Skrátené vzorce násobenia.

Štúdium vzorcov na skrátené násobenie: druhá mocnina súčtu a druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov; rozdiel štvorcov dvoch výrazov; kocka súčtu a kocka rozdielu dvoch výrazov; súčty a rozdiely kociek dvoch výrazov.

Aplikácia skrátených vzorcov na násobenie pri riešení príkladov.

Na zjednodušenie výrazov, rozklad polynómov a redukciu polynómov do štandardného tvaru sa používajú skrátené vzorce násobenia. Skrátené vzorce násobenia, ktoré musíte vedieť naspamäť.

Nech a, b R. Potom:

1. Druhá mocnina súčtu dvoch výrazov je druhá mocnina prvého výrazu plus dvojnásobok súčinu prvého výrazu a druhého plus druhej mocniny druhého výrazu.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov je druhá mocnina prvého výrazu mínus dvojnásobok súčinu prvého výrazu a druhého plus druhá mocnina druhého výrazu.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Rozdiel štvorcov dva výrazy sa rovná súčinu rozdielu týchto výrazov a ich súčtu.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. súčet kocka dvoch výrazov sa rovná kocke prvého výrazu plus trojnásobok druhej mocniny prvého výrazu krát druhý plus trojnásobok súčinu prvého výrazu krát druhá mocnina druhého plus kocka druhého výrazu.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. rozdielová kocka dvoch výrazov sa rovná kocke prvého výrazu mínus trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu a druhého plus trojnásobku súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého mínus súčin druhej mocniny druhého výrazu.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Súčet kociek dva výrazy sa rovná súčinu súčtu prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou rozdielu týchto výrazov.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Rozdiel kociek dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou súčtu týchto výrazov.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Aplikácia skrátených vzorcov na násobenie pri riešení príkladov.

Príklad 1

Vypočítajte

a) Pomocou vzorca pre druhú mocninu súčtu dvoch výrazov máme

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Pomocou vzorca pre druhú mocninu rozdielu dvoch výrazov získame

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10 000 - 400 + 4 \u003d 9604

Príklad 2

Vypočítajte

Pomocou vzorca pre rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov získame

Príklad 3

Zjednodušte výraz

(x - y) 2 + (x + y) 2

Používame vzorce pre druhú mocninu súčtu a druhú mocninu rozdielu dvoch výrazov

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Skrátené vzorce násobenia v jednej tabuľke:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Rozdiel štvorcov

Odvodíme vzorec pre rozdiel štvorcov $a^2-b^2$.

Ak to chcete urobiť, nezabudnite na nasledujúce pravidlo:

Ak sa k výrazu pridá ľubovoľný jednočlen a ten istý jednočlen sa odčíta, dostaneme správnu identitu.

Pridajme k nášmu výrazu a odčítajme od neho jednočlenný $ab$:

Celkovo dostaneme:

To znamená, že rozdiel druhých mocnín dvoch monomílov sa rovná súčinu ich rozdielu a ich súčtu.

Príklad 1

Vyjadrite ako súčin $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\vľavo(2x-y\vpravo)(2x+y)\]

Súčet kociek

Odvodíme vzorec pre súčet kociek $a^3+b^3$.

Vyberme spoločné faktory zo zátvoriek:

Vyberme $\left(a+b\right)$ z hranatých zátvoriek:

Celkovo dostaneme:

To znamená, že súčet kociek dvoch monomílov sa rovná súčinu ich súčtu s neúplnou druhou mocninou ich rozdielu.

Príklad 2

Vyjadrené ako produkt $(8x)^3+y^3$

Tento výraz je možné prepísať do nasledujúcej formy:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Pomocou vzorca rozdielu štvorcov dostaneme:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Rozdiel kociek

Odvodíme vzorec pre rozdiel kociek $a^3-b^3$.

Na tento účel použijeme rovnaké pravidlo ako vyššie.

Pridajme k nášmu výrazu a odčítajme od neho jednočleny $a^2b\ a\ (ab)^2$:

Vyberme spoločné faktory zo zátvoriek:

Vyberme $\left(a-b\right)$ z hranatých zátvoriek:

Celkovo dostaneme:

To znamená, že rozdiel kociek dvoch monomílov sa rovná súčinu ich rozdielu neúplnou druhou mocninou ich súčtu.

Príklad 3

Vyjadrite ako súčin $(8x)^3-y^3$

Tento výraz je možné prepísať do nasledujúcej formy:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Pomocou vzorca rozdielu štvorcov dostaneme:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Príklad úloh na použitie vzorcov pre rozdiel štvorcov a súčet a rozdiel kociek

Príklad 4

Vynásobte.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Riešenie:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Použitím vzorca rozdielu štvorcov dostaneme:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Napíšme tento výraz v tvare:

Aplikujme vzorec kociek kociek:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Napíšme tento výraz v tvare:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Aplikujme vzorec kociek kociek:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\vpravo)\]

Vzorce alebo pravidlá redukovaného násobenia sa používajú v aritmetike a konkrétnejšie v algebre na rýchlejší proces výpočtu veľkých algebraických výrazov. Samotné vzorce sú získané z pravidiel existujúcich v algebre pre násobenie niekoľkých polynómov.

Použitie týchto vzorcov poskytuje pomerne rýchle riešenie rôznych matematických problémov a tiež pomáha zjednodušiť výrazy. Pravidlá algebraických transformácií vám umožňujú vykonávať niektoré manipulácie s výrazmi, po ktorých môžete získať výraz na ľavej strane rovnosti, ktorá je na pravej strane, alebo transformovať pravú stranu rovnosti (na získanie výrazu ľavá strana za znakom rovnosti).

Je vhodné poznať vzorce používané na skrátené násobenie spamäti, pretože sa často používajú pri riešení úloh a rovníc. Hlavné vzorce zahrnuté v tomto zozname a ich názvy sú uvedené nižšie.

súčet štvorec

Ak chcete vypočítať druhú mocninu súčtu, musíte nájsť súčet pozostávajúci z druhej mocniny prvého člena, dvojnásobku súčinu prvého a druhého člena a druhej mocniny druhého. Vo forme výrazu je toto pravidlo napísané takto: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Druhá mocnina rozdielu

Ak chcete vypočítať druhú mocninu rozdielu, musíte vypočítať súčet pozostávajúci z druhej mocniny prvého čísla, dvojnásobku súčinu prvého čísla druhým (s opačným znamienkom) a druhej mocniny druhého čísla. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Rozdiel štvorcov

Vzorec pre rozdiel dvoch čísel na druhú sa rovná súčinu súčtu týchto čísel a ich rozdielu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

súčet kocka

Na výpočet kocky súčtu dvoch členov je potrebné vypočítať súčet pozostávajúci z kocky prvého člena, trojitého súčinu druhej mocniny prvého a druhého člena, trojnásobku súčinu prvého člena a druhá mocnina a kocka druhého členu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Súčet kociek

Podľa vzorca sa rovná súčinu súčtu týchto členov a ich neúplnej druhej mocniny rozdielu. Vo forme výrazu toto pravidlo vyzerá takto: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Príklad. Je potrebné vypočítať objem obrazca, ktorý vznikne pridaním dvoch kociek. Známe sú len veľkosti ich strán.

Ak sú hodnoty strán malé, potom je ľahké vykonať výpočty.

Ak sú dĺžky strán vyjadrené ťažkopádnymi číslami, potom je v tomto prípade jednoduchšie použiť vzorec "Súčet kociek", čo výrazne zjednoduší výpočty.

rozdielová kocka

Výraz pre kubický rozdiel znie takto: ako súčet tretej mocniny prvého člena strojnásobte záporný súčin druhej mocniny prvého člena druhým, strojnásobte súčin prvého mocniny druhou mocninou druhého a záporná kocka druhého termínu. Vo forme matematického výrazu vyzerá kocka rozdielu takto: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Rozdiel kociek

Vzorec pre rozdiel kociek sa od súčtu kociek líši iba jedným znamienkom. Rozdiel kociek je teda vzorec, ktorý sa rovná súčinu rozdielu týchto čísel ich neúplným štvorcom súčtu. Vo forme vyzerá rozdiel kociek takto: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Príklad. Je potrebné vypočítať objem obrazca, ktorý zostane po odčítaní žltého objemového obrazca, ktorý je tiež kockou, od objemu modrej kocky. Známa je len veľkosť strany malej a veľkej kocky.

Ak sú hodnoty strán malé, výpočty sú pomerne jednoduché. A ak sú dĺžky strán vyjadrené vo významných číslach, potom sa oplatí použiť vzorec s názvom "Rozdiel kociek" (alebo "Rozdielová kocka"), ktorý výrazne zjednoduší výpočty.

Skrátené vzorce násobenia (FSU) sa používajú na umocňovanie a násobenie čísel a výrazov. Tieto vzorce vám často umožňujú robiť výpočty kompaktnejšie a rýchlejšie.

V tomto článku uvedieme hlavné vzorce pre skrátené násobenie, zoskupíme ich do tabuľky, zvážime príklady použitia týchto vzorcov a tiež sa zameriame na princípy dokazovania vzorcov na skrátené násobenie.

Prvýkrát je téma FSU preberaná v rámci predmetu "Algebra" pre 7. ročník. Nižšie je uvedených 7 základných vzorcov.

Skrátené vzorce násobenia

1. vzorec súčtu štvorca: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. vzorec rozdielového štvorca: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. vzorec súčtu kocky: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. vzorec rozdielovej kocky: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. rozdiel štvorcov vzorca: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. vzorec pre súčet kociek: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. vzorec rozdielu kocky: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Písmená a, b, c v týchto výrazoch môžu byť ľubovoľné čísla, premenné alebo výrazy. Pre jednoduchosť používania je lepšie naučiť sa sedem základných vzorcov naspamäť. Zhrnieme ich do tabuľky a uvedieme nižšie, pričom ich zakrúžkujeme rámčekom.

Prvé štyri vzorce vám umožňujú vypočítať druhú mocninu alebo druhú mocninu súčtu alebo rozdielu dvoch výrazov.

Piaty vzorec vypočíta rozdiel druhých mocnín výrazov vynásobením ich súčtu a rozdielu.

Šiesty a siedmy vzorec sú násobením súčtu a rozdielu výrazov neúplnou druhou mocninou rozdielu a neúplnou druhou mocninou súčtu.

Skrátený vzorec násobenia sa niekedy nazýva aj skrátené identity násobenia. To nie je prekvapujúce, pretože každá rovnosť je identita.

Pri riešení praktických príkladov sa často používajú skrátené vzorce na násobenie s preskupenými ľavými a pravými časťami. To je obzvlášť výhodné pri faktorizácii polynómu.

Ďalšie skrátené vzorce násobenia

Neobmedzíme sa len na kurz algebry pre 7. ročník a do našej tabuľky FSU pridáme niekoľko ďalších vzorcov.

Najprv zvážte Newtonov binomický vzorec.

a + b n = C n 0 a n + Cn 1 a n - 1 b + Cn 2 a n - 2 b2 +. . + Cnn - 1 a b n - 1 + Cn n b n

Tu Cn k sú binomické koeficienty, ktoré sú v riadku číslo n v Pascalovom trojuholníku. Binomické koeficienty sa vypočítajú podľa vzorca:

C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2). . (n - (k - 1)) k !

Ako vidíte, FSU pre druhú a druhú mocninu rozdielu a súčtu je špeciálny prípad Newtonovho binomického vzorca pre n=2 a n=3.

Ale čo ak sú v súčte viac ako dva termíny, ktoré majú byť povýšené na moc? Užitočný bude vzorec pre druhú mocninu súčtu troch, štyroch alebo viacerých členov.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Ďalší vzorec, ktorý sa môže hodiť, je vzorec na rozdiel n-tých mocnín dvoch členov.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Tento vzorec sa zvyčajne delí na dva vzorce - pre párne a nepárne stupne.

Pre párne exponenty 2 m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2

Pre nepárne exponenty 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m

Vzorce pre rozdiel štvorcov a rozdiel kociek, uhádli ste, sú špeciálnymi prípadmi tohto vzorca pre n = 2 a n = 3. Pre rozdiel kociek sa b tiež nahrádza - b .

Ako čítať skrátené vzorce násobenia?

Ku každému vzorcu uvedieme zodpovedajúce formulácie, najskôr sa však budeme zaoberať princípom čítania vzorcov. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je použiť príklad. Zoberme si úplne prvý vzorec pre druhú mocninu súčtu dvoch čísel.

a + b2 = a2 + 2 a b + b2.

Hovorí sa: druhá mocnina súčtu dvoch výrazov a a b sa rovná súčtu druhej mocniny prvého výrazu, dvojnásobku súčinu výrazov a druhej mocniny druhého výrazu.

Všetky ostatné vzorce sa čítajú podobne. Pre druhý mocninový rozdiel a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 píšeme:

druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov a a b sa rovná súčtu druhých mocnín týchto výrazov mínus dvojnásobok súčinu prvého a druhého výrazu.

Prečítajme si vzorec a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kocka súčtu dvoch výrazov a a b sa rovná súčtu kociek týchto výrazov, trojnásobku súčinu druhej mocniny prvého a druhého výrazu a trojnásobku súčinu druhej mocniny druhého výrazu. a prvý výraz.

Pokračujeme v čítaní vzorca pre rozdiel kociek a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kocka rozdielu dvoch výrazov a a b sa rovná tretej mocnine prvého výrazu mínus trojnásobok druhej mocniny prvého výrazu a druhého, plus trojnásobok druhej mocniny druhého výrazu a prvého výrazu mínus kocka druhého výrazu.

Piaty vzorec a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (rozdiel druhých mocnín) znie takto: rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu týchto dvoch výrazov.

Výrazy ako a 2 + a b + b 2 a a 2 - a b + b 2 sa pre zjednodušenie nazývajú neúplná druhá mocnina súčtu a neúplná druhá mocnina rozdielu.

S ohľadom na to sa vzorce pre súčet a rozdiel kociek čítajú takto:

Súčet kociek dvoch výrazov sa rovná súčinu súčtu týchto výrazov a neúplnej druhej mocniny ich rozdielu.

Rozdiel kociek dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu týchto výrazov neúplnou druhou mocninou ich súčtu.

Dôkaz FSU

Dokázanie FSU je celkom jednoduché. Na základe vlastností násobenia vykonáme násobenie častí vzorcov v zátvorkách.

Zvážte napríklad vzorec pre druhú mocninu rozdielu.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Ak chcete zvýšiť výraz na druhú mocninu, výraz sa musí vynásobiť sám sebou.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Rozšírime zátvorky:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Vzorec bol osvedčený. Ostatné FSO sú dokázané podobne.

Príklady aplikácie FSO

Účelom používania redukovaných vzorcov na násobenie je rýchle a výstižné násobenie a umocňovanie výrazov. Toto však nie je celý rozsah pôsobnosti FSO. Široko sa používajú pri redukcii výrazov, redukcii zlomkov, faktorizácii polynómov. Uveďme si príklady.

Príklad 1. FSO

Zjednodušme výraz 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Použite vzorec súčtu štvorcov a získajte:

9 rokov - (1 + 3 roky) 2 = 9 rokov - (1 + 6 rokov + 9 rokov 2) = 9 rokov - 1 - 6 rokov - 9 rokov 2 = 3 roky - 1 - 9 rokov 2

Príklad 2. FSO

Zmenšiť zlomok 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Všimli sme si, že výraz v čitateli je rozdiel kociek a v menovateli - rozdiel štvorcov.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Znížime a získame:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU tiež pomáhajú vypočítať hodnoty výrazov. Hlavná vec je vedieť si všimnúť, kde použiť vzorec. Ukážme si to na príklade.

Odmocnime číslo 79. Namiesto ťažkopádnych výpočtov píšeme:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Zdalo by sa, že zložitý výpočet bol vykonaný rýchlo len s použitím skrátených vzorcov násobenia a tabuľky násobenia.

Ďalším dôležitým bodom je výber druhej mocniny binomu. Výraz 4 x 2 + 4 x - 3 možno previesť na 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takéto transformácie sú široko používané v integrácii.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

V predchádzajúcich lekciách sme sa zamerali na dva spôsoby rozkladu polynómu: vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek a metódu zoskupovania.

V tejto lekcii sa pozrieme na iný spôsob rozkladu polynómu pomocou skrátených vzorcov na násobenie.

Odporúčame napísať každý vzorec aspoň 12-krát. Pre lepšie zapamätanie si napíšte všetky skrátené vzorce na násobenie na malý cheat.

Pripomeňme si, ako vyzerá vzorec pre rozdiel kociek.

a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2)

Vzorec na rozdiel kociek nie je veľmi ľahko zapamätateľný, preto odporúčame použiť špeciálny spôsob, ako si ho zapamätať.

Je dôležité pochopiť, že funguje aj akýkoľvek skrátený vzorec násobenia opačná strana.

(a − b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Zvážte príklad. Je potrebné faktorizovať rozdiel kociek.

Všimnite si, že „27a 3“ je „(3a) 3“, čo znamená, že pre vzorec rozdielu kociek namiesto „a“ používame „3a“.

Použijeme vzorec pre rozdiel kociek. Namiesto „a 3“ máme „27a 3“ a namiesto „b 3“, ako vo vzorci, máme „b 3“.

Použitie rozdielu kocky v opačnom poradí

Uvažujme o ďalšom príklade. Je potrebné previesť súčin polynómov na rozdiel kociek pomocou skráteného vzorca násobenia.

Upozorňujeme, že súčin polynómov "(x − 1) (x 2 + x + 1)" Pripomína pravú stranu vzorca pre rozdiel kociek "", len namiesto "a" je "x", A v miesto "b" je "1".

Pre "(x − 1)(x 2 + x + 1)" použijeme vzorec pre rozdiel kociek v opačnom smere.

Uvažujme o zložitejšom príklade. Je potrebné zjednodušiť súčin polynómov.

Ak porovnáme "(y 2 − 1) (y 4 + y 2 + 1)" s pravou stranou vzorca pre rozdiel kociek
« a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2)“, potom môžeme pochopiť, že namiesto „ a“ z prvej zátvorky je „ y 2 a namiesto „ b“ je „ 1“.