Hlava Katedra matematiky, Štátna univerzita na Ďalekom východe

Systémy iracionálnych, logaritmických a exponenciálnych rovníc

Materiály kontrolného merania pre Jednotnú štátnu skúšku z matematiky už tradične obsahujú úlohy, ktoré umožňujú študentom otestovať si schopnosť riešiť rôzne sústavy rovníc. Spravidla ide o sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými. Rovnice zahrnuté v systéme môžu byť buď algebraické, vrátane iracionálnych, alebo transcendentálne. V tomto článku zvážime hlavné metódy riešenia systémov s dvoma premennými iracionálnych, logaritmických a exponenciálnych rovníc.

Skôr než prejdeme priamo k metódam riešenia sústav rovníc, pripomeňme si základné definície a vlastnosti rôznych funkcií, ktoré možno do rovníc sústavy zahrnúť.

Pripomeňme, že vznikajú dve rovnice s dvoma neznámymi sústava rovníc, ak je úlohou nájsť také hodnoty premenných, ktoré sú riešením pre každú z rovníc.

Systémové riešenie nazývame dve rovnice o dvoch neznámych usporiadaný pár čísel, pri ich dosadení do systému namiesto zodpovedajúcich premenných sa získajú správne číselné rovnosti.

Riešiť sústavu rovníc znamená nájsť všetky jej riešenia.

Proces riešenia sústavy rovníc, podobne ako proces riešenia rovnice, pozostáva zo sekvenčného prechodu pomocou niektorých transformácií z daného systému na jednoduchší. Zvyčajne sa používajú transformácie, ktoré vedú k ekvivalentnému systému, v tomto prípade sa nevyžaduje overenie nájdených riešení; Ak sa použili nerovnaké transformácie, kontrola nájdených riešení je povinná.

Iracionálne sú rovnice, v ktorých je premenná obsiahnutá pod znamienkom odmocniny alebo pod znamienkom operácie zvýšenia na zlomkovú mocninu.

Treba poznamenať, že

1. Všetky korene párneho stupňa zahrnuté v rovniciach sú aritmetické. Inými slovami, ak je radikálny výraz záporný, potom koreň nemá zmysel; ak je výraz radikálu rovný nule, potom je koreň tiež rovný nule; Ak je radikálny výraz kladný, potom je hodnota koreňa kladná.

2. Všetky nepárne korene zahrnuté v rovnici sú definované pre akúkoľvek reálnu hodnotu radikálového výrazu. V tomto prípade je koreň záporný, ak je radikálny výraz záporný; sa rovná nule, ak sa radikál rovná nule; pozitívne, ak je radikálny výraz pozitívny.

Funkcie r = https://pandia.ru/text/78/063/images/image002_247.gif" width="37" height="24 src="> vo svojej oblasti definície narastajú.

Pri riešení sústav iracionálnych rovníc sa používajú dve hlavné metódy: 1) zvýšenie oboch strán rovníc na rovnakú mocninu; 2) zavedenie nových premenných.

Pri riešení systémov iracionálnych rovníc pomocou prvej metódy by sa malo pamätať na to, že pri zvýšení oboch strán rovnice obsahujúcej korene párneho stupňa na rovnaký stupeň sa získa rovnica, ktorá je dôsledkom pôvodnej, a preto je vonkajšia korene sa môžu objaviť počas procesu riešenia gif" width="161" height="61">

Riešenie. Aby sme sa zbavili iracionality, zavádzame nové premenné. Nechajte ……………………… (1),

potom počiatočná sústava bude mať tvar: ..gif" width="92" height="59">. Umocnením oboch strán prvej rovnice a druhej až štvrtej mocniny dostaneme sústavu: , odkiaľ Nájsť:

Je ľahké overiť, že nájdené riešenie posledného systému je riešením pôvodného systému.

Odpoveď: (6; 5)

Príklad 2 Riešiť sústavu rovníc

Riešenie. 1..gif" width="51" height="27">.gif" width="140" height="27 src=">………………………..(2). Zavedieme novú premennú: dosadíme ………………….(3) a dosadíme do rovnice (2), z premennej dostaneme kvadratickú rovnicu: ..gif" width="56" height="23 src ="> je cudzí , pretože označovali aritmetický koreň..gif" width="84 height=27" height="27">. Odmocnime obe strany rovnice a vyjadrime: .

Výsledný výraz dosadíme do druhej rovnice pôvodného systému: https://pandia.ru/text/78/063/images/image026_45.gif" width="147" height="24 src=">. Zvýšime obe strany výslednej rovnice na štvorec, a aby sa nerozšíril rozsah prípustných hodnôt výslednej rovnice, požadujeme, aby https://pandia.ru/text/78/063/images/image028_36.gif" width="297" height="24 src="> .gif" width="65" height="23 src=">.gif" width="56" height="41 src="> je cudzie.

Poďme nájsť hodnotu pri na: https://pandia.ru/text/78/063/images/image034_32.gif" width="199" height="59 src=">

Riešenie. 1. Upozorňujeme, že pravá strana prvej rovnice musí byť nezáporná, t. j. gif" width="225" height="24">..gif" width="48" height="21">. Dosadíme ich do druhej rovnice a nájdeme hodnoty premennej:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image041_28.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20 src=">, dvojica (10; 5) nie je riešením pôvodného systému.

https://pandia.ru/text/78/063/images/image044_23.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20">. Je ľahké overiť, že nájdená dvojica čísel je riešením pôvodného systému.

Odpoveď: (-10; -5)

Aby sme úspešne vyriešili exponenciálne a logaritmické sústavy rovníc, pripomeňme si definíciu a vlastnosti logaritmu.

Logaritmus číslabzáklad a je exponent, na ktorý sa musí číslo a zvýšiť, aby sa číslo dostalob.

Základné vlastnosti logaritmu:

1) https://pandia.ru/text/78/063/images/image047_24.gif" width="125" height="25">;

2) https://pandia.ru/text/78/063/images/image049_23.gif" width="120" height="41">;

3) https://pandia.ru/text/78/063/images/image051_23.gif" width="99 height=45" height="45">.

4) https://pandia.ru/text/78/063/images/image053_22.gif" width="93" height="24 src=">; 9)

5) https://pandia.ru/text/78/063/images/image056_20.gif" width="53" height="24 src=">;

Uveďme hlavné vlastnosti exponenciálnych a logaritmických funkcií:

1) Definičný obor funkcie, kde je celá množina reálnych čísel; funkcie https://pandia.ru/text/78/063/images/image058_21.gif" width="77" height="21 src="> - množina kladných reálnych čísel.

2) Množina funkčných hodnôt je množina kladných reálnych čísel; funkcie https://pandia.ru/text/78/063/images/image060_20.gif" width="35" height="19">obe funkcie sa zvýšia, ak - obe funkcie sa znížia.

Komentujte. V súlade s druhou vlastnosťou je pri riešení logaritmických rovníc potrebné buď zistiť rozsah prípustných hodnôt rovnice, alebo po jej vyriešení vykonať kontrolu.

Exponenciálna rovnica je transcendentálna rovnica, v ktorej je neznáma zahrnutá v exponente niektorých veličín. Pri riešení exponenciálnych rovníc sa používajú dve hlavné metódy:

1) prechod z rovnice ……….(1) na rovnicu ;

2) zavedenie nových premenných.

Niekedy musíte použiť umelé techniky.

Prvá metóda riešenia exponenciálnych rovníc je založená na nasledujúcej vete:

Ak, potom rovnica je ekvivalentná rovnici .

Uveďme si hlavné techniky redukcie exponenciálnej rovnice na rovnicu tvaru (1).

1. Redukcia oboch strán rovnice na rovnaký základ.

2. Logaritmizujte obe strany rovnice (ak sú striktne kladné) s použitím rovnakého základu.

Komentujte. Vo všeobecnosti môžete logaritmovať v ľubovoľnom základe, ale zvyčajne sa logaritmuje v jednom zo základov mocnín zahrnutých v rovnici.

3. Faktorizácia ľavej strany rovnice a redukcia rovnice na množinu niekoľkých rovníc tvaru (1).

Logaritmická rovnica je transcendentálna rovnica, v ktorej je neznáma zahrnutá do argumentu logaritmu.

Pri riešení logaritmických rovníc sa používajú dve hlavné metódy:

1) prechod z rovnice na rovnicu tvaru;

2) zavedenie nových premenných.

Komentujte. Keďže doménou definície logaritmickej funkcie je iba množina kladných reálnych čísel, pri riešení logaritmických rovníc je potrebné buď nájsť doménu prípustných hodnôt rovnice (ADV), alebo po nájdení riešení rovnice urobiť kontrolu.

Riešenie najjednoduchšej logaritmickej rovnice tvaru

https://pandia.ru/text/78/063/images/image066_13.gif" width="43" height="21 src="> - jediný koreň.

Pre rovnicu v tvare https://pandia.ru/text/78/063/images/image068_13.gif" width="65" height="24">.

Príklad 4. Nájdite hodnotu výrazu, ak je pár riešením sústavy rovníc https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">.

2. Keďže rovnice systému obsahujú logaritmy na dvoch rôznych základoch, prejdime k jednej základni 3: ..gif" width="65" height="93">..gif" width="41 height=21" height="21">, usúdime, že ide o cudzí koreň. Z prvej rovnice posledného systému nájdeme hodnotu na: https://pandia.ru/text/78/063/images/image082_11.gif" width="131 height=21" height="21">

Príklad 5. Nájdite najväčší súčet, ak je pár riešením systému rovníc https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> z druhej rovnice systému: ..gif" width="161" height="21">. Získali sme exponenciálnu rovnicu pre jednu premennú.

Využime vlastnosti stupňa: . Rovnica zahŕňa mocniny s dvoma rôznymi základňami. Štandardnou technikou prechodu na jednu základňu je rozdelenie oboch strán rovnice jednou z mocnín s najväčším exponentom..gif" width="164" height="49">. Štandardná metóda riešenia tohto typu exponenciály rovnica je zmeniť premennú (všimnite si, že na základe vlastností exponenciálnej funkcie musí byť hodnota novej premennej kladná), potom dostaneme rovnicu https://pandia.ru/text/78/063/. images/image092_10.gif" width="41" height="41">; . Riešime sústavu dvoch rovníc: . Dostaneme: ; .

Z rovnice https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17">:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image097_11.gif" width="68" height="41 src=">.gif" width="67" height="23 src=">. Páry a https://pandia.ru/text/78/063/images/image083_11.gif" width="37" height="19 src="> a vyberte najväčšiu, ktorá sa samozrejme rovná 3.

Zoberme si niekoľko príkladov „kombinovaných“ systémov rovníc, ktoré zahŕňajú rovnice rôznych typov: iracionálne, logaritmické, exponenciálne.

Príklad 6. Vyriešte systém rovníc https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">,

2. Transformujte systém pomocou vlastností stupňa a logaritmu:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image104_9.gif" width="69" height="24 src="> (1), potom bude mať druhá rovnica systému tvar: Poďme vyriešte túto zlomkovú racionálnu rovnicu za predpokladu, že dostaneme: https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> cez .

Keď https://pandia.ru/text/78/063/images/image109_8.gif" width="77" height="24 src=">.gif" width="104" height="24 src="> . Vyriešme túto rovnicu: keďže musí byť kladná, potom ide o cudzí koreň; https://pandia.ru/text/78/063/images/image110_8.gif" width="49 height=41" height="41">, dostaneme .

Keď https://pandia.ru/text/78/063/images/image115_7.gif" width="65" height="24 src=">.gif" width="116" height="24 src="> . Už sme zistili, že iba druhý faktor produktu sa preto môže rovnať nule: https://pandia.ru/text/78/063/images/image120_7.gif" width="85" height="28 ">. Je zrejmé, že ide o cudzí koreň. Preto ďalším riešením systému je pár. .

Počas štúdia algebry sa školáci stretávajú s mnohými typmi rovníc. Medzi najjednoduchšie patria lineárne, obsahujúce jednu neznámu. Ak sa premenná v matematickom výraze zvýši na určitú mocninu, potom sa rovnica nazýva kvadratická, kubická, bikvadratická atď. Tieto výrazy môžu obsahovať racionálne čísla. Existujú však aj iracionálne rovnice. Od ostatných sa líšia prítomnosťou funkcie, kde je neznáma pod radikálom (čiže čisto externe, premennú tu možno vidieť napísanú pod odmocninou). Riešenie iracionálnych rovníc má svoje charakteristické črty. Pri výpočte hodnoty premennej na získanie správnej odpovede ich treba brať do úvahy.

"Nevysloviteľné slovami"

Nie je žiadnym tajomstvom, že starovekí matematici operovali hlavne s racionálnymi číslami. Patria sem, ako je známe, celé čísla vyjadrené prostredníctvom obyčajných a desatinných periodických zlomkov, zástupcov daného spoločenstva. Riešiť iracionálne rovnice sa však naučili aj vedci zo Stredného a Blízkeho východu, ako aj z Indie, ktorí rozvíjali trigonometriu, astronómiu a algebru. Napríklad Gréci poznali podobné množstvá, ale pri ich slovnej podobe používali pojem „logos“, čo znamenalo „nevyjadrené“. O niečo neskôr Európania, ktorí ich napodobňujú, nazvali takéto čísla „hluchými“. Odlišujú sa od všetkých ostatných v tom, že môžu byť reprezentované iba vo forme nekonečného neperiodického zlomku, ktorého konečné číselné vyjadrenie je jednoducho nemožné získať. Preto sú takíto predstavitelia kráľovstva čísel častejšie písaní vo forme čísel a znakov ako nejaký výraz umiestnený pod koreňom druhého alebo vyššieho stupňa.

Na základe vyššie uvedeného sa pokúsme definovať iracionálnu rovnicu. Takéto výrazy obsahujú takzvané "nevyjadrené čísla", písané pomocou odmocniny. Môžu to byť všetky druhy pomerne zložitých možností, ale vo svojej najjednoduchšej podobe vyzerajú ako na fotografii nižšie.

Pri začatí riešenia iracionálnych rovníc je v prvom rade potrebné vypočítať rozsah prípustných hodnôt premennej.

Dáva výraz zmysel?

Potreba kontroly získaných hodnôt vyplýva z vlastností, ako je známe, takýto výraz je prijateľný a má akýkoľvek význam iba za určitých podmienok. V prípade koreňov párnych stupňov musia byť všetky radikálové výrazy kladné alebo rovné nule. Ak táto podmienka nie je splnená, potom predložený matematický zápis nemožno považovať za zmysluplný.

Uveďme si konkrétny príklad riešenia iracionálnych rovníc (na obrázku nižšie).

V tomto prípade je zrejmé, že zadané podmienky nemôžu byť splnené pre žiadne hodnoty akceptované požadovanou hodnotou, pretože sa ukazuje, že 11 ≤ x ≤ 4. To znamená, že riešením môže byť iba Ø.

Metóda analýzy

Z vyššie uvedeného je zrejmé, ako vyriešiť niektoré typy iracionálnych rovníc. Tu môže byť efektívnym spôsobom jednoduchá analýza.

Uveďme niekoľko príkladov, ktoré to opäť jasne demonštrujú (na obrázku nižšie).

V prvom prípade sa po dôkladnom preskúmaní výrazu okamžite ukáže ako mimoriadne jasné, že to nemôže byť pravda. V skutočnosti by ľavá strana rovnosti mala viesť k kladnému číslu, ktoré sa v žiadnom prípade nemôže rovnať -1.

V druhom prípade možno súčet dvoch kladných výrazov považovať za rovný nule len vtedy, keď x - 3 = 0 a x + 3 = 0 súčasne. A to je opäť nemožné. A to znamená, že odpoveď by mala byť opäť napísaná Ø.

Tretí príklad je veľmi podobný tomu, ktorý už bol diskutovaný vyššie. V skutočnosti tu podmienky ODZ vyžadujú, aby bola splnená nasledujúca absurdná nerovnosť: 5 ≤ x ≤ 2. A takáto rovnica rovnako nemôže mať rozumné riešenia.

Neobmedzený zoom

Povahu iracionálna možno najjasnejšie a úplne vysvetliť a poznať iba prostredníctvom nekonečného radu desatinných čísel. Špecifickým, nápadným príkladom členov tejto rodiny je pí. Nie je bez dôvodu, že táto matematická konštanta je známa už od staroveku a používa sa pri výpočte obvodu a plochy kruhu. Ale medzi Európanmi ho prvýkrát uviedli do praxe Angličan William Jones a Švajčiar Leonard Euler.

Táto konštanta vzniká nasledovne. Ak porovnáme kruhy rôznych obvodov, potom sa pomer ich dĺžok a priemerov nevyhnutne rovná rovnakému číslu. Toto je pí. Ak to vyjadríme obyčajným zlomkom, dostaneme približne 22/7. Prvýkrát to urobil veľký Archimedes, ktorého portrét je znázornený na obrázku vyššie. Preto také číslo dostalo jeho meno. Ale to nie je explicitná, ale približná hodnota snáď najúžasnejšieho čísla. Brilantný vedec našiel požadovanú hodnotu s presnosťou 0,02, ale v skutočnosti táto konštanta nemá skutočný význam, ale je vyjadrená ako 3,1415926535... Je to nekonečný rad čísel, ktorý sa neurčito približuje k nejakej mýtickej hodnote.

Kvadratúra

Vráťme sa však k iracionálnym rovniciam. Aby našli neznáme, v tomto prípade sa veľmi často uchyľujú k jednoduchej metóde: kvadratúru oboch strán existujúcej rovnosti. Táto metóda zvyčajne poskytuje dobré výsledky. Ale treba brať do úvahy zákernosť iracionálnych veličín. Všetky korene získané v dôsledku toho sa musia skontrolovať, pretože nemusia byť vhodné.

Pokračujme však v pohľade na príklady a skúsme nájsť premenné pomocou novo navrhnutej metódy.

Pomocou Vietovej vety nie je vôbec ťažké nájsť požadované hodnoty veličín potom, čo sme v dôsledku určitých operácií vytvorili kvadratickú rovnicu. Tu sa ukazuje, že medzi koreňmi bude 2 a -19. Pri kontrole, nahradení výsledných hodnôt do pôvodného výrazu sa však môžete uistiť, že žiadny z týchto koreňov nie je vhodný. Toto je bežný jav v iracionálnych rovniciach. To znamená, že naša dilema opäť nemá žiadne riešenia a odpoveď by mala označovať prázdnu množinu.

Zložitejšie príklady

V niektorých prípadoch je potrebné umocniť obe strany výrazu nie raz, ale niekoľkokrát. Pozrime sa na príklady, kde sa to vyžaduje. Môžete ich vidieť nižšie.

Po prijatí koreňov ich nezabudnite skontrolovať, pretože sa môžu objaviť ďalšie. Malo by sa vysvetliť, prečo je to možné. Pri použití tejto metódy je rovnica trochu racionalizovaná. Ale tým, že sa zbavíme koreňov, ktoré sa nám nepáčia a ktoré nám bránia vykonávať aritmetické operácie, zdá sa, že rozširujeme existujúci rozsah významov, ktorý je plný (ako sa dá pochopiť) dôsledkov. V dôsledku toho vykonávame kontrolu. V tomto prípade existuje šanca uistiť sa, že je vhodný iba jeden z koreňov: x = 0.

systémy

Čo robiť v prípadoch, keď potrebujeme riešiť sústavy iracionálnych rovníc a nemáme jednu, ale dve neznáme? Tu postupujeme rovnako ako v bežných prípadoch, ale berieme do úvahy vyššie uvedené vlastnosti týchto matematických výrazov. A pri každej novej úlohe by ste, samozrejme, mali použiť kreatívny prístup. Ale opäť je lepšie zvážiť všetko pomocou konkrétneho príkladu uvedeného nižšie. Tu je potrebné nielen nájsť premenné x a y, ale v odpovedi uviesť aj ich súčet. Existuje teda systém obsahujúci iracionálne množstvá (pozri fotografiu nižšie).

Ako vidíte, takáto úloha nepredstavuje nič nadprirodzene ťažké. Musíte byť múdri a uhádnuť, že ľavá strana prvej rovnice je druhá mocnina súčtu. Podobné úlohy sa nachádzajú v jednotnej štátnej skúške.

Iracionálne v matematike

Zakaždým sa medzi ľudstvom objavila potreba vytvárať nové typy čísel, keď nemalo dostatok „priestoru“ na riešenie niektorých rovníc. Iracionálne čísla nie sú výnimkou. Ako svedčia fakty z histórie, veľkí mudrci tomu prvýkrát venovali pozornosť ešte pred naším letopočtom, v 7. storočí. Urobil to matematik z Indie známy ako Manava. Jasne pochopil, že z niektorých prirodzených čísel nie je možné vytiahnuť koreň. Napríklad tieto zahŕňajú 2; 17 alebo 61, ako aj mnohé ďalšie.

Jeden z pytagorejcov, mysliteľ menom Hippus, dospel k rovnakému záveru, keď sa pokúsil urobiť výpočty pomocou číselných vyjadrení strán pentagramu. Objavením matematických prvkov, ktoré sa nedajú vyjadriť číselnými hodnotami a nemajú vlastnosti obyčajných čísel, rozhneval svojich kolegov natoľko, že ho hodili cez palubu lode do mora. Faktom je, že ostatní pytagorejci považovali jeho úvahy za vzburu proti zákonom vesmíru.

Znamenie radikála: Evolúcia

Základné znamienko na vyjadrenie číselnej hodnoty „hluchých“ čísel sa nezačalo hneď používať pri riešení iracionálnych nerovností a rovníc. Európski, najmä talianski, matematici začali o radikáloch prvýkrát uvažovať okolo 13. storočia. Zároveň prišli s myšlienkou použiť na označenie latinské R, ale nemeckí matematici vo svojich dielach konali inak. Viac sa im páčilo písmeno V V Nemecku sa čoskoro rozšírilo označenie V(2), V(3), ktoré malo vyjadrovať druhú odmocninu z 2, 3 atď. Neskôr zasiahli Holanďania a upravili znak radikála. A Rene Descartes dokončil evolúciu a priviedol odmocninu k modernej dokonalosti.

Zbavenie sa iracionálneho

Iracionálne rovnice a nerovnosti môžu obsahovať premennú nielen pod znamienkom druhej odmocniny. Môže byť akéhokoľvek stupňa. Najbežnejším spôsobom, ako sa ho zbaviť, je zvýšiť obe strany rovnice na príslušný výkon. Toto je hlavná akcia, ktorá pomáha pri operáciách s iracionálnym. Činnosti v párnych prípadoch sa príliš nelíšia od tých, o ktorých sme už diskutovali skôr. Tu je potrebné vziať do úvahy podmienky pre nezápornosť radikálneho výrazu a na konci riešenia je potrebné odfiltrovať cudzie hodnoty premenných rovnakým spôsobom, ako bolo uvedené v už uvažovaných príkladoch. .

Medzi ďalšie transformácie, ktoré pomáhajú nájsť správnu odpoveď, sa často používa násobenie výrazu jeho konjugátom a často je tiež potrebné zaviesť novú premennú, ktorá uľahčuje riešenie. V niektorých prípadoch je vhodné použiť grafy na zistenie hodnoty neznámych.

Metódy riešenia iracionálnych rovníc.

Predbežná príprava na lekciu: Študenti by mali byť schopní riešiť iracionálne rovnice rôznymi spôsobmi.

Tri týždne pred touto hodinou dostanú študenti domácu úlohu číslo 1: vyriešiť rôzne iracionálne rovnice. (Študenti nezávisle nájdu 6 rôznych iracionálnych rovníc a vyriešia ich vo dvojiciach.)

Týždeň pred touto vyučovacou hodinou dostávajú žiaci domácu úlohu č.2, ktorú samostatne plnia.

1. Vyriešte rovnicurôzne cesty.

2. Zhodnoťte výhody a nevýhody každej metódy.

3. Zaznamenajte zistenia vo forme tabuľky.

№ p/p	spôsob	Výhody	Nedostatky

Ciele lekcie:

Vzdelávacie:zovšeobecnenie vedomostí študentov na túto tému, demonštrácia rôznych metód riešenia iracionálnych rovníc, schopnosť študentov pristupovať k riešeniu rovníc z výskumnej perspektívy.

Vzdelávacie:podpora samostatnosti, schopnosti počúvať druhých a komunikovať v skupinách, zvýšiť záujem o predmet.

vývojové:rozvoj logického myslenia, algoritmickej kultúry, sebavzdelávacích schopností, sebaorganizácie, práce vo dvojici pri domácich úlohách, schopnosti analyzovať, porovnávať, zovšeobecňovať a vyvodzovať závery.

Vybavenie: počítač, projektor, plátno, tabuľka „Pravidlá riešenia iracionálnych rovníc“, plagát s citátom M.V. Lomonosov „Matematika by sa mala vyučovať len vtedy, pretože dáva do poriadku myseľ,“ karty.

Pravidlá riešenia iracionálnych rovníc.

Typ lekcie: lekcia-seminár (práca v skupinách 5-6 ľudí, každá skupina musí mať silných študentov).

Počas vyučovania

ja . Organizovanie času

(Komunikácia témy a cieľov lekcie)

II . Prezentácia výskumnej práce „Metódy riešenia iracionálnych rovníc“

(Prácu prezentuje študent, ktorý ju robil.)

III . Rozbor metód riešenia domácich úloh

(Jeden študent z každej skupiny napíše na tabuľu svoj navrhnutý spôsob riešenia. Každá skupina analyzuje jednu z metód riešenia, zhodnotí výhody a nevýhody a vyvodí závery. Žiaci v skupinách podľa potreby doplnia. Analýza a závery skupiny Odpovede musia byť jasné a úplné.)

Prvá metóda: zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú silu a následná kontrola.

Riešenie.

Opäť odmocnime obe strany rovnice:

Odtiaľ

Vyšetrenie:

1. Akx=42 teda, čo znamená číslo42 nie je koreňom rovnice.

2. Akx=2, potom, čo znamená číslo2 je koreňom rovnice.

odpoveď:2.

№ p/p	spôsob	Výhody	Nedostatky
	Zvýšenie oboch strán rovnice na rovnakú moc	1. Vidím. 2 dostupné.	1. Slovná nahrávka. 2. Ťažké overovanie.

Záver. Pri riešení iracionálnych rovníc zdvihnutím oboch strán rovnice na rovnakú mocninu je potrebné viesť slovný záznam, vďaka ktorému je riešenie zrozumiteľné a prístupné. Povinné overenie je však niekedy zložité a časovo náročné. Táto metóda môže byť použitá na riešenie jednoduchých iracionálnych rovníc obsahujúcich 1-2 radikály.

Druhá metóda: ekvivalentné transformácie.

Riešenie:Odmocnime obe strany rovnice:

odpoveď:2.

№ p/p	spôsob	Výhody	Nedostatky
	Ekvivalentné transformácie	1. Nedostatok slovného opisu. 2. Bez overenia. 3. Jasný logický zápis. 4. Postupnosť ekvivalentných prechodov.	1. Ťažkopádne nahrávanie. 2. Pri kombinovaní znakov systému a súpravy sa môžete pomýliť.

Záver. Pri riešení iracionálnych rovníc metódou ekvivalentných prechodov musíte jasne vedieť, kedy umiestniť znamienko systému a kedy znamienko súhrnu. Ťažkosť záznamu a rôzne kombinácie systémových a kombinačných symbolov často vedú k chybám. Postupnosť ekvivalentných prechodov, jasný logický zápis bez slovného opisu, ktorý nevyžaduje overenie, sú však nespornými výhodami tejto metódy.

Tretia metóda: funkčno-grafická.

Riešenie.

Pozrime sa na funkcieA.

1. Funkciaupokojiť; sa zvyšuje, pretože exponent je kladné (nie celé) číslo.

D(f).

Vytvorme si tabuľku hodnôtXAf( X).

	1,5		3,5
f(x)

2. Funkciaupokojiť; klesá.

Nájdite doménu definície funkcieD( g).

Vytvorme si tabuľku hodnôtXAg( X).

g(x)

Zostavme tieto grafy funkcií v jednom súradnicovom systéme.

Grafy funkcií sa pretínajú v bode úsečkyPretože funkciuf( X) zvyšuje a funkciug( X) klesá, potom bude existovať iba jedno riešenie rovnice.

odpoveď: 2.

№p/p	spôsob	Výhody	Nedostatky
	Funkčno-grafické	1. Viditeľnosť. 2. Nie je potrebné robiť zložité algebraické transformácie a sledovať ODZ. 3. Umožňuje nájsť počet riešení.	1. slovný záznam. 2. Nie vždy je možné nájsť presnú odpoveď a ak je odpoveď presná, je potrebné overenie.

Záver. Funkčno-grafická metóda je vizuálna a umožňuje vám nájsť počet riešení, ale je lepšie ju použiť, keď môžete ľahko zostaviť grafy zvažovaných funkcií a získať presnú odpoveď. Ak je odpoveď približná, potom je lepšie použiť inú metódu.

Štvrtá metóda: zavedenie novej premennej.

Riešenie.Predstavme si nové premenné, označujúceZískame prvú rovnicu systému

Vytvorme druhú rovnicu sústavy.

Pre premennú:

Pre premennú

Preto

Získame sústavu dvoch racionálnych rovníc, vzhľadom naA

Návrat k premennej, dostaneme

Predstavujeme novú premennú

Zjednodušenie – získanie sústavy rovníc, ktorá neobsahuje radikály

1. Potreba sledovať DID nových premenných

2. Potreba návratu k pôvodnej premennej

Záver. Táto metóda sa najlepšie používa pre iracionálne rovnice obsahujúce radikály rôzneho stupňa alebo rovnaké polynómy pod znamienkom koreňa a za znamienkom koreňa alebo recipročné výrazy pod znamienkom koreňa.

- Takže, chlapci, pre každú iracionálnu rovnicu si musíte vybrať najvhodnejší spôsob, ako ju vyriešiť: pochopiteľné. Prístupné, logicky a kompetentne navrhnuté. Zdvihnite ruku, kto z vás by uprednostnil:

1) metóda zvýšenia oboch strán rovnice na rovnakú mocninu s overením;

2) metóda ekvivalentných transformácií;

3) funkčno-grafická metóda;

4) spôsob zavedenia novej premennej.

IV . Praktická časť

(Pracujte v skupinách. Každá skupina žiakov dostane kartičku s rovnicou a rieši ju do zošita. V tomto čase jeden zástupca zo skupiny rieši príklad na tabuli. Žiaci každej skupiny riešia rovnaký príklad ako člen svoju skupinu a sledovať správne vykonanie úloh na tabuli Ak odpovedá pri tabuli robí chyby, tak ten, kto si ich všimne, zdvihne ruku a pomôže ich opraviť počas hodiny každý žiak okrem vyriešeného príkladu svojou skupinou, musí zapísať ostatné navrhnuté skupinám do zošita a vyriešiť ich doma.)

Skupina 1.

Skupina 2.

Skupina 3.

V . Samostatná práca

(V skupinách najskôr prebieha diskusia a potom žiaci začnú plniť úlohu. Správne riešenie pripravené učiteľom sa zobrazí na obrazovke.)

VI . Zhrnutie lekcie

Teraz už viete, že riešenie iracionálnych rovníc si vyžaduje dobré teoretické znalosti, schopnosť ich aplikovať v praxi, pozornosť, tvrdú prácu a inteligenciu.

Domáca úloha

Vyriešte rovnice zadané skupinám počas hodiny.