostaneme 0, ale b ≠ 0.

Príklad 3 Vyriešte rovnicu x + 8 = x + 5.

Zoskupme termíny obsahujúce neznáme na ľavej strane a voľné termíny na pravej strane:
x - x \u003d 5 - 8.

Tu sú podobní členovia:
0x = - 3.

Odpoveď: žiadne riešenia.

Na postava 1 je znázornená schéma riešenia lineárnej rovnice

Zostavme si všeobecnú schému riešenia rovníc s jednou premennou. Zvážte riešenie z príkladu 4.

Príklad 4 Poďme vyriešiť rovnicu

1) Vynásobte všetky členy rovnice najmenším spoločným násobkom menovateľov, ktorý sa rovná 12.

2) Po zmenšení dostaneme
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Na oddelenie členov obsahujúcich neznámych a voľných členov otvorte zátvorky:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) V jednej časti zoskupujeme výrazy obsahujúce neznáme a v druhej - voľné výrazy:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Tu sú podobní členovia:
- 22x = - 154.

6) Deliť - 22 , Dostaneme
x = 7.

Ako vidíte, koreň rovnice je sedem.

Vo všeobecnosti také rovnice je možné riešiť nasledovne:

a) priviesť rovnicu do celočíselného tvaru;

b) otvorené zátvorky;

c) zoskupiť členy obsahujúce neznámu v jednej časti rovnice a voľné členy v druhej;

d) priviesť podobných členov;

e) vyriešte rovnicu v tvare aх = b, ktorá bola získaná po získaní rovnakých členov.

Táto schéma sa však nevyžaduje pre každú rovnicu. Pri riešení mnohých jednoduchších rovníc treba začať nie od prvej, ale od druhej ( Príklad. 2), tretí ( Príklad. 13) a dokonca aj od piatej fázy, ako v príklade 5.

Príklad 5 Riešte rovnicu 2x = 1/4.

Nájdeme neznáme x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Zvážte riešenie niektorých lineárnych rovníc, s ktorými sa stretnete na hlavnej štátnej skúške.

Príklad 6 Vyriešte rovnicu 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Odpoveď: - 0,125

Príklad 7 Vyriešte rovnicu - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Odpoveď: 2.3

Príklad 8 Vyriešte rovnicu

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Príklad 9 Nájdite f(6), ak f (x + 2) = 3 7

Riešenie

Keďže potrebujeme nájsť f(6) a vieme f (x + 2),
potom x + 2 = 6.

Riešime lineárnu rovnicu x + 2 = 6,
dostaneme x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Ak x = 4, potom
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

odpoveď: 27.

Ak máte stále otázky, je tu túžba porozumieť riešeniu rovníc dôkladnejšie, prihláste sa na moje lekcie v ROZVRHU. Rád vám pomôžem!

TutorOnline tiež odporúča pozrieť si nový video tutoriál od našej lektorky Olgy Alexandrovny, ktorý vám pomôže pochopiť lineárne rovnice a ďalšie.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

riešiť matematiku. Nájdite rýchlo riešenie matematickej rovnice v režime online. Webová stránka www.site to umožňuje vyriešiť rovnicu takmer akýkoľvek daný algebraické, trigonometrické alebo transcendentálna rovnica online. Pri štúdiu takmer akejkoľvek časti matematiky v rôznych fázach sa človek musí rozhodnúť rovnice online. Aby ste dostali odpoveď okamžite, a čo je najdôležitejšie, presnú odpoveď, potrebujete zdroj, ktorý vám to umožní. Vďaka www.site riešiť rovnice online bude trvať niekoľko minút. Hlavná výhoda www.site pri riešení matematických rovnice online- je rýchlosť a presnosť vydanej odpovede. Stránka je schopná vyriešiť akékoľvek algebraické rovnice online, goniometrické rovnice online, transcendentálne rovnice online, ako aj rovnice s neznámymi parametrami v režime online. Rovnice slúži ako výkonný matematický aparát riešenia praktické úlohy. S pomocou matematických rovníc je možné vyjadriť skutočnosti a vzťahy, ktoré sa na prvý pohľad môžu zdať mätúce a zložité. neznáme množstvá rovnice možno nájsť formulovaním problému v matematický jazyk vo formulári rovnice A vyriešiť prijatú úlohu v režime online na webovej stránke www.site. akýkoľvek algebraická rovnica, goniometrická rovnica alebo rovnice obsahujúce transcendentálny funkcie vás ľahko rozhodnúť online a získajte správnu odpoveď. Pri štúdiu prírodných vied sa človek nevyhnutne stretáva s potrebou riešenie rovníc. V tomto prípade musí byť odpoveď presná a musí byť prijatá okamžite v režime online. Preto pre riešiť matematické rovnice online odporúčame stránku www.site, ktorá sa stane vašou nepostrádateľnou kalkulačkou riešiť algebraické rovnice online, goniometrické rovnice online, ako aj transcendentálne rovnice online alebo rovnice s neznámymi parametrami. Na praktické problémy hľadania koreňov rôznych matematických rovníc zdroj www.. Riešenie rovnice online sami, je užitočné skontrolovať prijatú odpoveď pomocou online riešenie rovníc na webovej stránke www.site. Je potrebné napísať rovnicu správne a okamžite ju získať online riešenie, po ktorom zostáva už len porovnať odpoveď s vaším riešením rovnice. Kontrola odpovede nezaberie viac ako minútu, dosť vyriešiť rovnicu online a porovnajte odpovede. To vám pomôže vyhnúť sa chybám rozhodnutie a odpoveď včas opravte riešenie rovníc onlineči algebraické, trigonometrické, transcendentný alebo rovnica s neznámymi parametrami.

Jedna z najdôležitejších zručností v prijatie do 5. ročníka je schopnosť riešiť jednoduché rovnice. Keďže 5. ročník ešte nie je tak ďaleko od základnej školy, nie je toľko druhov rovníc, ktoré žiak dokáže vyriešiť. Predstavíme vám všetky hlavné typy rovníc, ktoré musíte vedieť vyriešiť, ak chcete prihlásiť sa na fyzikálnu a matematickú školu.

1 typ: "cibuľový"
Toto sú rovnice, s ktorými sa takmer určite stretnete prijatie na akúkoľvek školu alebo krúžok 5. ročníka ako samostatná úloha. Je ľahké ich odlíšiť od ostatných: obsahujú premennú iba raz. Napríklad, alebo.
Sú vyriešené veľmi jednoducho: stačí sa "dostať" do neznáma, postupne "odstrániť" všetko prebytočné, čo ho obklopuje - ako keby ste ošúpali cibuľu - odtiaľ názov. Na jeho vyriešenie si postačí zapamätať si pár pravidiel z druhej triedy. Poďme si ich všetky vymenovať:

Doplnenie

1. termín1 + termín2 = súčet
2. termín1 = súčet - termín2
3. termín2 = súčet - termín1

Odčítanie

1. minuend - subtrahend = rozdiel
2. minuend = subtrahend + rozdiel
3. subtrahend = minuend - rozdiel

Násobenie

1. multiplikátor1 * multiplikátor2 = súčin
2. multiplikátor1 = súčin: multiplikátor2
3. multiplikátor2 = súčin: multiplikátor1

divízie

1. dividenda: deliteľ = podiel
2. dividenda = deliteľ * kvocient
3. deliteľ = dividenda: kvocient

Pozrime sa na príklad, ako tieto pravidlá aplikovať.

Všimnite si, že zdieľame na a dostaneme . V tejto situácii poznáme deliteľa a kvocientu. Ak chcete nájsť dividendu, musíte vynásobiť deliteľa podielom:

Trochu sme sa priblížili k sebe. Teraz to vidíme pridané a získané. Ak teda chcete nájsť jeden z výrazov, musíte od súčtu odčítať známy výraz:

A ešte jedna "vrstva" je odstránená z neznáma! Teraz vidíme situáciu so známou hodnotou súčinu () a jedným známym multiplikátorom ().

Teraz je situácia "znížená - odpočítaná = rozdiel"

A posledným krokom je známy produkt () a jeden z faktorov ()

2 typ: rovnice so zátvorkami
Rovnice tohto typu sa najčastejšie nachádzajú v úlohách - 90% všetkých úloh pre prijatie do triedy 5. Na rozdiel od "cibuľové rovnice" premenná sa tu môže vyskytovať viackrát, takže nie je možné ju vyriešiť metódami z predchádzajúceho odseku. Typické rovnice: alebo
Hlavným problémom je správne otvorenie zátvoriek. Keď sa nám to podarí urobiť správne, mali by sme priniesť podobné výrazy (čísla k číslam, premenné k premenným) a potom dostaneme najjednoduchšie "cibuľová rovnica" ktoré vieme vyriešiť. Ale najprv to.

Rozšírenie držiaka. Dáme niekoľko pravidiel, ktoré by sa mali v tomto prípade použiť. Ako však ukazuje prax, študent začne správne otvárať zátvorky až po 70 - 80 vyriešených problémoch. Základné pravidlo je toto: akýkoľvek faktor mimo zátvoriek sa musí vynásobiť každým výrazom v zátvorkách. A mínus pred zátvorkou zmení znamienko všetkých výrazov, ktoré sú vo vnútri. Takže základné pravidlá zverejňovania:

Prinášať podobné. Všetko je tu oveľa jednoduchšie: prenosom výrazov cez znamienko rovnosti musíte zabezpečiť, aby na jednej strane existovali iba pojmy s neznámym a na druhej strane iba čísla. Základné pravidlo je toto: každý prenesený výraz zmení svoje znamienko – ak bol s, stane sa s a naopak. Po úspešnom prenose je potrebné spočítať celkový počet neznámych, konečný počet na druhej strane rovnosti ako premenné a vyriešiť jednoduchý "cibuľová rovnica".