za študente medicinski, pediatrični, zobozdravstveni

ter medicinske in preventivne fakultete

k laboratorijskemu delu

"Osnovni koncepti matematične analize"

1. Znanstvena in metodološka utemeljitev teme:

Koncepta odvoda in diferenciala sta med osnovnimi koncepti matematične analize. Izračun odvodov je potreben pri reševanju številnih problemov v fiziki in matematiki (iskanje hitrosti, pospeška, tlaka itd.). Pomen koncepta odvoda je zlasti določen z dejstvom, da odvod funkcije označuje hitrost spremembe te funkcije, ko se spremeni njen argument.

Uporaba diferenciala omogoča približne izračune, pa tudi oceno napak.

Metode iskanja odvodov in diferencialov funkcij ter njihova uporaba so glavna naloga diferencialnega računa. Potreba po konceptu derivata se pojavi v povezavi s formulacijo problema izračuna hitrosti gibanja in iskanja kota tangente na krivuljo. Možen je tudi obratni problem: s pomočjo hitrosti določimo prevoženo razdaljo in s pomočjo tangensa tangentnega kota poiščemo ustrezno funkcijo. Ta inverzni problem vodi do koncepta nedoločenega integrala.

Koncept določenega integrala se uporablja pri številnih praktičnih problemih, zlasti pri problemih izračuna ploščin ravninskih likov, računanju dela, ki ga opravi spremenljiva sila, in iskanju povprečne vrednosti funkcije.

Pri matematičnem opisovanju različnih fizikalnih, kemijskih, bioloških procesov in pojavov se pogosto uporabljajo enačbe, ki vsebujejo ne le preučevane količine, temveč tudi njihove odvode različnih vrst teh količin. Na primer, po najpreprostejši različici zakona o razmnoževanju bakterij je hitrost razmnoževanja sorazmerna s številom bakterij v določenem času. Če to količino označimo z N(t), potem je v skladu s fizikalnim pomenom derivata hitrost razmnoževanja bakterij derivat N(t) in na podlagi omenjenega zakona lahko zapišemo zvezo N "(t)=k∙N, kjer je k>0 - sorazmernostni koeficient. Dobljena enačba ni algebraična, saj vsebuje ne le neznano funkcijo N(t), ampak tudi njen odvod prvega reda.

2. Kratka teorija:

1. Problemi, ki vodijo do koncepta derivata

1. Problem iskanja hitrosti v materialne točke. Naj se neka materialna točka giblje premočrtno. V trenutku v času t 1 bistvo je v položaju M 1. V trenutku v času t 2 noseča M 2 . Označimo interval M 1 , M 2 skozi ΔS; t 2 – t 1 =Δt. Vrednost se imenuje povprečna hitrost gibanja. Iskanje trenutne hitrosti točke na položaju M 1 potrebno Δt hiti proti ničli. Matematično to pomeni

, (1)

Torej, da bi našli trenutno hitrost materialne točke, je treba izračunati mejo razmerja prirastka funkcije ΔS na prirastek argumenta Δt, pod pogojem, da Δt→0.

2. Problem iskanja naklonskega kota tangente na graf funkcije.

Slika 1

Razmislite o grafu neke funkcije y=f(x). Kakšen je naklonski kot?
tangenta, narisana v točki M 1 ? Na točki M 1 Na graf funkcije narišimo tangento. Izberite poljubno točko na grafu M 2 in nariši sekanto. Nagnjena je na os OH pod kotom α 1 . Razmislimo ΔM 1 M 2 A:

, (2)

Če je točka M 1 fix in point M 2 približati M 1 , nato sekans M 1 M 2 bo šlo tangentno na graf funkcije v točki M 1 in lahko napišemo:

, (3)

Tako je treba izračunati mejo razmerja prirastka funkcije in prirastka argumenta, če se prirastek argumenta nagiba k ničli.

Meja razmerja med prirastkom Δy funkcije y=f(x) in prirastkom argumenta Δx v dani točki x 0 ko se Δx nagiba k nič, imenujemo odvod funkcije v dani točki.

Izpeljan zapis: y", f "(x), . A-prednost

, (4)

kjer je Δx=х 2 -х 1 prirastek argumenta (razlika med dvema zaporednima dokaj blizu vrednostima argumenta), Δy=y 2 -y 1 je prirastek funkcije (razlika med vrednostma ​funkcije, ki ustreza tem vrednostim argumenta).

Iskanje odvoda dane funkcije se imenuje njen diferenciacija. Diferenciacija glavnih elementarnih funkcij se izvaja z uporabo že pripravljenih formul (glej tabelo), pa tudi z uporabo pravila:

Odvod algebraične vsote funkcij je enaka vsoti odvodov teh funkcij:

(u+ υ )"= u" + υ "

2. Odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov druge funkcije in odvoda prve in prve funkcije ter odvoda druge:

(u∙υ )"=u"υ + uυ "

3. Izpeljava količnika dve funkciji je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda odštevalca, imenovalec pa je kvadrat imenovalca:

Fizični pomen izpeljanke. Iz primerjave (4) in (1) sledi, da je trenutna hitrost pravokotnega gibanja materialne točke enaka odvodu odvisnosti njene koordinate od časa.

Splošni pomen odvoda funkcije je, da označuje stopnja (hitrost) spreminjanja funkcije za določeno spremembo argumenta. Hitrost fizikalnih, kemičnih in drugih procesov, na primer hitrost ohlajanja telesa, hitrost kemijske reakcije, hitrost razmnoževanja bakterij itd., izražamo tudi z izpeljanko.

Geometrijski pomen izpeljanke. Vrednost tangensa kota naklona tangente, narisane na graf funkcije, se v matematiki imenuje tangentni kotni koeficient.

Kotni koeficient tangente, narisane na graf diferenciabilne funkcije v določeni točki, je numerično enak odvodu funkcije v tej točki.

Ta izjava se imenuje geometrijski pomen izpeljanke.

Na katerem smo pregledali najpreprostejše izpeljanke, seznanili pa se tudi s pravili diferenciacije in nekaterimi tehničnimi prijemi iskanja izpeljank. Torej, če niste zelo dobri z izpeljankami funkcij ali nekatere točke v tem članku niso povsem jasne, potem najprej preberite zgornjo lekcijo. Prosim, da se resno razpoložite - snov ni preprosta, vendar jo bom vseeno poskušal predstaviti preprosto in jasno.

V praksi se moraš z odvodom kompleksne funkcije ukvarjati zelo pogosto, rekel bi celo skoraj vedno, ko ti dajo nalogo najti odvode.

Oglejmo si tabelo pri pravilu (št. 5) za razlikovanje kompleksne funkcije:

Ugotovimo. Najprej bodimo pozorni na vnos. Tu imamo dve funkciji - in , funkcija pa je, figurativno rečeno, ugnezdena znotraj funkcije . Funkcija tega tipa (ko je ena funkcija ugnezdena v drugo) se imenuje kompleksna funkcija.

Poklical bom funkcijo zunanja funkcija, in funkcijo – notranja (ali ugnezdena) funkcija.

! Te definicije niso teoretične in se ne smejo pojavljati v končni zasnovi nalog. Neformalne izraze »zunanja funkcija«, »notranja« funkcija uporabljam samo zato, da bi lažje razumeli snov.

Če želite razjasniti situacijo, upoštevajte:

Primer 1

Poiščite odvod funkcije

Pod sinusom nimamo samo črke "X", ampak celoten izraz, zato iskanje izpeljanke takoj iz tabele ne bo delovalo. Opazimo tudi, da tukaj ni mogoče uporabiti prvih štirih pravil, zdi se, da obstaja razlika, dejstvo pa je, da sinusa ni mogoče "raztrgati na koščke":

V tem primeru je že iz mojih razlag intuitivno jasno, da je funkcija kompleksna funkcija, polinom pa notranja funkcija (vdelava) in zunanja funkcija.

Prvi korak kar morate storiti pri iskanju odvoda kompleksne funkcije je razumeti, katera funkcija je notranja in katera zunanja.

V primeru preprostih primerov se zdi jasno, da je polinom vstavljen pod sinus. Kaj pa, če ni vse očitno? Kako natančno določiti, katera funkcija je zunanja in katera notranja? Da bi to naredili, predlagam uporabo naslednje tehnike, ki jo lahko izvajate mentalno ali v osnutku.

Predstavljajmo si, da moramo na kalkulatorju izračunati vrednost izraza pri (namesto 1 je lahko poljubno število).

Kaj bomo najprej izračunali? Najprej boste morali izvesti naslednje dejanje: , zato bo polinom notranja funkcija:

Drugič bo treba najti, zato bo sinus zunanja funkcija:

Potem ko smo RAZPRODANO pri notranjih in zunanjih funkcijah je čas, da uporabimo pravilo razlikovanja kompleksnih funkcij .

Začnimo se odločati. Iz lekcije Kako najti izpeljanko? spomnimo se, da se zasnova rešitve katere koli izpeljanke vedno začne takole - izraz zapremo v oklepaj in zgoraj desno postavimo črto:

Najprej poiščemo odvod zunanje funkcije (sinus), pogledamo tabelo odvodov elementarnih funkcij in opazimo, da . Vse formule tabele so uporabne tudi, če je "x" zamenjan s kompleksnim izrazom, v tem primeru:

Upoštevajte, da notranja funkcija ni spremenil, se ga ne dotikamo.

No, to je povsem očitno

Rezultat uporabe formule v končni obliki izgleda takole:

Konstantni faktor je običajno postavljen na začetek izraza:

Če pride do nesporazuma, rešitev zapiši na papir in še enkrat preberi razlago.

Primer 2

Poiščite odvod funkcije

Primer 3

Poiščite odvod funkcije

Kot vedno zapišemo:

Ugotovimo, kje imamo zunanjo funkcijo in kje notranjo. Da bi to naredili, poskušamo (miselno ali v osnutku) izračunati vrednost izraza pri . Kaj morate storiti najprej? Najprej morate izračunati, čemu je enaka osnova: zato je polinom notranja funkcija:

In šele nato se izvede potenciranje, zato je funkcija moči zunanja funkcija:

Po formuli , najprej morate najti odvod zunanje funkcije, v tem primeru stopnjo. V tabeli poiščemo zahtevano formulo: . Še enkrat ponavljamo: katera koli tabelarična formula velja ne samo za "X", ampak tudi za kompleksen izraz. Tako je rezultat uporabe pravila za razlikovanje kompleksne funkcije Naslednji:

Ponovno poudarjam, da ko vzamemo izpeljanko zunanje funkcije, se naša notranja funkcija ne spremeni:

Zdaj ostane le še najti zelo preprosto izpeljanko notranje funkcije in rezultat nekoliko prilagoditi:

Primer 4

Poiščite odvod funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami (odgovor na koncu lekcije).

Da bi utrdil vaše razumevanje odvoda kompleksne funkcije, bom dal primer brez komentarjev, poskusite sami ugotoviti, razložite, kje je zunanja in kje notranja funkcija, zakaj so naloge rešene na ta način?

Primer 5

a) Poiščite odvod funkcije

b) Poiščite odvod funkcije

Primer 6

Poiščite odvod funkcije

Tukaj imamo koren in da bi ga razlikovali, ga je treba predstaviti kot moč. Tako najprej pripeljemo funkcijo v obliko, primerno za razlikovanje:

Z analizo funkcije pridemo do zaključka, da je vsota treh členov notranja funkcija, dvig na potenco pa zunanja funkcija. Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksnih funkcij :

Stopnjo spet predstavimo kot radikal (koren), za odvod notranje funkcije pa uporabimo preprosto pravilo za razlikovanje vsote:

pripravljena Izraz lahko tudi skrčiš na skupni imenovalec v oklepaju in vse zapišeš kot en ulomek. Seveda je lepo, a ko dobite okorne dolge izpeljanke, je bolje, da tega ne storite (lahko se zmedete, naredite nepotrebno napako in učitelju bo neprijetno preverjati).

Primer 7

Poiščite odvod funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami (odgovor na koncu lekcije).

Zanimivo je, da lahko včasih namesto pravila za razlikovanje kompleksne funkcije uporabite pravilo za razlikovanje količnika , vendar bo takšna rešitev videti kot nenavadna perverznost. Tukaj je tipičen primer:

Primer 8

Poiščite odvod funkcije

Tukaj lahko uporabite pravilo diferenciacije količnika , vendar je veliko bolj donosno najti derivat s pravilom diferenciacije kompleksne funkcije:

Funkcijo pripravimo na diferenciacijo - minus premaknemo iz predznaka odvoda, kosinus pa dvignemo v števec:

Kosinus je notranja funkcija, potenciranje je zunanja funkcija.
Uporabimo svoje pravilo :

Poiščemo odvod notranje funkcije in ponastavimo kosinus nazaj navzdol:

pripravljena V obravnavanem primeru je pomembno, da se ne zmedete v znakih. Mimogrede, poskusite to rešiti s pravilom , se morata odgovora ujemati.

Primer 9

Poiščite odvod funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami (odgovor na koncu lekcije).

Doslej smo si ogledali primere, ko smo imeli samo eno gnezdenje v kompleksni funkciji. V praktičnih nalogah lahko pogosto najdemo izpeljanke, kjer so kot gnezdeče lutke ena v drugo ugnezdene 3 ali celo 4-5 funkcij hkrati.

Primer 10

Poiščite odvod funkcije

Razumejmo priloge te funkcije. Poskusimo izračunati izraz z uporabo eksperimentalne vrednosti. Kako bi računali na kalkulator?

Najprej morate najti , kar pomeni, da je arkus sinus najgloblja vdelava:

Ta arksinus ena je treba nato kvadrirati:

In končno, dvignemo sedem na potenco:

To pomeni, da imamo v tem primeru tri različne funkcije in dve vdelavi, medtem ko je najbolj notranja funkcija arksinus, najbolj zunanja funkcija pa eksponentna funkcija.

Začnimo se odločati

Po pravilu Najprej morate vzeti odvod zunanje funkcije. Pogledamo tabelo odvodov in poiščemo odvod eksponentne funkcije: Edina razlika je v tem, da imamo namesto “x” kompleksen izraz, kar pa ne izniči veljavnosti te formule. Torej, rezultat uporabe pravila za razlikovanje kompleksne funkcije Naslednji.

Matematična analiza.

Delavnica.

Za študente specialnosti:

"Državna in občinska uprava"

T.Z. Pavlova

Kolpaševo 2008

1. poglavje: Uvod v analizo

1.1 Funkcije. Splošne lastnosti

1.2 Teorija meje

1.3 Kontinuiteta delovanja

2.1 Opredelitev derivata

2.4 Raziskave funkcij

2.4.1 Zasnova študije celotnega delovanja

2.4.2 Primeri študij funkcij

2.4.3. Največja in najmanjša vrednost funkcije na segmentu

2.5 L'Hopitalovo pravilo

3.1 Nedoločen integral

3.1.1 Definicije in lastnosti

3.1.2 Tabela integralov

3.1.3 Osnovne metode integracije

3.2 Določen integral

3.2.2 Metode za izračun določenega integrala

Poglavje 4. Funkcije več spremenljivk

4.1 Osnovni pojmi

4.2 Limite in kontinuiteta funkcij več spremenljivk

4.3.3 Totalni diferencial in njegova uporaba za približne izračune

Poglavje 5. Klasične optimizacijske metode

6.1 Funkcija uporabnosti.

6.2 Črte brezbrižnosti

6.3 Nabor proračuna

Domače testne naloge

1.1 Funkcije. Splošne lastnosti

Numerična funkcija je definirana na množici D realnih števil, če je vsaka vrednost spremenljivke povezana z neko dobro definirano realno vrednostjo spremenljivke y, kjer je D domena definicije funkcije.

Analitična predstavitev funkcije:

izrecno: ;

implicitno: ;

v parametrični obliki:

različne formule na področju definicije:

Lastnosti.

Parna funkcija: . Na primer, funkcija je soda, ker .

Čudna funkcija: . Na primer, funkcija je nenavadna, ker .

Periodična funkcija: , kjer je T perioda funkcije, . Na primer trigonometrične funkcije.

Monotona funkcija. Če za katero koli domeno definicije funkcija narašča, potem je padajoča. Na primer - naraščajoče in - padajoče.

Omejena funkcija. Če obstaja število M tako, da . Na primer funkcije in , ker .

Primer 1. Poiščite domeno definicije funkcij.

+ 2 – 3 +

1.2 Teorija meje

Definicija 1. Limita funkcije pri je število b, če je za poljubno ( je poljubno majhno pozitivno število) mogoče najti vrednost argumenta, izhajajoč iz katerega neenakost velja.

Oznaka: .

Definicija 2. Meja funkcije pri je število b, če za katero koli (je poljubno majhno pozitivno število) obstaja pozitivno število, tako da je za vse vrednosti x, ki izpolnjujejo neenakost, neenakost izpolnjena.

Oznaka: .

Definicija 3. Za funkcijo pravimo, da je infinitezimalna za ali če ali.

Lastnosti.

1. Algebraična vsota končnega števila neskončno majhnih količin je neskončno majhna količina.

2. Zmnožek neskončno majhne količine in omejene funkcije (konstanta, druga neskončno majhna količina) je neskončno majhna količina.

3. Kvocient deljenja neskončno majhne količine s funkcijo, katere meja je različna od nič, je neskončno majhna količina.

Definicija 4. Za funkcijo pravimo, da je neskončno velika, če .

Lastnosti.

1. Zmnožek neskončno velike količine in funkcije, katere limita je različna od nič, je neskončno velika količina.

2. Vsota neskončno velike količine in omejene funkcije je neskončno velika količina.

3. Kvocient deljenja neskončno velike količine s funkcijo, ki ima mejo, je neskončno velika količina.

Izrek.(Razmerje med neskončno majhno količino in neskončno veliko količino.) Če je funkcija neskončno majhna pri (), potem je funkcija neskončno velika količina pri (). In obratno, če je funkcija neskončno velika pri (), potem je funkcija neskončno majhna vrednost pri ().

Mejni izreki.

1. Funkcija ne more imeti več kot ene omejitve.

2. Limita algebraične vsote več funkcij je enaka algebraični vsoti limitov teh funkcij:

3. Meja produkta več funkcij je enaka produktu meja teh funkcij:

4. Meja stopnje je enaka stopnji meje:

5. Meja količnika je enaka količniku mej, če obstaja meja delitelja:

.

6. Prva čudovita meja.

Posledice:

7. Druga izjemna meja:

Posledice:

Ekvivalentne infinitezimalne količine pri:

Izračun limitov.

Pri računanju limitov se uporabljajo osnovni izreki o limitih, lastnosti zveznih funkcij in pravila, ki izhajajo iz teh izrekov in lastnosti.

1. praviloČe želite najti mejo na točki funkcije, ki je na tej točki zvezna, morate njeno mejno vrednost nadomestiti v funkciji pod mejnim znakom namesto argumenta x.

Primer 2. Najdi

2. pravilo.Če je pri iskanju meje ulomka meja imenovalca enaka nič, meja števca pa je različna od nič, potem je meja takšne funkcije enaka .

Primer 3. Najdi

3. praviloČe je pri iskanju meje ulomka meja imenovalca enaka , meja števca pa je različna od nič, potem je meja takšne funkcije enaka nič.

Primer 4. Najdi

Pogosto zamenjava mejne vrednosti argumenta povzroči nedefinirane izraze obrazca

.

Iskanje meje funkcije v teh primerih se imenuje odkrivanje negotovosti. Da bi razkrili negotovost, je treba ta izraz preoblikovati, preden se premaknete do meje. Za razkrivanje negotovosti se uporabljajo različne tehnike.

Pravilo 4. Negotovost vrste se razkrije s preoblikovanjem podmejne funkcije, tako da lahko v števcu in imenovalcu izoliramo faktor, katerega meja je enaka nič, in z zmanjšanjem ulomka poiščemo mejo količnika. Da bi to naredili, sta števec in imenovalec faktorizirana ali pomnožena z izrazi, ki so konjugirani s števcem in imenovalcem.

5. praviloČe sublimit izraz vsebuje trigonometrične funkcije, potem se za razrešitev negotovosti oblike uporabi prva opazna meja.

.

Pravilo 6. Da bi razkrili negotovost oblike pri , je treba števec in imenovalec podmejnega ulomka deliti z najvišjo potenco argumenta in nato najti mejo količnika.

Možni rezultati:

1) zahtevana meja je enaka razmerju koeficientov najvišjih potenc argumenta števca in imenovalca, če sta ti potenci enaki;

2) meja je enaka neskončnosti, če je stopnja argumenta števca višja od stopnje argumenta imenovalca;

3) meja je enaka nič, če je stopnja argumenta števca nižja od stopnje argumenta imenovalca.

A)

Ker

Potenci sta enaki, kar pomeni, da je meja enaka razmerju koeficientov višjih potenc, tj. .

b)

Stopnja števca in imenovalca je 1, kar pomeni, da je meja

V)

Stopnja števca je 1, imenovalec je , kar pomeni, da je meja 0.

Pravilo 7. Da bi razkrili negotovost oblike, je treba števec in imenovalec podmejnega ulomka pomnožiti s konjugiranim izrazom.

Primer 10.

Pravilo 8. Za razkritje negotovosti vrste se uporablja druga izjemna meja in njene posledice.

To je mogoče dokazati

Primer 11.

Primer 12.

Primer 13.

Pravilo 9. Pri razkrivanju negotovosti, katerih podmejna funkcija vsebuje b.m.v., je potrebno zamenjati limite teh b.m.v. do meja njim enakovrednega b.m.

Primer 14.

Primer 15.

Pravilo 10. L'Hopitalovo pravilo (glej 2.6).

1.3 Kontinuiteta delovanja

Funkcija je v točki zvezna, če limita funkcije, ko argument teži k a, obstaja in je enaka vrednosti funkcije v tej točki.

Enakovredni pogoji:

1. ;

3.

Razvrstitev prelomnih točk:

1. vrsta rupture

Odstranljive – enostranske meje obstajajo in so enake;

Irreducible (jump) – enostranske meje niso enake;

diskontinuiteta druge vrste: limita funkcije v točki ne obstaja.

Primer 16. Ugotovite naravo diskontinuitete funkcije v točki ali dokažite zveznost funkcije v tej točki.

pri funkcija ni definirana, zato na tej točki ni zvezna. Ker in temu primerno, , potem je točka odstranljive diskontinuitete prve vrste.

b)

V primerjavi z nalogo (a) je funkcija dodatno definirana v točki, tako da , kar pomeni, da je ta funkcija na tej točki zvezna.

Ko funkcija ni definirana;

.

Ker je ena od enostranskih limit neskončna, potem je to točka diskontinuitete druge vrste.

Poglavje 2. Diferencialni račun

2.1 Opredelitev derivata

Opredelitev derivata

Odvod ali dane funkcije je meja razmerja med prirastkom funkcije in ustreznim prirastkom argumenta, ko se prirastek argumenta nagiba k ničli:

oz .

Mehanski pomen odvoda je hitrost spreminjanja funkcije. Geometrični pomen odvoda je tangens kota naklona tangente na graf funkcije:

2.2 Osnovna pravila razlikovanja

Ime	funkcija	Izpeljanka
Množenje s stalnim faktorjem
Algebraična vsota dveh funkcij
Izdelek dveh funkcij
Kvocient dveh funkcij
Kompleksna funkcija

Izvodi osnovnih elementarnih funkcij

št.	Ime funkcije	Funkcija in njen derivat
1	konstantna
2	funkcija moči posebni primeri
3	eksponentna funkcija poseben primer
4	logaritemska funkcija poseben primer
5	trigonometrične funkcije
6	vzvratno trigonometrična

b)

2.3 Izpeljanke višjega reda

Odvod funkcije drugega reda

Odvod funkcije drugega reda:

Primer 18.

a) Poiščite odvod drugega reda funkcije.

rešitev. Najprej poiščimo odvod prvega reda .

Iz odvoda prvega reda ponovno vzemimo odvod.

Primer 19. Poiščite odvod funkcije tretjega reda.

2.4 Raziskave funkcij

2.4.1 Študijski načrt celotne funkcije:

Celoten študijski načrt:

1. Osnovno raziskovanje:

Poiščite domeno definicije in obseg vrednosti;

Ugotovite splošne lastnosti: parnost (neparnost), periodičnost;

Poiščite presečišča s koordinatnimi osemi;

Določite območja konstantnega predznaka.

2. Asimptote:

Poiščite navpične asimptote, če ;

Poiščite poševne asimptote: .

Če je katero koli število, potem – horizontalne asimptote.

3. Raziskovanje z uporabo:

Poiščite kritične točke, tiste. točke, na katerih ali ne obstaja;

Določite intervale povečanja, tiste. intervali, na katerih funkcija pada – ;

Določite ekstreme: točke, skozi katere se predznak spremeni iz "+" v "–", so točke maksimuma, od "–" do "+" so točke minimuma.

4. Raziskave z uporabo:

Poiščite točke, na katerih ali ne obstaja;

Poiščite območja konveksnosti, tj. intervali, na katerih in konkavnosti – ;

Poiščite prevojne točke, tj. točke, pri prehodu skozi katere se spremeni predznak.

1. Posamezni elementi študije se na graf vnašajo postopoma, kot jih najdemo.

2. Če se pojavijo težave pri izdelavi grafa funkcije, se vrednosti funkcije najdejo na nekaterih dodatnih točkah.

3. Namen študije je opisati naravo obnašanja funkcije. Zato ni zgrajen natančen graf, temveč njegov približek, na katerem so jasno označeni najdeni elementi (ekstremumi, prevojne točke, asimptote itd.).

4. Ni nujno, da se striktno držimo danega načrta; Pomembno je, da ne zamudite značilnih elementov obnašanja funkcije.

2.4.2 Primeri raziskav funkcij:

1)

2) Nenavadna funkcija:

.

3) Asimptote.

– navpične asimptote, ker

Poševna asimptota.

5)

– prevojna točka.

2) Nenavadna funkcija:

3) Asimptote: Navpičnih asimptot ni.

Poševno:

– poševne asimptote

4) – funkcija se poveča.

– prevojna točka.

Shematski graf te funkcije:

2) Splošna funkcija

3) Asimptote

– ni nagnjenih asimptot

– horizontalna asimptota pri

– prevojna točka

Shematski graf te funkcije:

2) Asimptote.

– navpična asimptota, ker

– ni nagnjenih asimptot

, – horizontalna asimptota

Shematski graf te funkcije:

2) Asimptote

– navpična asimptota pri , ker

– ni nagnjenih asimptot

, – horizontalna asimptota

3) – funkcija pada na vsakem od intervalov.

Shematski graf te funkcije:

Če želite najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu, lahko uporabite naslednji diagram:

1. Poiščite odvod funkcije.

2. Poiščite kritične točke funkcije, na kateri ali ne obstaja.

3. Poiščite vrednost funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo danemu segmentu in na njegovih koncih ter med njimi izberite največjo in najmanjšo.

Primer. Poiščite najmanjšo in največjo vrednost funkcije na danem segmentu.

25. vmes

2) – kritične točke

26. v intervalu.

Odvod ne obstaja za , vendar 1 ne pripada temu intervalu. Funkcija pada na intervalu, kar pomeni, da največje vrednosti ni, najmanjša pa je .

2.5 L'Hopitalovo pravilo

Izrek. Meja razmerja dveh infinitezimalnih ali neskončno velikih funkcij je enaka meji razmerja njunih derivatov (končnih ali neskončnih), če slednji obstaja v navedenem smislu.

Tisti. pri razkrivanju negotovosti tipa ali lahko uporabite formulo:

.

27.

Poglavje 3. Integralni račun

3.1 Nedoločen integral

3.1.1 Definicije in lastnosti

Definicija 1. Funkcija se imenuje protiodpeljava za if .

Definicija 2. Nedoločen integral funkcije f(x) je množica vseh antiodvodov te funkcije.

Oznaka: , kjer je c poljubna konstanta.

Lastnosti nedoločenega integrala

1. Odvod nedoločenega integrala:

2. Diferencial nedoločenega integrala:

3. Nedoločen integral diferenciala:

4. Nedoločen integral vsote (razlike) dveh funkcij:

5. Razširitev konstantnega faktorja čez predznak nedoločenega integrala:

3.1.2 Tabela integralov

.1.3 Osnovne metode integracije

1. Uporaba lastnosti nedoločenega integrala.

Primer 29.

2. Oddaja diferencialnega predznaka.

Primer 30.

3. Metoda zamenjave spremenljivke:

a) zamenjava v integralu

Kje - funkcijo, ki jo je lažje integrirati kot prvotno; - funkcija inverzna funkciji; - antiderivat funkcije.

Primer 31.

b) zamenjava v integralu oblike:

Primer 32.

Primer 33.

4. Način integracije po delih:

Primer 34.

Primer 35.

Vzemimo integral posebej

Vrnimo se k našemu integralu:

3.2 Določen integral

3.2.1 Pojem določenega integrala in njegove lastnosti

Opredelitev. Naj bo na določenem intervalu podana zvezna funkcija. Zgradimo graf tega.

Lik, ki je zgoraj omejen s krivuljo, levo in desno z ravnimi črtami in spodaj z odsekom abscisne osi med točkama a in b, se imenuje krivočrtni trapez.

S – območje – krivolinijski trapez.

Interval razdelite s pikami in dobite:

Kumulativna vsota:

Opredelitev. Določen integral je limita integralne vsote.

Lastnosti določenega integrala:

1. Konstantni faktor lahko vzamemo iz integralnega predznaka:

2. Integral algebraične vsote dveh funkcij je enak algebraični vsoti integralov teh funkcij:

3. Če je integracijski odsek razdeljen na dele, potem je integral na celotnem odseku enak vsoti integralov za vsakega od nastalih delov, tj. za katerikoli a, b, c:

4. Če je na segmentu , potem

5. Meje integracije lahko zamenjamo in predznak integrala se spremeni:

6.

7. Integral v točki je enak 0:

8.

9. (»približno povprečje«) Naj bo y = f(x) funkcija, ki jo je mogoče integrirati na . Potem , kjer je , f(c) – povprečna vrednost f(x) na:

10. Newton-Leibnizova formula

,

kjer je F(x) protiodvod od f(x).

3.2.2 Metode za izračun določenega integrala.

1. Neposredna integracija

Primer 35.

A)

b)

V)

d)

2. Sprememba spremenljivk pod določenim integralnim predznakom .

Primer 36.

2. Integracija po delih v določenem integralu .

Primer 37.

A)

b)

d)

3.2.3 Uporaba določenega integrala

Značilno	Vrsta funkcije	Formula
	v kartezičnih koordinatah
območje krivuljnega sektorja	v polarnih koordinatah
območje ukrivljenega trapeza	v parametrični obliki
dolžina loka	v kartezičnih koordinatah
dolžina loka	v polarnih koordinatah
dolžina loka	v parametrični obliki
obseg telesa rotacija	v kartezičnih koordinatah
prostornina telesa z dano prečno prečni prerez

Primer 38. Izračunajte površino figure, omejene s črtami: In .

rešitev: Poiščimo presečišča grafov teh funkcij. Za to izenačimo funkciji in rešimo enačbo

Torej, presečišča in .

Poiščite površino figure s formulo

.

V našem primeru

Odgovor: Površina je (kvadratne enote).

4.1 Osnovni pojmi

Opredelitev. Če je vsakemu paru medsebojno neodvisnih števil iz določenega niza po nekem pravilu dodeljena ena ali več vrednosti spremenljivke z, se spremenljivka z imenuje funkcija dveh spremenljivk.

Opredelitev. Domena definicije funkcije z je množica parov, za katere funkcija z obstaja.

Domena definicije funkcije dveh spremenljivk je določena množica točk na koordinatni ravnini Oxy. Koordinato z imenujemo aplikacija, nato pa je funkcija sama prikazana kot ploskev v prostoru E 3 . Na primer:

Primer 39. Poiščite domeno funkcije.

A)

Izraz na desni strani je smiseln samo takrat, ko . To pomeni, da je domena definicije te funkcije množica vseh točk, ki ležijo znotraj in na meji kroga s polmerom R s središčem v izhodišču.

Domena definicije te funkcije so vse točke ravnine, razen točk ravnih črt, tj. koordinatne osi.

Opredelitev. Premice funkcionalne ravni so družina krivulj na koordinatni ravnini, ki jih opisujejo enačbe oblike.

Primer 40. Poiščite črte na nivoju funkcije .

rešitev. Nivojske črte dane funkcije so družina krivulj na ravnini, ki jih opisuje enačba

Zadnja enačba opisuje družino krogov s središčem v točki O 1 (1, 1) polmera . Vrtilna površina (paraboloid), ki jo opisuje ta funkcija, postaja bolj strma, ko se odmika od osi, kar je podano z enačbama x = 1, y = 1. (Slika 4)

4.2 Limite in kontinuiteta funkcij več spremenljivk.

1. Omejitve.

Opredelitev. Število A imenujemo limita funkcije, ko točka teži k točki, če za vsako poljubno majhno število obstaja takšno število, da je za katero koli točko pogoj resničen, in pogoj je tudi resničen . Zapisati: .

Primer 41. Poiščite meje:

tiste. meja je odvisna od , kar pomeni, da ne obstaja.

2. Kontinuiteta.

Opredelitev. Naj točka pripada domeni definicije funkcije. Potem se funkcija imenuje zvezna v točki, če

(1)

in točka teži k točki na poljuben način.

Če na kateri koli točki pogoj (1) ni izpolnjen, se ta točka imenuje prelomna točka funkcije. To je lahko v naslednjih primerih:

1) Funkcija ni definirana v točki .

2) Ni omejitev.

3) Ta meja obstaja, vendar ni enaka .

Primer 42. Ugotovite, ali je dana funkcija zvezna v točki, če .

Razumem To pomeni, da je ta funkcija v točki zvezna.

meja je odvisna od k, tj. na tej točki ne obstaja, kar pomeni, da ima funkcija na tej točki diskontinuiteto.

4.3 Odvodi in diferenciali funkcij več spremenljivk

4.3.1 Parcialni odvodi prvega reda

Delni odvod funkcije glede na argument x je navaden odvod funkcije ene spremenljivke x za fiksno vrednost spremenljivke y in je označen:

Delni odvod funkcije glede na argument y je navaden odvod funkcije ene spremenljivke y za fiksno vrednost spremenljivke x in je označen:

Primer 43. Poiščite delne odvode funkcij.

4.3.2 Parcialni odvodi drugega reda

Parcialni odvodi drugega reda so delni odvodi parcialnih odvodov prvega reda. Za funkcijo dveh spremenljivk oblike so možne štiri vrste delnih odvodov drugega reda:

Delni odvodi drugega reda, pri katerih se diferenciacija izvaja glede na različne spremenljivke, se imenujejo mešani odvodi. Mešani odvodi drugega reda dvakrat diferenciabilne funkcije so enaki.

Primer 44. Poiščite delne odvode drugega reda.

4.3.3 Totalni diferencial in njegova uporaba za približne izračune.

Opredelitev. Diferencial prvega reda funkcije dveh spremenljivk najdemo s formulo

.

Primer 45. Poiščite celoten diferencial za funkcijo.

rešitev. Poiščimo delne odvode:

.

Pri majhnih prirastkih argumentov x in y funkcija prejme prirast približno enak dz, tj. .

Formula za iskanje približne vrednosti funkcije v točki, če je znana njena točna vrednost v točki:

Primer 46. Najdi .

rešitev. Pustiti ,

Nato uporabimo formulo

Odgovori. .

Primer 47. Izračunaj približno .

rešitev. Razmislimo o funkciji. Imamo

Primer 48. Izračunaj približno .

rešitev. Upoštevajte funkcijo . Dobimo:

Odgovori. .

4.3.4 Diferenciacija implicitne funkcije

Opredelitev. Funkcija se imenuje implicitna, če je podana z enačbo, ki ni rešljiva glede na z.

Delne odvode takšne funkcije najdemo po formulah:

Primer 49: Poiščite parcialne odvode funkcije z, podane z enačbo .

rešitev.

Opredelitev. Funkcija se imenuje implicitna, če je podana z enačbo, ki ni rešljiva glede na y.

Izvod takšne funkcije najdemo s formulo:

.

Primer 50. Poiščite odvode teh funkcij.

5.1 Lokalni ekstrem funkcije več spremenljivk

Definicija 1. Funkcija ima maksimum v točki if

Definicija 2. Funkcija ima minimum v točki if za vse točke, ki so dovolj blizu točke in se od nje razlikujejo.

Nujen pogoj za ekstrem. Če funkcija doseže ekstrem v točki, potem delni odvodi funkcije na tej točki izničijo ali ne obstajajo.

Točke, v katerih delni odvodi izginejo ali ne obstajajo, imenujemo kritične.

Zadosten znak ekstrema. Naj bo funkcija definirana v neki okolici kritične točke in ima na tej točki zvezne parcialne odvode drugega reda

1) ima lokalni maksimum v točki, če in ;

2) ima lokalni minimum v točki, če in ;

3) nima lokalnega ekstrema v točki, če ;

Shema raziskave ekstremuma funkcije dveh spremenljivk.

1. Poiščite delne odvode funkcij: in.

2. Rešite sistem enačb in poiščite kritične točke funkcije.

3. Poiščite delne derivate drugega reda, izračunajte njihove vrednosti na kritičnih točkah in z zadostnim pogojem sklepajte o prisotnosti ekstremov.

4. Poiščite ekstreme funkcije.

Primer 51. Poiščite ekstreme funkcije .

1) Poiščimo delne odvode.

2) Rešimo sistem enačb

4) Poiščimo delne odvode drugega reda in njihove vrednosti na kritičnih točkah: . Na točki dobimo:

To pomeni, da v točki ni ekstrema. Na točki dobimo:

To pomeni, da je na točki minimum.

5.2 Globalni ekstrem (največja in najmanjša vrednost funkcije)

Največje in najmanjše vrednosti funkcije več spremenljivk, zvezne na neki zaprti množici, so dosežene bodisi na ekstremnih točkah bodisi na meji množice.

Shema za iskanje največje in najmanjše vrednosti.

1) Poiščite kritične točke, ki ležijo znotraj območja, izračunajte vrednost funkcije v teh točkah.

2) Raziščite funkcijo na meji regije; če je meja sestavljena iz več različnih črt, je treba študijo opraviti za vsak odsek posebej.

3) Primerjajte dobljene vrednosti funkcije in izberite največjo in najmanjšo.

Primer 52. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v pravokotniku.

rešitev. 1) Poiščimo kritične točke funkcije, za to poiščemo parcialne odvode: , in rešimo sistem enačb:

Dobili smo kritično točko A. Dobljena točka leži znotraj danega območja,

Meja regije je sestavljena iz štirih segmentov: i. Poiščimo največjo in najmanjšo vrednost funkcije na vsakem segmentu.

4) Primerjajmo dobljene rezultate in ugotovimo, da pri točkah .

Poglavje 6. Model izbire potrošnika

Predpostavili bomo, da obstaja n različnih dobrin. Nato bomo določeno množico blaga označili z n-dimenzionalnim vektorjem , kjer je količina i-tega izdelka. Množico vseh množic blaga X imenujemo prostor.

Za izbiro posameznega potrošnika je značilno razmerje preferenc: verjame se, da lahko potrošnik za poljubna dva niza reče, kateri je bolj zaželen, ali pa ne vidi razlike med njima. Preferenčna relacija je tranzitivna: če ima množica prednost pred množico in je množica boljša od množice, potem ima množica prednost pred množico. Predpostavili bomo, da je vedenje potrošnika v celoti opisano z aksiomom posameznega potrošnika: vsak posamezni potrošnik se odloča o potrošnji, nakupih itd., na podlagi svojega sistema preferenc.

6.1 Funkcija uporabnosti

Funkcija je definirana na množici potrošniških množic X , katerega vrednost na porabniškem nizu je enaka posameznikovi porabniški oceni za ta niz. Funkcija se imenuje funkcija potrošniške uporabnosti ali funkcija potrošnikovih preferenc. Tisti. Vsak potrošnik ima svojo koristno funkcijo. Toda celotno množico porabnikov lahko razdelimo na določene razrede porabnikov (po starosti, premoženjskem stanju itd.) in vsakemu razredu pripišemo določeno, morda povprečno koristno funkcijo.

Funkcija je torej ocena potrošnika oziroma stopnja zadovoljstva potreb posameznika ob nakupu določenega kompleta. Če je niz za danega posameznika boljši od niza, potem .

Lastnosti funkcije koristnosti.

1.

Prvi delni derivati ​​funkcije koristnosti se imenujejo mejne koristnosti produktov. Iz te lastnosti sledi, da povečanje porabe enega izdelka ob nespremenjeni porabi drugih izdelkov vodi do povečanja ocene potrošnikov. Vektor je gradient funkcije, kaže smer največje rasti funkcije. Za funkcijo je njen gradient vektor mejnih koristnosti izdelkov.

2.

Tisti. Mejna koristnost katere koli dobrine se zmanjša, ko se potrošnja poveča.

3.

Tisti. Mejna koristnost vsakega proizvoda se poveča, ko se poveča količina drugega izdelka.

Nekatere vrste uporabnih funkcij.

1) Neoklasični: .

2) kvadratni: , kjer je matrika negativno določena in Za .

3) Logaritemska funkcija: .

6.2 Črte brezbrižnosti

V aplikativnih problemih in modelih izbire potrošnikov se pogosto uporablja poseben primer nabora dveh dobrin, t.j. ko je funkcija koristnosti odvisna od dveh spremenljivk. Črta brezbrižnosti je črta, ki povezuje množice potrošnikov, ki imajo enako stopnjo zadovoljevanja potreb posameznika. V bistvu so indiferenčne črte črte na ravni funkcije. Enačbe indiferenčnih premic: .

Osnovne lastnosti indiferenčnih črt.

1. Linije brezbrižnosti, ki ustrezajo različnim stopnjam zadovoljevanja potreb, se ne dotikajo ali sekajo.

2. Linije brezbrižnosti se zmanjšajo.

3. Ravnodušne črte so konveksne navzdol.

Lastnost 2 implicira pomembno približno enakost.

To razmerje kaže, za koliko naj bi posameznik povečal (zmanjšal) porabo drugega izdelka ob zmanjšanju (povečanju) porabe prvega izdelka za eno enoto, ne da bi spremenil stopnjo zadovoljevanja svojih potreb. Razmerje se imenuje stopnja zamenjave prvega proizvoda z drugim, vrednost pa se imenuje mejna stopnja zamenjave prvega proizvoda z drugim.

Primer 53. Če je mejna koristnost prve dobrine 6, druge pa 2, potem če se potrošnja prve dobrine zmanjša za eno enoto, je treba potrošnjo druge dobrine povečati za 3 enote na isti ravni zadovoljevanja potreb.

6.3 Nabor proračuna

Pustiti – vektor cen za niz n izdelkov; I je dohodek posameznika, ki ga je pripravljen porabiti za nakup nabora izdelkov. Množica nizov blaga, ki pri danih cenah ne stane več kot I, se imenuje proračunska množica B. Poleg tega se množica nizov, ki stane I, imenuje meja G proračunske množice B. Tako. množica B je omejena z mejo G in naravnimi omejitvami.

Proračunski niz je opisan s sistemom neenakosti:

Za primer niza dveh dobrin je proračunska množica B (slika 1) trikotnik v koordinatnem sistemu, omejen s koordinatnimi osemi in premico.

6.4 Teorija potrošniškega povpraševanja

V potrošniški teoriji velja, da si potrošnik vedno prizadeva maksimizirati svojo uporabnost in je zanj edina omejitev omejeni dohodek I, ki ga lahko porabi za nakup nabora dobrin. Na splošno je problem izbire potrošnika (problem racionalnega vedenja potrošnika na trgu) formuliran takole: poiščite množico potrošnikov. , ki maksimira svojo funkcijo uporabnosti pod dano proračunsko omejitvijo. Matematični model tega problema:

V primeru kompleta dveh izdelkov:

Geometrično je rešitev tega problema točka dotika med mejo proračunske množice G in indiferenčno črto.

Rešitev tega problema je rešitev sistema enačb:

(1)

Rešitev tega sistema je rešitev problema potrošnikove izbire.

Rešitev problema izbire potrošnikov se imenuje točka povpraševanja. Ta točka povpraševanja je odvisna od cen in dohodka I. tj. točka povpraševanja je funkcija povpraševanja. Po drugi strani je funkcija povpraševanja niz n funkcij, od katerih je vsaka odvisna od argumenta:

Te funkcije se imenujejo funkcije povpraševanja po ustreznem blagu.

Primer 54. Za množico dveh dobrin na trgu, znani ceni zanju in prihodku I, poiščite funkcije povpraševanja, če ima funkcija koristnosti obliko .

rešitev. Razlikujmo funkcijo uporabnosti:

.

Zamenjajmo nastale izraze v (1) in dobimo sistem enačb:

V tem primeru bo strošek za vsak izdelek polovica dohodka potrošnika, količina kupljenega izdelka pa je enaka znesku, porabljenemu zanj, deljenemu s ceno izdelka.

Primer 55. Naj koristnost deluje za prvo dobro, drugo,

cena prvega izdelka, cena drugega. Dohodek . Koliko blaga bi moral potrošnik kupiti, da bi povečal uporabnost?

rešitev. Poiščimo odvode funkcij koristnosti, jih nadomestimo v sistem (1) in ga rešimo:

Ta niz blaga je optimalen za potrošnika z vidika maksimiranja uporabnosti.

Test mora biti izpolnjen v skladu z izbrano možnostjo z zadnjim mestom številke redovalnice v posebnem zvezku. Vsaka naloga mora vsebovati pogoj, podrobno rešitev in zaključek.

1. Uvod v matematično analizo

Naloga 1. Poiščite domeno definicije funkcije.

5.

Naloga 2. Poiščite limite funkcij.

.

Naloga 3. Poiščite diskontinuitetne točke funkcije in določite njihov tip.

1. 2. 3.

Poglavje 2. Diferencialni račun funkcije ene spremenljivke

Naloga 4. Poiščite odvode teh funkcij.

1. a); b) c) y = ;

d) y = x 6 + + + 5; e) y = x tan x + ln sin x + e 3x;

e) y = 2 x - arcsin x.

2. a) ; b) y = ; c) y = ; d) y = x 2 –+ 3; e) y = e cos; e) y = .

3. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

4. a) y = ; b) y = (e 5 x – 1) 6 ; c) y = ; d) y = ; e) y = x 8 ++ + 5; e) y = 3 x - arcsin x.

5. a) y = 2x 3 - + e x ; b) y = ; c) y = ;

d) y = ; e) y = 2 cos; e) y = .

6. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

d) y = ; e) y = x 7 + + 1; e) y = 2.

7. a) ; b) y = ; c)y = ; d)y = x 2 + xsinx + ; e) y = e cos; e) y = .

8. a) y = ; b) y = (3 x – 4) 6 ; c) y = sintg;

d) y = 3x 4 – – 9+ 9; e) y = ;

e)y = x 2 + arcsin x - x.

9. a); b) ; c) y = ; d) y = 5 sin 3 x ; e) y = x 3 – – 6+ 3; e) y = 4x 4 + ln.

10. a) b) y = ; c) y = (3 x – 4) 6 ; d) y = ; e)y = x 2 - x; e) y = e sin 3 x + 2.

Naloga 5. Raziščite funkcijo in zgradite njen graf.

1. a) b) c) .

2. a) b) V) .

3. a) b) V) .

4. b) V)

5. a) b) V) .

6. a) b) V) .

7. a) b) c) .

8. a) b) c) .

9. a) b) c) .

10. a) b) V) .

Naloga 6. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na danem segmentu.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Poglavje 3. Integralni račun

Naloga 7. Poiščite nedoločene integrale.

1. a) b);

2. a) ;b) c) d) .

4. G)

5. a) ; b); V) ; G).

6. a) ; b); V); G)

7. a) ; b) ; V) ; G)

8. a) ; b); V) ; G) .

9. a) ; b) c); G).

10. a) b) V) ; G) .

Naloga 8. Izračunajte določene integrale.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

Naloga 9. Poiščite nepravilne integrale ali dokažite, da se razhajajo.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Problem 10. Poiščite območje območja, ki ga omejujejo krivulje

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Poglavje 4. Diferencialni račun funkcij več spremenljivk.

Naloga 11. Poišči domeno definicije funkcije (prikaži na risbi).

Problem 12. Raziščite kontinuiteto funkcije pri

Naloga 13. Poiščite odvod implicitno dane funkcije.

Naloga 14. Izračunaj približno

1. a) ;b) ; V)

2. a) ; b) ; V) .

3. a) ; b) ; V) .

4. a) ; b) ; V) .

5. a); b) ; V) .

6. a); b) ; V) .

7. a); b) ; V) .

8. a) ;b) ; V)

9. a) ; b) ; V) .

10. a) ;b) ; V)

Problem 15. Raziščite funkcijo za ekstreme.

7. .

8. .

9. .

10. .

Naloga 16. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije v danem zaprtem območju.

1. v pravokotniku

2.

3. v pravokotniku

4. v območju, ki ga omejuje parabola

In x-os.

5. na kvadrat

6. v trikotniku, omejenem s koordinatnimi osemi in premico

7. v trikotniku, omejenem s koordinatnimi osemi in premico

8. v trikotniku, ki ga omejujejo koordinatne osi in premica

9. v območju, ki ga omejuje parabola

In x-os.

10. v območju, ki ga omejuje parabola

In x-os.

Glavni

1. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Osnove matematike in njena uporaba v ekonomskem izobraževanju: Učbenik. – 4. izd., špan. – M.: Delo, 2003.

2. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Matematika za ekonomske specialnosti: Učbenik. – 4. izd., špan. – M.: Delo, 2003.

3. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Matematika za ekonomsko diplomo. Učbenik. – 4. izd., špan. – M.: Delo, 2005.

4. Višja matematika za ekonomiste. Učbenik za univerze / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trišin, M.N. Friedman; Ed. prof. N.Š. Kremer, - 2. izd., predelana. in dodatno – M: ENOTNOST, 2003.

5. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridman M.N.. Višja matematika za ekonomske specialitete. Učbenik in delavnica (I. in II. del) / ur. prof. N.Š. Kremer, - 2. izd., predelana. in dodatno – M: Visoko šolstvo, 2007. – 893 str. – (Osnove znanosti)

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Višja matematika v vajah in nalogah. M. Višja šola. 1999.

Dodatno

1. I.I. Bavrin, V.L. Mornarji. Višja matematika. "Humanitarno založniški center Vlados", 2002.

2. I.A. Zajcev. Višja matematika. "Višja šola", 1998.

3. A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandra. Matematika v gospodarstvu /v dveh delih/. M. Finance in statistika. 1999.