Formule de înmulțire prescurtate.

Studierea formulelor de înmulțire prescurtată: pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii; diferența de pătrate a două expresii; cubul sumei și cubul diferenței a două expresii; sume și diferențe de cuburi a două expresii.

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.

Pentru a simplifica expresiile, a factoriza polinoamele și a reduce polinoamele la o formă standard, se folosesc formule de înmulțire abreviate. Formule de înmulțire prescurtate pe care trebuie să le cunoașteți pe de rost.

Fie a, b R. Atunci:

1. Pătratul sumei a două expresii este pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Pătratul diferenței a două expresii este pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Diferența de pătrate două expresii este egală cu produsul diferenței acestor expresii și suma lor.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. cub suma a două expresii este egal cu cubul primei expresii plus de trei ori pătratul primei expresii ori a doua plus de trei ori produsul primei expresii ori pătratul celei de-a doua plus cubul celei de-a doua expresii.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. cub de diferență a două expresii este egal cu cubul primei expresii minus de trei ori produsul pătratului primei expresii și al doilea plus de trei ori produsul primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul celei de-a doua expresii.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Suma de cuburi două expresii este egal cu produsul sumei primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al diferenței acestor expresii.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Diferența de cuburi a două expresii este egal cu produsul diferenței primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al sumei acestor expresii.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.

Exemplul 1

calculati

a) Folosind formula pentru pătratul sumei a două expresii, avem

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Folosind formula pentru diferența pătrată a două expresii, obținem

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Exemplul 2

calculati

Folosind formula pentru diferența pătratelor a două expresii, obținem

Exemplul 3

Simplificați expresia

(x - y) 2 + (x + y) 2

Folosim formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Formule de înmulțire prescurtate într-un singur tabel:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Diferența de pătrate

Obținem formula pentru diferența de pătrate $a^2-b^2$.

Pentru a face acest lucru, amintiți-vă următoarea regulă:

Dacă orice monom este adăugat expresiei și același monom este scăzut, atunci obținem identitatea corectă.

Să adăugăm la expresia noastră și să scădem din ea monomiul $ab$:

În total, obținem:

Adică, diferența pătratelor a două monomii este egală cu produsul dintre diferența lor și suma lor.

Exemplul 1

Exprimați ca produs de $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

Suma de cuburi

Obținem formula pentru suma cuburilor $a^3+b^3$.

Să luăm factorii comuni din paranteze:

Să scoatem $\left(a+b\right)$ din paranteze:

În total, obținem:

Adică, suma cuburilor a două monomii este egală cu produsul sumei lor cu pătratul incomplet al diferenței lor.

Exemplul 2

Exprimați ca produs $(8x)^3+y^3$

Această expresie poate fi rescrisă în următoarea formă:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

Folosind formula diferenței pătratelor, obținem:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

Diferența de cuburi

Obținem formula pentru diferența de cuburi $a^3-b^3$.

Pentru a face acest lucru, vom folosi aceeași regulă ca mai sus.

Să adăugăm la expresia noastră și să scădem din ea monomiile $a^2b\ și\ (ab)^2$:

Să luăm factorii comuni din paranteze:

Să scoatem $\left(a-b\right)$ din paranteze:

În total, obținem:

Adică, diferența cuburilor a două monomii este egală cu produsul diferenței lor cu pătratul incomplet al sumei lor.

Exemplul 3

Exprimați ca produs de $(8x)^3-y^3$

Această expresie poate fi rescrisă în următoarea formă:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

Folosind formula diferenței pătratelor, obținem:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

Un exemplu de sarcini pentru utilizarea formulelor pentru diferența de pătrate și suma și diferența de cuburi

Exemplul 4

Multiplica.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Decizie:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

Aplicând formula diferenței pătratelor, obținem:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Să scriem această expresie sub forma:

Să aplicăm formula cuburilor de cuburi:

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Să scriem această expresie sub forma:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Să aplicăm formula cuburilor de cuburi:

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\dreapta)\]

Formulele sau regulile de înmulțire redusă sunt folosite în aritmetică și, mai precis, în algebră, pentru un proces mai rapid de calculare a expresiilor algebrice mari. Formulele în sine sunt derivate din regulile existente în algebră pentru înmulțirea mai multor polinoame.

Utilizarea acestor formule oferă o soluție destul de rapidă la diferite probleme matematice și, de asemenea, ajută la simplificarea expresiilor. Regulile transformărilor algebrice vă permit să efectuați niște manipulări cu expresii, în urma cărora puteți obține expresia din partea stângă a egalității, care este în partea dreaptă, sau transforma partea dreaptă a egalității (pentru a obține expresia pe partea stângă după semnul egal).

Este convenabil să cunoașteți formulele folosite pentru înmulțirea prescurtată prin memorie, deoarece acestea sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor și ecuațiilor. Principalele formule incluse în această listă și numele lor sunt enumerate mai jos.

suma pătratului

Pentru a calcula pătratul sumei, trebuie să găsiți suma constând din pătratul primului termen, de două ori produsul primului termen și al celui de-al doilea și pătratul celui de-al doilea. Sub forma unei expresii, această regulă se scrie după cum urmează: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Pătratul diferenței

Pentru a calcula pătratul diferenței, trebuie să calculați suma constând din pătratul primului număr, de două ori produsul primului număr cu al doilea (luat cu semnul opus) și pătratul celui de-al doilea număr. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Diferența de pătrate

Formula pentru diferența a două numere la pătrat este egală cu produsul dintre suma acestor numere și diferența lor. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

cub suma

Pentru a calcula cubul sumei a doi termeni, trebuie să calculați suma constând din cubul primului termen, produsul triplu al pătratului primului termen și al celui de al doilea, produsul triplu al primului termen și al doilea pătratul, iar cubul celui de-al doilea termen. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Suma de cuburi

Conform formulei, este egal cu produsul dintre suma acestor termeni și pătratul lor incomplet al diferenței. Sub forma unei expresii, această regulă arată astfel: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul figurii, care se formează prin adăugarea a două cuburi. Se cunosc doar mărimile laturilor lor.

Dacă valorile laturilor sunt mici, atunci este ușor să efectuați calcule.

Dacă lungimile laturilor sunt exprimate în numere greoaie, atunci în acest caz este mai ușor să aplicați formula „Suma cuburilor”, care va simplifica foarte mult calculele.

cub de diferență

Expresia pentru diferența cubică sună astfel: ca sumă a treia putere a primului termen, triplă produsul negativ al pătratului primului termen cu al doilea, triplă produsul primului termen cu pătratul celui de-al doilea. , și cubul negativ al celui de-al doilea termen. Sub forma unei expresii matematice, cubul de diferență arată astfel: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Diferența de cuburi

Formula pentru diferența de cuburi diferă de suma cuburilor printr-un singur semn. Astfel, diferența de cuburi este o formulă egală cu produsul diferenței acestor numere prin pătratul lor incomplet al sumei. În formă, diferența de cuburi arată astfel: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Exemplu. Este necesar să se calculeze volumul figurii care va rămâne după scăderea cifrei volumetrice galbene, care este tot un cub, din volumul cubului albastru. Se cunoaște doar dimensiunea laturii unui cub mic și mare.

Dacă valorile laturilor sunt mici, atunci calculele sunt destul de simple. Și dacă lungimile laturilor sunt exprimate în numere semnificative, atunci merită să utilizați o formulă intitulată „Diferența cuburilor” (sau „Cubul diferențelor”), care va simplifica foarte mult calculele.

Formulele de multiplicare abreviate (FSU) sunt folosite pentru a exponenția și înmulți numerele și expresiile. Adesea, aceste formule vă permit să faceți calcule mai compact și mai rapid.

În acest articol, vom enumera principalele formule pentru înmulțirea abreviată, le vom grupa într-un tabel, vom lua în considerare exemple de utilizare a acestor formule și, de asemenea, vom insista asupra principiilor de a demonstra formulele de înmulțire abreviată.

Pentru prima dată, tema FSU este luată în considerare în cadrul cursului „Algebră” pentru clasa a VII-a. Mai jos sunt 7 formule de bază.

Formule de înmulțire prescurtate

1. formula sumei pătrate: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. Formula pătrată a diferenței: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. formula cubului sumei: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. Formula cubului de diferență: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. formula diferenței de pătrate: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. formula pentru suma cuburilor: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. Formula diferenței cubului: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Literele a, b, c din aceste expresii pot fi orice numere, variabile sau expresii. Pentru ușurință în utilizare, este mai bine să învățați pe de rost cele șapte formule de bază. Le rezumăm într-un tabel și le dăm mai jos, încercuindu-le cu o cutie.

Primele patru formule vă permit să calculați, respectiv, pătratul sau cubul sumei sau diferenței a două expresii.

A cincea formulă calculează diferența de pătrate de expresii înmulțind suma și diferența acestora.

A șasea și a șaptea formule sunt, respectiv, înmulțirea sumei și diferenței de expresii cu pătratul incomplet al diferenței și pătratul incomplet al sumei.

Formula de înmulțire abreviată este uneori numită și identități de înmulțire abreviată. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece fiecare egalitate este o identitate.

Când rezolvați exemple practice, formulele de înmulțire abreviate sunt adesea folosite cu părți din stânga și din dreapta rearanjate. Acest lucru este deosebit de convenabil atunci când factorizarea unui polinom.

Formule de înmulțire abreviate suplimentare

Nu ne vom limita la cursul de algebră de clasa a VII-a și vom adăuga câteva formule în tabelul nostru FSU.

În primul rând, luați în considerare formula binomială a lui Newton.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Aici C n k sunt coeficienții binomi care sunt în numărul de linie n în triunghiul lui Pascal. Coeficienții binomi se calculează cu formula:

C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

După cum puteți vedea, FSU pentru pătratul și cubul diferenței și a sumei este un caz special al formulei binomiale a lui Newton pentru n=2 și, respectiv, n=3.

Dar ce se întâmplă dacă există mai mult de doi termeni în suma care trebuie ridicată la o putere? Va fi utilă formula pentru pătratul sumei a trei, patru sau mai mulți termeni.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

O altă formulă care poate fi utilă este formula pentru diferența dintre puterile a n-a a doi termeni.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Această formulă este de obicei împărțită în două formule - respectiv pentru grade pare și impare.

Pentru exponenți pari 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Pentru exponenți impari 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Formulele pentru diferența de pătrate și diferența de cuburi, ați ghicit, sunt cazuri speciale ale acestei formule pentru n = 2 și, respectiv, n = 3. Pentru diferența de cuburi, b se înlocuiește și cu - b .

Cum se citesc formulele de înmulțire prescurtate?

Vom da formulările corespunzătoare pentru fiecare formulă, dar mai întâi ne vom ocupa de principiul citirii formulelor. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este cu un exemplu. Să luăm chiar prima formulă pentru pătratul sumei a două numere.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Ei spun: pătratul sumei a două expresii a și b este egal cu suma pătratului primei expresii, de două ori produsul expresiilor și pătratul celei de-a doua expresii.

Toate celelalte formule sunt citite în mod similar. Pentru diferența pătrată a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 scriem:

pătratul diferenței a două expresii a și b este egal cu suma pătratelor acestor expresii minus de două ori produsul primei și celei de-a doua expresii.

Să citim formula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Cubul sumei a două expresii a și b este egal cu suma cuburilor acestor expresii, de trei ori produsul pătratului primei expresii și a celei de-a doua și de trei ori produsul pătratului celei de-a doua expresii iar prima expresie.

Continuăm să citim formula pentru diferența de cuburi a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Cubul diferenței a două expresii a și b este egal cu cubul primei expresii minus de trei ori pătratul primei expresii și a doua, plus de trei ori pătratul celei de-a doua expresii și prima expresie, minus cubul a celei de-a doua expresii.

A cincea formulă a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (diferența de pătrate) arată după cum urmează: diferența pătratelor a două expresii este egală cu produsul diferenței și suma celor două expresii.

Expresii precum a 2 + a b + b 2 și a 2 - a b + b 2 pentru comoditate se numesc, respectiv, pătratul incomplet al sumei și, respectiv, pătratul incomplet al diferenței.

Având în vedere acest lucru, formulele pentru suma și diferența de cuburi se citesc după cum urmează:

Suma cuburilor a două expresii este egală cu produsul dintre suma acestor expresii și pătratul incomplet al diferenței lor.

Diferența cuburilor a două expresii este egală cu produsul diferenței acestor expresii cu pătratul incomplet al sumei lor.

Dovada FSU

Demonstrarea FSU este destul de simplă. Pe baza proprietăților înmulțirii, vom efectua înmulțirea părților formulelor din paranteze.

De exemplu, luați în considerare formula pentru pătratul diferenței.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Pentru a ridica o expresie la a doua putere, expresia trebuie înmulțită cu ea însăși.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Să extindem parantezele:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Formula a fost dovedită. Celelalte OSF sunt dovedite în mod similar.

Exemple de aplicare a FSO

Scopul utilizării formulelor de înmulțire redusă este de a multiplica și exponenția expresii rapid și concis. Cu toate acestea, acesta nu este întregul domeniu de aplicare al OSF. Sunt utilizate pe scară largă în reducerea expresiilor, reducerea fracțiilor, factorizarea polinoamelor. Să dăm exemple.

Exemplul 1. FSO

Să simplificăm expresia 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Aplicați formula sumei pătratelor și obțineți:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Exemplul 2. FSO

Reduceți fracția 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Observăm că expresia din numărător este diferența de cuburi, iar la numitor - diferența de pătrate.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Reducem și obținem:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU-urile ajută, de asemenea, la calcularea valorilor expresiilor. Principalul lucru este să puteți observa unde să aplicați formula. Să arătăm asta cu un exemplu.

Să punem la pătrat numărul 79. În loc de calcule greoaie, scriem:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

S-ar părea că un calcul complex a fost efectuat rapid folosind doar formule de înmulțire abreviate și o tabelă de înmulțire.

Un alt punct important este selectarea pătratului binomului. Expresia 4 x 2 + 4 x - 3 poate fi convertită în 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Astfel de transformări sunt utilizate pe scară largă în integrare.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În lecțiile anterioare, am analizat două moduri de factorizare a unui polinom: scoaterea din paranteze a factorului comun și metoda grupării.

În această lecție, vom analiza o altă modalitate de a factoriza un polinom folosind formule de înmulțire prescurtate.

Vă recomandăm să scrieți fiecare formulă de cel puțin 12 ori. Pentru o memorare mai bună, notează-ți toate formulele de înmulțire abreviate pe o mică foaie de cheat.

Amintiți-vă cum arată formula pentru diferența de cuburi.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Formula pentru diferența de cuburi nu este foarte ușor de reținut, așa că vă recomandăm să folosiți un mod special de a o aminti.

Este important să înțelegeți că orice formulă de înmulțire prescurtată funcționează și în reversul.

(a - b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Luați în considerare un exemplu. Este necesar să se factorizeze diferența de cuburi.

Rețineți că „27a 3” este „(3a) 3”, ceea ce înseamnă că pentru formula pentru diferența de cuburi, în loc de „a”, folosim „3a”.

Folosim formula pentru diferența de cuburi. În locul „a 3”, avem „27a 3”, iar în locul „b 3”, ca în formulă, există „b 3”.

Aplicarea diferenței de cub în sens invers

Să luăm în considerare un alt exemplu. Este necesar să convertiți produsul polinoamelor în diferența de cuburi folosind formula de înmulțire abreviată.

Vă rugăm să rețineți că produsul polinoamelor „(x − 1) (x 2 + x + 1)” Seamănă cu partea dreaptă a formulei pentru diferența de cuburi „”, numai în loc de „a” este „x”, Și în locul lui „b” este „1”.

Pentru „(x − 1)(x 2 + x + 1)”, folosim formula pentru diferența de cuburi în direcția opusă.

Să luăm în considerare un exemplu mai dificil. Este necesar să se simplifice produsul polinoamelor.

Dacă comparăm „(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)” cu partea dreaptă a formulei pentru diferența de cuburi
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)”, atunci puteți înțelege că în locul lui „a” din prima paranteză este „y 2, iar în loc de „b” este „1”.