O ecuație este o egalitate în care există un termen necunoscut - x. Sensul lui trebuie găsit.

Mărimea necunoscută se numește rădăcina ecuației. Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea rădăcinii acesteia, iar pentru aceasta trebuie să cunoașteți proprietățile ecuațiilor. Ecuațiile pentru clasa a 5-a nu sunt dificile, dar dacă înveți cum să le rezolvi corect, nu vei mai avea probleme cu ele în viitor.

Proprietatea principală a ecuațiilor

Când ambele părți ale ecuației sunt modificate cu aceeași cantitate, aceasta continuă să fie aceeași ecuație cu aceeași rădăcină. Să rezolvăm câteva exemple pentru a înțelege mai bine această regulă.

Cum se rezolvă ecuații: adunare sau scădere

Să presupunem că avem o ecuație de forma:

• a + x = b - aici a și b sunt numere și x este termenul necunoscut al ecuației.

Dacă adunăm (sau scădem din ele) valoarea lui c la ambele părți ale ecuației, aceasta nu se va modifica:

• a + x + c = b + c
• a + x - c = b - c.

Exemplul 1

Să folosim această proprietate pentru a rezolva ecuația:

• 37+x=51

Scădeți numărul 37 din ambele părți:

• 37+x-37=51-37

primim:

• x=51-37.

Rădăcina ecuației este x=14.

Dacă ne uităm îndeaproape la ultima ecuație, vedem că este aceeași cu prima. Pur și simplu am mutat termenul 37 dintr-o parte a ecuației în cealaltă, înlocuind plusul cu un minus.

Se pare că orice număr poate fi transferat dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus.

Exemplul 2

• 37+x=37+22

Să efectuăm aceeași acțiune, transferăm numărul 37 din partea stângă a ecuației la dreapta:

• x=37-37+22

Deoarece 37-37=0, pur și simplu reducem acest lucru și obținem:

• x = 22.

Aceiași termeni ai ecuației cu același semn, localizați în părți diferite ale ecuației, pot fi reduceți (barați).

Ecuații de înmulțire și împărțire

Ambele părți ale ecuației pot fi, de asemenea, înmulțite sau împărțite cu același număr:

Dacă egalitatea a = b este împărțită sau înmulțită cu c, aceasta nu se va modifica:

• a/c = b/c,
• ac = bc.

Exemplul 3

• 5x = 20

Împărțiți ambele părți ale ecuației la 5:

• 5x/5 = 20/5.

Deoarece 5/5 \u003d 1, atunci reducem acești multiplicatori și divizor din partea stângă a ecuației și obținem:

• x=20/5, x=4

Exemplul 4

• 5x = 5a

Dacă ambele părți ale ecuației sunt împărțite la 5, obținem:

• 5x/5 = 5a/5.

5 în numărătorul și numitorul părților din stânga și din dreapta sunt reduse, se dovedește x \u003d a. Aceasta înseamnă că aceiași factori din partea stângă și dreaptă a ecuațiilor se anulează.

Să rezolvăm un alt exemplu:

• 13 + 2x = 21

Transferăm termenul 13 din partea stângă a ecuației în partea dreaptă cu semnul opus:

• 2x = 21 - 13
• 2x = 8.

Împărțim ambele părți ale ecuației la 2 și obținem:

• x = 4.

Înmulțirea sistemului de ecuații normale NttXt1 + Bt1 = 0 cu matricea inversă N-1

a primi:

(34)

(35)

Rezolvarea ecuațiilor normale prin metoda inversării.

Prin definiția unei matrici inverse, N-1N = E. Această egalitate este folosită pentru a justifica modul în care sunt definite elementele unei matrici inverse. Fie t = 2.

Asta implică:

- Primul sistem de ecuații normale ponderate.

- Al 2-lea sistem de ecuații normale ponderate.

În cazul general, ca urmare a unor astfel de acțiuni, obținem t sisteme de ecuații normale ponderate cu t ecuații în fiecare sistem. Aceste sisteme au aceeași matrice de coeficienți ca și cea principală, cu δxj necunoscut, și diferă de aceasta doar în coloane de termeni liberi. În a j-a ecuație a sistemului j-a, termenul liber este egal cu -1, restul sunt egali cu zero. Sistemele de ecuații normale ponderate sunt rezolvate în paralel cu sistemul principal, într-o schemă generală, folosind coloane suplimentare pentru membrii liberi ai acestor sisteme (Tabelul 9). Pentru control, valorile calculate ale elementelor matricei inverse Qij sunt înlocuite în ecuațiile totale compilate pentru sistemele de greutate. De exemplu, pentru t = 2 aceste ecuații vor arăta astfel:

( + [pab])Q11 + ( + )Q12 - 1 = 0;

( + )Q21 + ( + ) Q22 - 1 = 0.

Egalitățile Qij = Qji (i ≠ j) sunt utilizate pentru controlul preliminar.

Elementele matricei inverse Qij se numesc coeficienți de greutate.

Tabelul 9

Determinarea elementelor matricei inverse în schema Gauss

3.6. Estimarea preciziei pe baza materialelor de ajustare

Eroarea pătratică medie a funcției parametru este determinată de formula:

Unde

(36)

Eroarea pătratică medie a unității de greutate;

(37)

Greutatea reciprocă a funcției parametru sau sub formă de matrice:

(38)

Greutatea inversă a parametrului egală cu elementul diagonal al matricei inverse.

3.7. Schema bloc a metodei de reglare parametrică

1. Analizați setul de măsurători yi, determinați t - numărul de măsurători necesare. Setați sistemul de greutăți de măsurare pi (i = 1, 2, ..., n).

2. Alegeți parametri independenți x1, x2, ..., xt, al căror număr este egal cu t.

3. Alcătuiți ecuații parametrice de comunicare. Valorile ajustate ale tuturor valorilor măsurate sunt exprimate ca funcții ale parametrilor selectați.

4. Găsiți valorile aproximative ale parametrilor x0j.

5. Ecuațiile de comunicare parametrică conduc la o formă liniară, se calculează coeficienții și termenii liberi ai ecuațiilor de corecție parametrică.

6. Compuneți o funcție parametru pentru a evalua acuratețea acesteia. Funcția de greutate este liniarizată.

7. Compune ecuații normale, calculează coeficienți și termeni liberi ai ecuațiilor normale.

8. Rezolvați ecuații normale, calculați corecții la valorile aproximative ale parametrilor și controlați-le.

9. Calculați corecțiile vi la rezultatele măsurării și controlați νi și .

10. Calculați parametrii, rezultatele măsurătorilor ajustate și efectuați controlul ajustării.

11. Calculați greutățile reciproce ale parametrilor și funcțiile parametrilor.

12. Efectuați o evaluare a preciziei rezultatelor măsurătorilor, calculați eroarea standard a unei unități de greutate.

13. Calculați erorile pătratice medii ale valorilor egalizate.

O ecuație cu o necunoscută, care, după deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari, ia forma

ax + b = 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu unul necunoscut. Astăzi ne vom da seama cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.

De exemplu, toate ecuațiile:

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - liniar.

Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o egalitate adevărată decizie sau rădăcina ecuației .

De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 \u003d 13 înlocuim numărul 2 în loc de necunoscutul x, atunci obținem egalitatea corectă 3 2 + 7 \u003d 13. Aceasta înseamnă că valoarea x \u003d 2 este soluția sau rădăcina ecuației.

Și valoarea x \u003d 3 nu transformă ecuația 3x + 7 \u003d 13 într-o egalitate adevărată, deoarece 3 2 + 7 ≠ 13. Prin urmare, valoarea x \u003d 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.

Rezolvarea oricăror ecuații liniare se reduce la soluția ecuațiilor de forma

ax + b = 0.

Transferăm termenul liber din partea stângă a ecuației în partea dreaptă, în timp ce schimbăm semnul din fața lui b la opus, obținem

Dacă a ≠ 0, atunci x = – b/a .

Exemplul 1 Rezolvați ecuația 3x + 2 =11.

Transferăm 2 din partea stângă a ecuației la dreapta, în timp ce schimbăm semnul în fața lui 2 la opus, obținem
3x \u003d 11 - 2.

Să facem scăderea, atunci
3x = 9.

Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x = 9:3.

Deci valoarea x = 3 este soluția sau rădăcina ecuației.

Răspuns: x = 3.

Dacă a = 0 și b = 0, atunci obținem ecuația 0x \u003d 0. Această ecuație are infinit de soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b este, de asemenea, 0. Soluția acestei ecuații este orice număr.

Exemplul 2 Rezolvați ecuația 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Să extindem parantezele:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Iată membri similari:
0x = 0.

Răspuns: x este orice număr.

Dacă a = 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x = - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b ≠ 0.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația x + 8 = x + 5.

Să grupăm termenii care conțin necunoscute în partea stângă și termenii liberi în partea dreaptă:
x - x \u003d 5 - 8.

Iată membri similari:
0x = - 3.

Răspuns: fără soluții.

Pe figura 1 este prezentată schema de rezolvare a ecuaţiei liniare

Să compunem o schemă generală de rezolvare a ecuațiilor cu o variabilă. Luați în considerare soluția exemplului 4.

Exemplul 4 Să rezolvăm ecuația

1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.

2) După reducere obținem
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Pentru a separa membrii care conțin membri necunoscuți și liberi, deschideți paranteze:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Grupăm într-o parte termenii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - termeni liberi:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Iată membri similari:
- 22x = - 154.

6) Împărțiți la - 22 , obținem
x = 7.

După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.

În general, așa ecuațiile pot fi rezolvate după cum urmează:

a) aduceți ecuația într-o formă întreagă;

b) paranteze deschise;

c) grupează termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației, iar termenii liberi în cealaltă;

d) aduce membri similari;

e) rezolvați o ecuație de forma aх = b, care s-a obținut după aducerea unor termeni similari.

Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvați multe ecuații mai simple, trebuie să începeți nu de la prima, ci de la a doua ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. 13) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.

Exemplul 5 Rezolvați ecuația 2x = 1/4.

Găsim necunoscutul x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .

Luați în considerare soluția unor ecuații liniare întâlnite la examenul de stat principal.

Exemplul 6 Rezolvați ecuația 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Răspuns: - 0,125

Exemplul 7 Rezolvați ecuația - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Răspuns: 2.3

Exemplul 8 Rezolvați ecuația

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Exemplul 9 Găsiți f(6) dacă f (x + 2) = 3 7

Soluţie

Deoarece trebuie să găsim f(6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 = 6.

Rezolvăm ecuația liniară x + 2 = 6,
obținem x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Dacă x = 4 atunci
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Raspuns: 27.

Dacă mai aveți întrebări, există dorința de a înțelege mai bine soluția ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele în PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!

De asemenea, TutorOnline vă recomandă să vizionați un nou tutorial video de la tutorele noastre Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

pentru a rezolva matematica. Găsiți repede soluție de ecuație matematicăîn mod pe net. Site-ul www.site permite rezolva ecuația aproape orice dat algebric, trigonometric sau ecuație transcendentală online. Când studiezi aproape orice secțiune de matematică în diferite etape, trebuie să te decizi ecuații online. Pentru a obține un răspuns imediat și, cel mai important, un răspuns precis, aveți nevoie de o resursă care vă permite să faceți acest lucru. Multumesc www.site rezolva ecuatii online va dura câteva minute. Principalul avantaj al www.site-ului atunci când rezolvi matematica ecuații online- este viteza și acuratețea răspunsului emis. Site-ul este capabil să rezolve orice ecuații algebrice online, ecuații trigonometrice online, ecuații transcendentale online, precum și ecuații cu parametri necunoscuți în modul pe net. Ecuații servesc ca un puternic aparat matematic solutii sarcini practice. Cu ajutor ecuatii matematice este posibil să se exprime fapte și relații care pot părea la prima vedere confuze și complexe. cantități necunoscute ecuații poate fi găsit prin formularea problemei în matematic limba în formă ecuațiiȘi rezolva sarcina primită în modul pe net pe site-ul www.site. Orice ecuație algebrică, ecuație trigonometrică sau ecuații conținând transcendental te prezintă cu ușurință decide online și obțineți răspunsul corect. Studiind științele naturii, se întâlnește inevitabil nevoia rezolvarea ecuatiilor. În acest caz, răspunsul trebuie să fie corect și trebuie primit imediat în modul pe net. Prin urmare, pentru rezolva ecuatii matematice online va recomandam site-ul www.site, care va deveni calculatorul dumneavoastra indispensabil pentru rezolva ecuații algebrice online, ecuații trigonometrice online, precum și ecuații transcendentale online sau ecuații cu parametri necunoscuți. Pentru probleme practice de găsire a rădăcinilor diverselor ecuatii matematice resursa www.. Rezolvarea ecuații online singur, este util să verificați răspunsul primit folosind soluție online a ecuațiilor pe site-ul www.site. Este necesar să scrieți corect ecuația și să obțineți instantaneu soluție online, după care rămâne doar să comparăm răspunsul cu soluția ta la ecuație. Verificarea răspunsului nu va dura mai mult de un minut, suficient rezolva ecuația onlineși comparați răspunsurile. Acest lucru vă va ajuta să evitați greșelile în decizie si corecteaza raspunsul la timp rezolvarea de ecuații online dacă algebric, trigonometric, transcendent sau ecuația cu parametri necunoscuți.

Una dintre cele mai importante abilități în admiterea in clasa a V-a este capacitatea de a rezolva ecuații simple. Deoarece clasa a 5-a nu este încă atât de departe de școala elementară, nu există atât de multe tipuri de ecuații pe care un elev să le poată rezolva. Vă vom prezenta toate tipurile principale de ecuații pe care aveți nevoie pentru a le putea rezolva dacă doriți inscrie-te la o scoala de fizica si matematica.

1 tip: "bulbos"
Acestea sunt ecuații pe care aproape sigur le vei întâlni când admiterea la orice școală sau un cerc de clasa a 5-a ca sarcină separată. Sunt ușor de distins de altele: conțin o variabilă o singură dată. De exemplu, sau.
Se rezolvă foarte simplu: trebuie doar să „ajungi” la necunoscut, „eliminând” treptat tot ce este de prisos care îl înconjoară – ca și cum ai curăța o ceapă – de unde și numele. Pentru a o rezolva, este suficient să ne amintim câteva reguli din clasa a doua. Să le enumerăm pe toate:

Plus

1. termen1 + termen2 = suma
2. termen1 = suma - termen2
3. termen2 = suma - termen1

Scădere

1. minuend - subtraend = diferență
2. minuend = subtraend + diferență
3. subtrahend = minuend - diferență

Multiplicare

1. multiplicator1 * multiplicator2 = produs
2. multiplicator1 = produs: multiplicator2
3. multiplicator2 = produs: multiplicator1

Divizia

1. dividend: divizor = coeficient
2. dividend = divizor * coeficient
3. divisor = dividend: coeficient

Să ne uităm la un exemplu de aplicare a acestor reguli.

Rețineți că împărtășim pe și obținem . În această situație, cunoaștem divizorul și câtul. Pentru a găsi dividendul, trebuie să înmulțiți divizorul cu câtul:

Ne-am apropiat puțin de noi înșine. Acum vedem că adaugat si obtinut. Deci, pentru a găsi unul dintre termeni, trebuie să scădeți termenul cunoscut din sumă:

Și încă un „strat” este îndepărtat din necunoscut! Acum vedem o situație cu o valoare cunoscută a produsului () și un multiplicator cunoscut ().

Acum situația este „redusă - scăzută = diferență”

Iar ultimul pas este produsul cunoscut () și unul dintre factorii ()

2 tip: ecuații cu paranteze
Ecuațiile de acest tip se găsesc cel mai adesea în probleme - 90% din toate problemele pt admiterea in clasa a 5-a. Spre deosebire de „ecuații de ceapă” variabila de aici poate apărea de mai multe ori, deci este imposibil să o rezolvi folosind metodele din paragraful anterior. Ecuații tipice: sau
Principala dificultate este deschiderea corectă a parantezelor. După ce am reușit să facem acest lucru corect, ar trebui să aducem termeni similari (numere la numere, variabile la variabile), iar după aceea obținem cei mai simpli „ecuația ceapă” pe care le putem rezolva. Dar mai întâi lucrurile.

Extindere suport. Vom da câteva reguli care ar trebui folosite în acest caz. Dar, după cum arată practica, elevul începe să deschidă corect parantezele numai după 70-80 de probleme rezolvate. Regula de bază este următoarea: orice factor din afara parantezei trebuie înmulțit cu fiecare termen din paranteze. Și minusul dinaintea parantezei schimbă semnul tuturor expresiilor care se află în interior. Deci, regulile de bază de dezvăluire:

Aducerea asemănătoare. Totul este mult mai ușor aici: prin transferul termenilor prin semnul egal, trebuie să vă asigurați că, pe de o parte, există doar termeni cu necunoscut, iar pe de altă parte - numai numere. Regula de bază este următoarea: fiecare termen transportat își schimbă semnul - dacă a fost cu, atunci va deveni cu și invers. După un transfer reușit, este necesar să numărați numărul total de necunoscute, numărul final de cealaltă parte a egalității decât variabilele și să rezolvați o simplă „ecuația ceapă”.