pre študentov lekárske, detské, zubné

a lekárskych a preventívnych fakúlt

na laboratórnu prácu

"Základné pojmy matematickej analýzy"

1. Vedecké a metodologické zdôvodnenie témy:

Pojmy derivácie a diferenciálu patria medzi základné pojmy matematickej analýzy. Výpočet derivácií je nevyhnutný pri riešení mnohých problémov vo fyzike a matematike (zisťovanie rýchlosti, zrýchlenia, tlaku atď.). Dôležitosť pojmu derivácia je daná najmä skutočnosťou, že derivácia funkcie charakterizuje rýchlosť zmeny tejto funkcie pri zmene jej argumentu.

Použitie diferenciálu umožňuje približné výpočty, ako aj hodnotenie chýb.

Metódy hľadania derivácií a diferenciálov funkcií a ich aplikácia tvoria hlavnú úlohu diferenciálneho počtu. Potreba pojmu derivácia vzniká v súvislosti s formuláciou problému výpočtu rýchlosti pohybu a nájdenia uhla dotyčnice ku krivke. Možný je aj inverzný problém: pomocou rýchlosti určiť prejdenú vzdialenosť a pomocou dotyčnice uhla dotyčnice nájsť zodpovedajúcu funkciu. Tento inverzný problém vedie ku konceptu neurčitého integrálu.

Pojem určitého integrálu sa používa v mnohých praktických problémoch, najmä v problémoch výpočtu plôch rovinných útvarov, výpočtu práce vykonanej premennou silou a zistení priemernej hodnoty funkcie.

Pri matematickom popise rôznych fyzikálnych, chemických, biologických procesov a javov sa často používajú rovnice, ktoré obsahujú nielen skúmané veličiny, ale aj ich deriváty rôznych rádov týchto veličín. Napríklad podľa najjednoduchšej verzie zákona o reprodukcii baktérií je rýchlosť reprodukcie úmerná počtu baktérií v danom čase. Ak túto veličinu označíme N(t), potom v súlade s fyzikálnym významom derivátu je rýchlosť rozmnožovania baktérií derivátom N(t) a na základe uvedeného zákona môžeme zapísať vzťah N "(t)=k∙N, kde k>0 - koeficient úmernosti. Výsledná rovnica nie je algebraická, pretože obsahuje nielen neznámu funkciu N(t), ale aj jej deriváciu prvého rádu.

2. Stručná teória:

1. Problémy vedúce k pojmu derivát

1. Problém nájdenia rýchlosti v hmotného bodu. Nech nejaký hmotný bod vykoná priamočiary pohyb. V určitom okamihu t 1 bod je na svojom mieste M 1. V určitom okamihu t 2 tehotná M 2 . Označme interval M 1 , M 2 cez ΔS; t 2 – t 1 =Δt. Hodnota sa nazýva priemerná rýchlosť pohybu. Ak chcete zistiť okamžitú rýchlosť bodu v určitej polohe M 1 nevyhnutné Δt ponáhľať sa k nule. Matematicky to znamená

, (1)

Aby sme teda našli okamžitú rýchlosť hmotného bodu, je potrebné vypočítať hranicu pomeru prírastku funkcie ΔS na prírastok argumentu Δt za predpokladu, že Δt→0.

2. Problém nájdenia uhla sklonu dotyčnice ku grafu funkcie.

Obr.1

Zvážte graf nejakej funkcie y=f(x). Aký je uhol sklonu?
dotyčnica nakreslená v bode M 1 ? Na mieste M 1 Nakreslíme dotyčnicu ku grafu funkcie. Vyberte ľubovoľný bod na grafe M 2 a nakreslite sečnicu. Je naklonený k osi OH pod uhlom α 1 . Uvažujme ΔM 1 M 2 A:

, (2)

Ak bod M 1 opraviť a bod M 2 priblížiť M 1 , potom sekta M 1 M 2 sa bude dotýkať grafu funkcie v bode M 1 a môžeme napísať:

, (3)

Preto je potrebné vypočítať limit pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, ak prírastok argumentu smeruje k nule.

Limit pomeru prírastku Δy funkcie y=f(x) k prírastku argumentu Δx v danom bode x 0 keďže Δx smeruje k nule, nazýva sa derivácia funkcie v danom bode.

Odvodená notácia: y", f "(x), . A-priorstvo

, (4)

kde Δx=х 2 -х 1 je prírastok argumentu (rozdiel medzi dvoma nasledujúcimi pomerne blízkymi hodnotami argumentu), Δy=y 2 -y 1 je prírastok funkcie (rozdiel medzi hodnotami funkcie zodpovedajúcej týmto hodnotám argumentu).

Nájdenie derivácie danej funkcie sa nazýva jej diferenciácie. Diferenciácia hlavných elementárnych funkcií sa vykonáva pomocou hotových vzorcov (pozri tabuľku), ako aj pomocou pravidlá:

Derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií:

(u+ υ )"= u" + υ "

2. Derivácia súčinu dvoch funkcií sa rovná súčtu súčinov druhej funkcie a derivácie prvej a prvej funkcie a derivácie druhej:

(u∙υ )"=u"υ +uυ "

3. Derivácia kvocientu dve funkcie sa rovnajú zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a derivácie menovateľa a menovateľ je druhá mocnina menovateľa:

Fyzikálny význam derivátu. Z porovnania (4) a (1) vyplýva, že okamžitá rýchlosť priamočiareho pohybu hmotného bodu sa rovná derivácii závislosti jeho súradnice od času.

Všeobecný význam derivácie funkcie je, že charakterizuje rýchlosť (rýchlosť) zmeny funkcie pre danú zmenu argumentácie. Pomocou derivátu sa vyjadruje aj rýchlosť fyzikálnych, chemických a iných procesov, napríklad rýchlosť ochladzovania tela, rýchlosť chemickej reakcie, rýchlosť rozmnožovania baktérií atď.

Geometrický význam derivácie. Hodnota tangens uhla sklonu tangens nakreslená ku grafu funkcie sa nazýva v matematike dotyčnicový uhlový koeficient.

Uhlový koeficient dotyčnice nakreslený ku grafu diferencovateľnej funkcie v určitom bode sa číselne rovná derivácii funkcie v tomto bode.

Toto vyhlásenie sa nazýva geometrický význam derivácie.

Na ktorom sme skúmali najjednoduchšie deriváty a tiež sa oboznámili s pravidlami diferenciácie a niektorými technickými technikami na hľadanie derivátov. Ak teda nie ste veľmi dobrí s derivátmi funkcií alebo niektoré body v tomto článku nie sú úplne jasné, prečítajte si najprv vyššie uvedenú lekciu. Nalaďte sa prosím vážne - materiál nie je jednoduchý, ale aj tak sa ho pokúsim podať jednoducho a zrozumiteľne.

V praxi sa musíte veľmi často zaoberať deriváciou komplexnej funkcie, dokonca by som povedal, že takmer vždy, keď dostanete úlohy na nájdenie derivácií.

Pozrime sa na tabuľku pri pravidle (č. 5) na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Poďme na to. V prvom rade si dajme pozor na vstup. Tu máme dve funkcie - a , pričom funkcia je, obrazne povedané, vnorená do funkcie . Funkcia tohto typu (keď je jedna funkcia vnorená do inej) sa nazýva komplexná funkcia.

Zavolám funkciu vonkajšia funkcia a funkciu – interná (alebo vnorená) funkcia.

! Tieto definície nie sú teoretické a nemali by sa objaviť v konečnom návrhu zadaní. Neformálne výrazy „vonkajšia funkcia“, „vnútorná“ funkcia používam len preto, aby som vám uľahčil pochopenie materiálu.

Na objasnenie situácie zvážte:

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie

Pod sínusom nemáme len písmeno „X“, ale celý výraz, takže nájdenie derivátu hneď z tabuľky nebude fungovať. Všimli sme si tiež, že tu nie je možné použiť prvé štyri pravidlá, zdá sa, že existuje rozdiel, ale faktom je, že sínus nemožno „roztrhať na kúsky“:

V tomto príklade je už z mojich vysvetlení intuitívne jasné, že funkcia je komplexná funkcia a polynóm je vnútorná funkcia (vloženie) a vonkajšia funkcia.

Prvý krokčo musíte urobiť pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to pochopiť, ktorá funkcia je vnútorná a ktorá vonkajšia.

V prípade jednoduchých príkladov sa zdá byť jasné, že pod sínus je vložený polynóm. Ale čo ak všetko nie je zrejmé? Ako presne určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná? Na tento účel navrhujem použiť nasledujúcu techniku, ktorú je možné vykonať mentálne alebo v koncepte.

Predstavme si, že potrebujeme vypočítať hodnotu výrazu at na kalkulačke (namiesto jednej môže byť ľubovoľné číslo).

Čo vypočítame ako prvé? Po prvé budete musieť vykonať nasledujúcu akciu: , preto bude polynóm internou funkciou:

Po druhé bude potrebné nájsť, takže sínus – bude vonkajšia funkcia:

Po nás VYPREDANÉ s vnútornými a vonkajšími funkciami je čas uplatniť pravidlo diferenciácie komplexných funkcií .

Začnime sa rozhodovať. Z lekcie Ako nájsť derivát? pamätáme si, že návrh riešenia akejkoľvek derivácie vždy začína takto - výraz uzavrieme do zátvoriek a vpravo hore umiestnime ťah:

Najprv nájdeme deriváciu vonkajšej funkcie (sínus), pozrieme sa na tabuľku derivácií elementárnych funkcií a všimneme si, že . Všetky vzorce tabuľky sú použiteľné aj vtedy, ak je „x“ nahradené zložitým výrazom, v tomto prípade:

Upozorňujeme, že vnútorná funkcia sa nezmenil, nedotýkame sa ho.

No to je celkom zrejmé

Výsledok aplikácie vzorca vo finálnej podobe to vyzerá takto:

Konštantný faktor je zvyčajne umiestnený na začiatku výrazu:

Ak dôjde k nejakému nedorozumeniu, zapíšte si riešenie na papier a znova si prečítajte vysvetlenia.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Ako vždy píšeme:

Poďme zistiť, kde máme vonkajšiu funkciu a kde vnútornú. Aby sme to dosiahli, snažíme sa (mentálne alebo v koncepte) vypočítať hodnotu výrazu v . Čo by ste mali urobiť ako prvé? Najprv musíte vypočítať, čomu sa rovná základňa: preto je polynóm vnútorná funkcia:

A až potom sa vykoná umocnenie, preto je výkonová funkcia vonkajšou funkciou:

Podľa vzorca , najprv musíte nájsť deriváciu vonkajšej funkcie, v tomto prípade stupeň. Požadovaný vzorec hľadáme v tabuľke: . Znova opakujeme: akýkoľvek tabuľkový vzorec platí nielen pre „X“, ale aj pre komplexný výraz. Teda výsledok uplatnenia pravidla pre diferenciáciu komplexnej funkcie Ďalšie:

Opäť zdôrazňujem, že keď vezmeme deriváciu vonkajšej funkcie, naša vnútorná funkcia sa nezmení:

Teraz už len zostáva nájsť veľmi jednoduchú deriváciu vnútornej funkcie a trochu upraviť výsledok:

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (odpoveď na konci hodiny).

Aby ste upevnili svoje chápanie derivácie komplexnej funkcie, uvediem príklad bez komentárov, skúste na to prísť sami, dôvod, kde je vonkajšia a kde vnútorná funkcia, prečo sú úlohy riešené týmto spôsobom?

Príklad 5

a) Nájdite deriváciu funkcie

b) Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu máme koreň a na rozlíšenie koreňa musí byť reprezentovaný ako mocnosť. Najprv teda uvedieme funkciu do tvaru vhodnej na diferenciáciu:

Analýzou funkcie dospejeme k záveru, že súčet troch členov je vnútorná funkcia a umocnenie je vonkajšia funkcia. Uplatňujeme pravidlo diferenciácie komplexných funkcií :

Stupeň opäť reprezentujeme ako radikál (odmocninu) a pre deriváciu vnútornej funkcie aplikujeme jednoduché pravidlo na derivovanie súčtu:

Pripravený. Môžete tiež zredukovať výraz na spoločného menovateľa v zátvorkách a zapísať všetko ako jeden zlomok. Je to, samozrejme, krásne, ale keď získate ťažkopádne dlhé deriváty, je lepšie to nerobiť (je ľahké sa zmiasť, urobiť zbytočnú chybu a pre učiteľa bude nepohodlné to kontrolovať).

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (odpoveď na konci hodiny).

Je zaujímavé poznamenať, že niekedy namiesto pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie môžete použiť pravidlo na diferenciáciu kvocientu , ale takéto riešenie bude vyzerať ako nezvyčajná zvrátenosť. Tu je typický príklad:

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete použiť pravidlo diferenciácie kvocientu , ale je oveľa výnosnejšie nájsť deriváciu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Pripravíme funkciu na diferenciáciu - posunieme mínus z derivačného znamienka a zvýšime kosínus do čitateľa:

Kosínus je vnútorná funkcia, umocňovanie je vonkajšia funkcia.
Využime naše pravidlo :

Nájdeme deriváciu vnútornej funkcie a resetujeme kosínus späť:

Pripravený. V uvažovanom príklade je dôležité nenechať sa zmiasť v znameniach. Mimochodom, skúste to vyriešiť pomocou pravidla , odpovede sa musia zhodovať.

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (odpoveď na konci hodiny).

Doteraz sme sa zaoberali prípadmi, keď sme mali iba jedno hniezdenie v komplexnej funkcii. V praktických úlohách sa často dajú nájsť odvodeniny, kde sa ako hniezdiace bábiky jedna do druhej vnorí naraz 3 alebo aj 4-5 funkcií.

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Poďme pochopiť prílohy tejto funkcie. Skúsme vypočítať výraz pomocou experimentálnej hodnoty. Ako by sme rátali s kalkulačkou?

Najprv musíte nájsť , čo znamená, že arcsínus je najhlbšie vloženie:

Tento arcsínus jednej by sa potom mal odmocniť:

A nakoniec zdvihneme sedem na mocninu:

To znamená, že v tomto príklade máme tri rôzne funkcie a dve vloženia, pričom najvnútornejšia funkcia je arcsínus a najvzdialenejšia funkcia je exponenciálna funkcia.

Začnime sa rozhodovať

Podľa pravidla Najprv musíte vziať deriváciu vonkajšej funkcie. Pozrieme sa na tabuľku derivácií a nájdeme deriváciu exponenciálnej funkcie: Jediný rozdiel je v tom, že namiesto „x“ máme komplexný výraz, ktorý nepopiera platnosť tohto vzorca. Takže výsledok aplikácie pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie Ďalšie.

Matematická analýza.

Dielňa.

Pre študentov vysokých škôl v odbore:

"Štátna a mestská správa"

T.Z. Pavlova

Kolpaševo 2008

Kapitola 1: Úvod do analýzy

1.1 Funkcie. Všeobecné vlastnosti

1.2 Teória limitov

1.3 Kontinuita funkcie

2.1 Definícia derivátu

2.4 Funkčný výskum

2.4.1 Plne funkčný návrh štúdie

2.4.2 Príklady štúdie funkcií

2.4.3. Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na segmente

2.5 L'Hopitalovo pravidlo

3.1 Neurčitý integrál

3.1.1 Definície a vlastnosti

3.1.2 Tabuľka integrálov

3.1.3 Základné integračné metódy

3.2 Určitý integrál

3.2.2 Metódy výpočtu určitého integrálu

Kapitola 4. Funkcie viacerých premenných

4.1 Základné pojmy

4.2 Limity a spojitosť funkcií viacerých premenných

4.3.3 Totálny diferenciál a jeho aplikácia na približné výpočty

Kapitola 5. Klasické optimalizačné metódy

6.1 Užitočná funkcia.

6.2 Línie ľahostajnosti

6.3 Stanovený rozpočet

Domáce testovacie úlohy

1.1 Funkcie. Všeobecné vlastnosti

Numerická funkcia je definovaná na množine D reálnych čísel, ak každá hodnota premennej je spojená s nejakou dobre definovanou reálnou hodnotou premennej y, kde D je definičný obor funkcie.

Analytická reprezentácia funkcie:

výslovne: ;

implicitne: ;

v parametrickej forme:

rôzne vzorce v oblasti definície:

Vlastnosti.

Rovnomerná funkcia: . Napríklad funkcia je párna, pretože .

Neobvyklá funkcia: . Napríklad funkcia je nepárna, pretože .

Periodická funkcia: , kde T je perióda funkcie, . Napríklad goniometrické funkcie.

Monotónna funkcia. Ak pre niektorú z definičných domén funkcia rastie, potom je klesajúca. Napríklad - zvýšenie a - zníženie.

Obmedzená funkcia. Ak existuje číslo M také, že . Napríklad funkcie a , pretože .

Príklad 1. Nájdite definičný obor funkcií.

+ 2 – 3 +

1.2 Teória limitov

Definícia 1. Limita funkcie v je číslo b, ak pre ľubovoľné (je ľubovoľne malé kladné číslo) možno nájsť hodnotu argumentu, od ktorej nerovnosť platí.

Označenie: .

Definícia 2. Limita funkcie at je číslo b, ak pre ľubovoľné (- ľubovoľne malé kladné číslo) existuje kladné číslo také, že pre všetky hodnoty x vyhovujúce nerovnici je nerovnosť splnená.

Označenie: .

Definícia 3. O funkcii sa hovorí, že je nekonečne malá pre alebo ak alebo.

Vlastnosti.

1. Algebraický súčet konečného počtu nekonečne malých veličín je nekonečne malá veličina.

2. Súčin nekonečne malej veličiny a ohraničenej funkcie (konštanta, iná nekonečne malá veličina) je nekonečne malá veličina.

3. Podiel delenia infinitezimálnej veličiny funkciou, ktorej limita je nenulová, je nekonečne malá veličina.

Definícia 4. O funkcii sa hovorí, že je nekonečne veľká, ak .

Vlastnosti.

1. Súčin nekonečne veľkej veličiny a funkcie, ktorej limita je iná ako nula, je nekonečne veľká veličina.

2. Súčet nekonečne veľkej veličiny a obmedzenej funkcie je nekonečne veľká veličina.

3. Podiel delenia nekonečne veľkej veličiny funkciou, ktorá má limitu, je nekonečne veľká veličina.

Veta.(Vzťah medzi nekonečne malým množstvom a nekonečne veľkým množstvom.) Ak je funkcia nekonečne malá v (), potom je funkcia nekonečne veľká veličina v (). A naopak, ak je funkcia nekonečne veľká v (), potom je funkcia nekonečne malá hodnota v ().

Limitné vety.

1. Funkcia nemôže mať viac ako jednu hranicu.

2. Limita algebraického súčtu viacerých funkcií sa rovná algebraickému súčtu limitov týchto funkcií:

3. Limita súčinu viacerých funkcií sa rovná súčinu limity týchto funkcií:

4. Hranica stupňa sa rovná stupňu limity:

5. Limita podielu sa rovná podielu limity, ak limita deliteľa existuje:

.

6. Prvá nádherná limitka.

Dôsledky:

7. Druhý pozoruhodný limit:

Dôsledky:

Ekvivalentné nekonečne malé množstvá pri:

Výpočet limitov.

Pri výpočte limity sa využívajú základné teorémy o limitách, vlastnosti spojitých funkcií a pravidlá vyplývajúce z týchto viet a vlastností.

Pravidlo 1. Ak chcete nájsť limitu v bode funkcie, ktorá je v tomto bode spojitá, musíte namiesto argumentu x nahradiť jej limitnú hodnotu do funkcie pod znamienkom limity.

Príklad 2. Nájdite

Pravidlo 2. Ak sa pri hľadaní limity zlomku limita menovateľa rovná nule a limita čitateľa je iná ako nula, potom sa limita takejto funkcie rovná .

Príklad 3. Nájdite

Pravidlo 3. Ak sa pri hľadaní limity zlomku limita menovateľa rovná a limita čitateľa je iná ako nula, potom sa limita takejto funkcie rovná nule.

Príklad 4. Nájdite

Nahradenie limitnej hodnoty argumentu má často za následok nedefinované výrazy formulára

.

Nájdenie limity funkcie sa v týchto prípadoch nazýva zisťovanie neurčitosti. Na odhalenie neistoty je potrebné tento výraz pred prechodom na limit transformovať. Na odhalenie neistôt sa používajú rôzne techniky.

Pravidlo 4. Neistotu typu odhalíme transformáciou podlimitnej funkcie tak, že v čitateli a menovateli vyberieme faktor, ktorého limita je nula, a znížením zlomku o ňu nájdeme limitu kvocientu. Na tento účel sa čitateľ a menovateľ rozložia alebo vynásobia výrazmi spojenými s čitateľom a menovateľom.

Pravidlo 5. Ak podlimitný výraz obsahuje goniometrické funkcie, potom sa na vyriešenie neistoty tvaru použije prvá pozoruhodná limita.

.

Pravidlo 6. Na odhalenie neistoty tvaru v , je potrebné vydeliť čitateľa a menovateľa podlimitného zlomku najvyššou mocninou argumentu a potom nájsť limitu kvocientu.

Možné výsledky:

1) požadovaný limit sa rovná pomeru koeficientov najvyšších mocnín argumentu čitateľa a menovateľa, ak sú tieto mocniny rovnaké;

2) limita sa rovná nekonečnu, ak je stupeň argumentu čitateľa vyšší ako stupeň argumentu menovateľa;

3) limit sa rovná nule, ak je stupeň argumentu čitateľa nižší ako stupeň argumentu menovateľa.

A)

pretože

Mocniny sa rovnajú, to znamená, že hranica sa rovná pomeru koeficientov vyšších mocnín, t.j. .

b)

Stupeň čitateľa a menovateľa je 1, čo znamená, že limit je

V)

Stupeň čitateľa je 1, menovateľ je , čo znamená, že limit je 0.

Pravidlo 7. Aby sa odhalila neurčitosť tvaru, musí sa čitateľ a menovateľ podlimitného zlomku vynásobiť konjugovaným výrazom.

Príklad 10.

Pravidlo 8. Na odhalenie neurčitosti druhu sa používa druhá pozoruhodná hranica a jej dôsledky.

Dá sa to dokázať

Príklad 11.

Príklad 12.

Príklad 13.

Pravidlo 9. Pri odhaľovaní neistôt, ktorých sublimitná funkcia obsahuje b.m.v., je potrebné nahradiť limity týchto b.m.v. do limitov b.m., ktoré sú im ekvivalentné.

Príklad 14.

Príklad 15.

Pravidlo 10. L'Hopitalovo pravidlo (pozri 2.6).

1.3 Kontinuita funkcie

Funkcia je spojitá v bode, ak limita funkcie, ako má argument tendenciu k a, existuje a rovná sa hodnote funkcie v tomto bode.

Ekvivalentné podmienky:

1. ;

3.

Klasifikácia bodov zlomu:

Prietrž 1. druhu

Odnímateľné – jednostranné limity existujú a sú rovnaké;

Neredukovateľné (skokové) – jednostranné limity nie sú rovnaké;

diskontinuita druhého druhu: limita funkcie v bode neexistuje.

Príklad 16. Stanovte povahu diskontinuity funkcie v bode alebo dokážte spojitosť funkcie v tomto bode.

vo funkcii nie je definovaná, preto v tomto bode nie je spojitá. Pretože a zodpovedajúcim spôsobom, , potom je to bod odstrániteľnej diskontinuity prvého druhu.

b)

V porovnaní s priradením (a) je funkcia ďalej definovaná v bode tak, že , čo znamená, že táto funkcia je v tomto bode spojitá.

Keď funkcia nie je definovaná;

.

Pretože jedna z jednostranných limitov je nekonečná, potom ide o bod diskontinuity druhého druhu.

Kapitola 2. Diferenciálny počet

2.1 Definícia derivátu

Definícia derivátu

Derivácia alebo danej funkcie je limitom pomeru prírastku funkcie k zodpovedajúcemu prírastku argumentu, keď prírastok argumentu smeruje k nule:

Alebo .

Mechanický význam derivácie je rýchlosť zmeny funkcie. Geometrický význam derivácie je tangens uhla sklonu dotyčnice ku grafu funkcie:

2.2 Základné pravidlá diferenciácie

názov	Funkcia	Derivát
Násobenie konštantným faktorom
Algebraický súčet dvoch funkcií
Produkt dvoch funkcií
Podiel dvoch funkcií
Komplexná funkcia

Deriváty základných elementárnych funkcií

Nie	Názov funkcie	Funkcia a jej derivácia
1	konštantný
2	výkonová funkcia špeciálne prípady
3	exponenciálna funkcia špeciálny prípad
4	logaritmická funkcia špeciálny prípad
5	goniometrické funkcie
6	obrátene trigonometrické

b)

2.3 Deriváty vyššieho rádu

Derivácia funkcie druhého rádu

Derivácia funkcie druhého rádu:

Príklad 18.

a) Nájdite deriváciu druhého rádu funkcie.

Riešenie. Najprv nájdime deriváciu prvého rádu .

Z derivácie prvého rádu zoberme opäť deriváciu.

Príklad 19. Nájdite deriváciu tretieho rádu funkcie.

2.4 Funkčný výskum

2.4.1 Plne funkčný študijný plán:

Plne funkčný študijný plán:

1. Základný výskum:

Nájdite doménu definície a rozsah hodnôt;

Zistite všeobecné vlastnosti: rovnomernosť (nepárnosť), periodicita;

Nájdite priesečníky so súradnicovými osami;

Určite oblasti konštantného znamienka.

2. Asymptoty:

Nájdite vertikálne asymptoty if ;

Nájdite šikmé asymptoty: .

Ak nejaké číslo, potom – horizontálne asymptoty.

3. Výskum pomocou:

Nájdite kritické body, tie. body, v ktorých alebo neexistujú;

Určte intervaly nárastu, tie. intervaly, v ktorých funkcia klesá – ;

Určte extrémy: body, cez ktoré sa znamienko mení z „+“ na „–“ sú body maxima, od „–“ do „+“ sú body minima.

4. Výskum pomocou:

Nájdite body, v ktorých alebo neexistujú;

Nájdite oblasti konvexnosti, t.j. intervaly, na ktorých a konkávnosti – ;

Nájdite inflexné body, t.j. body pri prejazde, cez ktoré sa značka mení.

1. Jednotlivé prvky štúdie sa vykresľujú do grafu postupne tak, ako sa nachádzajú.

2. Ak sa vyskytnú ťažkosti s konštrukciou grafu funkcie, potom sa hodnoty funkcie nachádzajú v niektorých ďalších bodoch.

3. Účelom štúdie je opísať charakter správania sa funkcie. Preto sa nezostavuje presný graf, ale jeho aproximácia, na ktorej sú zreteľne vyznačené nájdené prvky (extrémy, inflexné body, asymptoty a pod.).

4. Nie je potrebné striktne dodržiavať daný plán; Je dôležité nevynechať charakteristické prvky správania funkcie.

2.4.2 Príklady funkčného výskumu:

1)

2) Nepárna funkcia:

.

3) Asymptoty.

– vertikálne asymptoty, pretože

Šikmá asymptota.

5)

– inflexný bod.

2) Nepárna funkcia:

3) Asymptoty: Neexistujú žiadne vertikálne asymptoty.

Šikmé:

– šikmé asymptoty

4) – funkcia sa zvyšuje.

– inflexný bod.

Schematický graf tejto funkcie:

2) Všeobecná funkcia

3) Asymptoty

– nie sú žiadne šikmé asymptoty

– horizontálna asymptota pri

– inflexný bod

Schematický graf tejto funkcie:

2) Asymptoty.

– vertikálna asymptota, pretože

– nie sú žiadne šikmé asymptoty

, – horizontálna asymptota

Schematický graf tejto funkcie:

2) Asymptoty

– vertikálna asymptota pri , pretože

– nie sú žiadne šikmé asymptoty

, – horizontálna asymptota

3) – funkcia sa znižuje v každom z intervalov.

Schematický graf tejto funkcie:

Ak chcete nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente, môžete použiť nasledujúci diagram:

1. Nájdite deriváciu funkcie.

2. Nájdite kritické body funkcie, v ktorých alebo neexistujú.

3. Nájdite hodnotu funkcie v kritických bodoch patriacich do daného segmentu a na jeho koncoch a vyberte z nich najväčší a najmenší.

Príklad. Nájdite najmenšiu a najväčšiu hodnotu funkcie na danom segmente.

25. medzi

2) – kritické body

26. v intervale.

Derivácia neexistuje pre , ale 1 nepatrí do tohto intervalu. Funkcia klesá na intervale, čo znamená, že neexistuje najväčšia hodnota, ale najmenšia hodnota je .

2.5 L'Hopitalovo pravidlo

Veta. Limita podielu dvoch nekonečne malých alebo nekonečne veľkých funkcií sa rovná limite pomeru ich derivácií (konečných alebo nekonečných), ak tieto v naznačenom zmysle existujú.

Tie. pri zverejňovaní neistôt typu alebo môžete použiť vzorec:

.

27.

Kapitola 3. Integrálny počet

3.1 Neurčitý integrál

3.1.1 Definície a vlastnosti

Definícia 1. Funkcia sa nazýva primitívna pre if .

Definícia 2. Neurčitý integrál funkcie f(x) je množina všetkých primitív k tejto funkcii.

Označenie: , kde c je ľubovoľná konštanta.

Vlastnosti neurčitého integrálu

1. Derivácia neurčitého integrálu:

2. Diferenciál neurčitého integrálu:

3. Neurčitý integrál diferenciálu:

4. Neurčitý integrál súčtu (rozdielu) dvoch funkcií:

5. Rozšírenie konštantného činiteľa za znamienko neurčitého integrálu:

3.1.2 Tabuľka integrálov

.1.3 Základné integračné metódy

1. Použitie vlastností neurčitého integrálu.

Príklad 29.

2. Odoslanie diferenciálneho znamienka.

Príklad 30.

3. Variabilný spôsob výmeny:

a) náhrada v integráli

Kde - funkcia, ktorá sa ľahšie integruje ako pôvodná; - funkcia inverzná k funkcii; - predchodca funkcie.

Príklad 31.

b) nahradenie v integráli v tvare:

Príklad 32.

Príklad 33.

4. Spôsob integrácie po častiach:

Príklad 34.

Príklad 35.

Zoberme si integrál oddelene

Vráťme sa k nášmu integrálu:

3.2 Určitý integrál

3.2.1 Pojem určitého integrálu a jeho vlastnosti

Definícia. Nech je daná spojitá funkcia na určitom intervale. Zostavme si z toho graf.

Útvar ohraničený hore krivkou, vľavo a vpravo rovnými čiarami a dole segmentom osi x medzi bodmi a a b sa nazýva krivočiary lichobežník.

S – plocha – krivočiary lichobežník.

Rozdeľte interval bodkami a získajte:

Kumulatívny súčet:

Definícia. Určitý integrál je limita integrálneho súčtu.

Vlastnosti určitého integrálu:

1. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka integrálu:

2. Integrál algebraického súčtu dvoch funkcií sa rovná algebraickému súčtu integrálov týchto funkcií:

3. Ak je integračný segment rozdelený na časti, potom sa integrál na celom segmente rovná súčtu integrálov pre každú z výsledných častí, t.j. pre ľubovoľné a, b, c:

4. Ak na segmente , potom

5. Hranice integrácie sa dajú vymeniť a znamienko integrálu sa zmení:

6.

7. Integrál v bode sa rovná 0:

8.

9. („o priemere“) Nech y = f(x) je funkcia integrovateľná na . Potom , kde , f(c) – priemerná hodnota f(x) na:

10. Newtonov-Leibnizov vzorec

,

kde F(x) je primitívna derivácia f(x).

3.2.2 Metódy výpočtu určitého integrálu.

1. Priama integrácia

Príklad 35.

A)

b)

V)

d)

2. Zmena premenných pod znamienkom určitého integrálu .

Príklad 36.

2. Integrácia po častiach v určitom integráli .

Príklad 37.

A)

b)

d)

3.2.3 Aplikácie určitého integrálu

Charakteristický	Typ funkcie	Vzorec
	v karteziánskych súradniciach
oblasť krivočiareho sektora	v polárnych súradniciach
oblasť zakriveného lichobežníka	v parametrickej forme
dĺžka oblúka	v karteziánskych súradniciach
dĺžka oblúka	v polárnych súradniciach
dĺžka oblúka	v parametrickej forme
telesný objem rotácia	v karteziánskych súradniciach
objem telesa s daným priečnym prierez

Príklad 38. Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami: A .

Riešenie: Nájdite priesečníky grafov týchto funkcií. Aby sme to dosiahli, porovnávame funkcie a riešime rovnicu

Takže priesečníky a .

Nájdite oblasť obrázku pomocou vzorca

.

V našom prípade

Odpoveď: Plocha je (štvorcové jednotky).

4.1 Základné pojmy

Definícia. Ak je každému páru vzájomne nezávislých čísel z určitej množiny priradená podľa nejakého pravidla jedna alebo viac hodnôt premennej z, potom sa premenná z nazýva funkcia dvoch premenných.

Definícia. Definičný obor funkcie z je množina párov, pre ktoré funkcia z existuje.

Oblasť definície funkcie dvoch premenných je určitá množina bodov v rovine súradníc Oxy. Súradnica z sa nazýva aplikácia a samotná funkcia je potom znázornená ako plocha v priestore E 3 . Napríklad:

Príklad 39. Nájdite definičný obor funkcie.

A)

Výraz na pravej strane má zmysel len vtedy, keď . To znamená, že doménou definície tejto funkcie je množina všetkých bodov ležiacich vo vnútri a na hranici kružnice s polomerom R so stredom v počiatku.

Definičným oborom tejto funkcie sú všetky body roviny, okrem bodov priamok, t.j. súradnicové osi.

Definícia. Čiary na úrovni funkcií sú skupinou kriviek na rovine súradníc, ktoré sú opísané rovnicami formulára.

Príklad 40. Nájdite riadky na úrovni funkcií .

Riešenie. Úrovňové čiary danej funkcie sú rodinou kriviek v rovine opísaných rovnicou

Posledná rovnica opisuje rodinu kružníc so stredom v bode O 1 (1, 1) s polomerom . Rotačná plocha (paraboloid) opísaná touto funkciou sa pri vzďaľovaní od osi stáva „strmšou“, čo je dané rovnicami x = 1, y = 1. (Obr. 4)

4.2 Limity a spojitosť funkcií viacerých premenných.

1. Limity.

Definícia. Číslo A sa nazýva limita funkcie, pretože bod smeruje k bodu, ak pre každé ľubovoľne malé číslo existuje číslo také, že pre akýkoľvek bod platí podmienka a podmienka je tiež pravdivá. . Zapíšte si: .

Príklad 41. Nájdite limity:

tie. limit závisí od , čo znamená, že neexistuje.

2. Kontinuita.

Definícia. Nech bod patrí do oblasti definície funkcie. Potom sa funkcia nazýva spojitá v bode, ak

(1)

a pointa smeruje k veci svojvoľným spôsobom.

Ak v niektorom bode nie je splnená podmienka (1), potom sa tento bod nazýva bod zlomu funkcie. Môže to byť v nasledujúcich prípadoch:

1) Funkcia nie je definovaná v bode .

2) Neexistuje žiadny limit.

3) Tento limit existuje, ale nerovná sa .

Príklad 42. Určte, či je daná funkcia spojitá v bode, ak .

Mám to To znamená, že táto funkcia je v bode spojitá.

limit závisí od k, t.j. v tomto bode neexistuje, čo znamená, že funkcia má v tomto bode diskontinuitu.

4.3 Derivácie a diferenciály funkcií viacerých premenných

4.3.1 Parciálne derivácie prvého rádu

Čiastočná derivácia funkcie vzhľadom na argument x je obyčajná derivácia funkcie jednej premennej x pre pevnú hodnotu premennej y a označuje sa:

Čiastočná derivácia funkcie vzhľadom na argument y je obyčajná derivácia funkcie jednej premennej y pre pevnú hodnotu premennej x a označuje sa:

Príklad 43. Nájdite parciálne derivácie funkcií.

4.3.2 Parciálne derivácie druhého rádu

Parciálne derivácie druhého rádu sú parciálne derivácie parciálnych derivácií prvého rádu. Pre funkciu dvoch premenných tvaru sú možné štyri typy parciálnych derivácií druhého rádu:

Parciálne deriváty druhého rádu, v ktorých sa diferenciácia uskutočňuje s ohľadom na rôzne premenné, sa nazývajú zmiešané deriváty. Zmiešané derivácie druhého rádu dvakrát diferencovateľnej funkcie sú rovnaké.

Príklad 44. Nájdite parciálne derivácie druhého rádu.

4.3.3 Totálny diferenciál a jeho aplikácia na približné výpočty.

Definícia. Diferenciál prvého rádu funkcie dvoch premenných nájdeme pomocou vzorca

.

Príklad 45. Nájdite úplný diferenciál funkcie.

Riešenie. Poďme nájsť parciálne derivácie:

.

Pre malé prírastky argumentov x a y dostane funkcia prírastok približne rovný dz, t.j. .

Vzorec na nájdenie približnej hodnoty funkcie v bode, ak je známa jej presná hodnota v bode:

Príklad 46. Nájdi .

Riešenie. nechaj,

Potom použijeme vzorec

Odpoveď. .

Príklad 47. Vypočítajte približne .

Riešenie. Zoberme si funkciu. Máme

Príklad 48. Vypočítajte približne .

Riešenie. Zvážte funkciu . Dostaneme:

Odpoveď. .

4.3.4 Diferenciácia implicitnej funkcie

Definícia. Funkcia sa nazýva implicitná, ak je daná rovnicou, ktorá nie je riešiteľná vzhľadom na z.

Parciálne derivácie takejto funkcie sa nachádzajú podľa vzorcov:

Príklad 49: Nájdite parciálne derivácie funkcie z danej rovnicou .

Riešenie.

Definícia. Funkcia sa nazýva implicitná, ak je daná rovnicou, ktorá nie je riešiteľná vzhľadom na y.

Deriváciu takejto funkcie nájdeme podľa vzorca:

.

Príklad 50. Nájdite derivácie týchto funkcií.

5.1 Lokálny extrém funkcie viacerých premenných

Definícia 1. Funkcia má maximum v bode, ak

Definícia 2. Funkcia má minimum v bode, ak pre všetky body dostatočne blízko k bodu a odlišné od neho.

Nevyhnutná podmienka pre extrém. Ak funkcia dosiahne extrém v bode, potom parciálne derivácie funkcie zaniknú alebo v tomto bode neexistujú.

Body, v ktorých parciálne derivácie miznú alebo neexistujú, sa nazývajú kritické.

Dostatočný znak extrému. Nech je funkcia definovaná v nejakom okolí kritického bodu a má v tomto bode spojité parciálne derivácie druhého rádu

1) má lokálne maximum v bode ak a ;

2) má lokálne minimum v bode if a ;

3) nemá lokálny extrém v bode ak ;

Schéma výskumu extrému funkcie dvoch premenných.

1. Nájdite parciálne derivácie funkcií: a.

2. Vyriešte sústavu rovníc a nájdite kritické body funkcie.

3. Nájdite parciálne derivácie druhého rádu, vypočítajte ich hodnoty v kritických bodoch a pomocou dostatočnej podmienky urobte záver o prítomnosti extrémov.

4. Nájdite extrémy funkcie.

Príklad 51. Nájdite extrémy funkcie .

1) Nájdite parciálne derivácie.

2) Riešime sústavu rovníc

4) Nájdite parciálne derivácie druhého rádu a ich hodnoty v kritických bodoch: . V bode dostaneme:

To znamená, že v bode neexistuje žiadny extrém. V bode dostaneme:

To znamená, že v bode je minimum.

5.2 Globálny extrém (najväčšia a najmenšia hodnota funkcie)

Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie viacerých premenných, spojitých na nejakej uzavretej množine, sa dosahujú buď v extrémnych bodoch alebo na hranici množiny.

Schéma na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt.

1) Nájdite kritické body ležiace vo vnútri oblasti, vypočítajte hodnotu funkcie v týchto bodoch.

2) Preskúmajte funkciu na hranici regiónu; ak hranica pozostáva z niekoľkých rôznych čiar, potom sa štúdia musí vykonať pre každý úsek samostatne.

3) Porovnajte získané funkčné hodnoty a vyberte najväčšiu a najmenšiu.

Príklad 52. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v obdĺžniku.

Riešenie. 1) Nájdite kritické body funkcie, na to nájdeme parciálne derivácie: a vyriešime sústavu rovníc:

Získali sme kritický bod A. Výsledný bod leží vo vnútri danej oblasti,

Hranicu regiónu tvoria štyri segmenty: i. Na každom segmente nájdime najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie.

4) Porovnajme získané výsledky a zistíme, že v bodoch .

Kapitola 6. Model spotrebiteľskej voľby

Budeme predpokladať, že existuje n rôznych tovarov. Potom označíme určitú množinu tovarov n-rozmerným vektorom , kde je množstvo i-tého produktu. Množina všetkých množín tovarov X sa nazýva priestor.

Voľba individuálneho spotrebiteľa je charakterizovaná vzťahom preferencií: predpokladá sa, že spotrebiteľ môže povedať o akýchkoľvek dvoch súboroch, ktoré sú vhodnejšie, alebo medzi nimi nevidí rozdiel. Preferenčný vzťah je tranzitívny: ak je množina výhodnejšia ako množina a množina je výhodnejšia ako množina, potom je množina výhodnejšia ako množina. Budeme predpokladať, že spotrebiteľské správanie je úplne opísané axiómou individuálneho spotrebiteľa: každý jednotlivý spotrebiteľ sa rozhoduje o spotrebe, nákupoch atď., na základe svojho systému preferencií.

6.1 Užitočná funkcia

Funkcia je definovaná na množine množín spotrebiteľov X , ktorej hodnota na spotrebiteľskom súbore sa rovná individuálnemu spotrebiteľskému hodnoteniu tohto súboru. Funkcia sa nazýva funkcia spotrebiteľského úžitku alebo funkcia preferencie spotrebiteľa. Tie. Každý spotrebiteľ má svoju vlastnú úžitkovú funkciu. Ale celú množinu spotrebiteľov možno rozdeliť do určitých tried spotrebiteľov (podľa veku, majetkového stavu atď.) a každej triede možno priradiť určitú, možno spriemerovanú, úžitkovú funkciu.

Funkciou je teda hodnotenie spotrebiteľa alebo úroveň uspokojenia potrieb jednotlivca pri nákupe danej súpravy. Ak je pre daného jednotlivca vhodnejší súbor ako súbor, potom .

Vlastnosti úžitkovej funkcie.

1.

Prvé parciálne derivácie funkcie užitočnosti sa nazývajú hraničné úžitkové hodnoty produktov. Z tejto vlastnosti vyplýva, že zvýšenie spotreby jedného produktu, zatiaľ čo spotreba ostatných produktov zostane nezmenená, vedie k zvýšeniu spotrebiteľského hodnotenia. Vektor je gradient funkcie, ukazuje smer najväčšieho rastu funkcie. Pre funkciu je jej gradient vektorom hraničných úžitkov produktov.

2.

Tie. Hraničná užitočnosť akéhokoľvek tovaru klesá so zvyšujúcou sa spotrebou.

3.

Tie. Hraničná užitočnosť každého produktu sa zvyšuje so zvyšujúcim sa množstvom iného produktu.

Niektoré typy úžitkových funkcií.

1) Neoklasicistický: .

2) Kvadratické: , kde matica je záporne jednoznačná a Pre .

3) Logaritmická funkcia: .

6.2 Línie ľahostajnosti

V aplikovaných problémoch a modeloch spotrebiteľskej voľby sa často používa špeciálny prípad súboru dvoch tovarov, t.j. keď funkcia užitočnosti závisí od dvoch premenných. Čiara ľahostajnosti je čiara spájajúca spotrebiteľské množiny, ktoré majú rovnakú úroveň uspokojenia potrieb jednotlivca. V podstate sú indiferenčné čiary čiarami na úrovni funkcií. Rovnice indiferenčných čiar: .

Základné vlastnosti indiferenčných čiar.

1. Línie ľahostajnosti zodpovedajúce rôznym úrovniam uspokojenia potrieb sa nedotýkajú ani nepretínajú.

2. Čiary ľahostajnosti sa znižujú.

3. Indiferenčné čiary sú konvexné smerom nadol.

Vlastnosť 2 implikuje dôležitú približnú rovnosť.

Tento pomer ukazuje, o koľko by mal jednotlivec zvýšiť (znížiť) spotrebu druhého produktu pri znížení (zvýšení) spotreby prvého produktu o jednu jednotku bez toho, aby sa zmenila úroveň uspokojenia jeho potrieb. Pomer sa nazýva miera nahradenia prvého produktu druhým a hodnota sa nazýva hraničná miera nahradenia prvého produktu druhým.

Príklad 53. Ak je hraničná užitočnosť prvého tovaru 6 a druhého 2, potom ak sa spotreba prvého tovaru zníži o jednu jednotku, spotreba druhého tovaru sa musí zvýšiť o 3 jednotky na rovnakej úrovni uspokojenia potrieb.

6.3 Stanovený rozpočet

Nechaj – vektor cien pre množinu n produktov; I je príjem jednotlivca, ktorý je ochotný minúť na nákup sady produktov. Množina množín tovarov, ktoré pri daných cenách nestoja viac ako I, sa nazýva rozpočtová množina B. Množina množín v cene I sa navyše nazýva hranica G rozpočtovej množiny B. Teda. množina B je ohraničená hranicou G a prirodzenými obmedzeniami.

Sada rozpočtu je opísaná systémom nerovností:

Pre prípad množiny dvoch tovarov je rozpočtovou množinou B (obr. 1) trojuholník v súradnicovom systéme, ohraničený súradnicovými osami a priamkou.

6.4 Teória spotrebiteľského dopytu

V teórii spotreby sa verí, že spotrebiteľ sa vždy snaží maximalizovať svoj úžitok a jediným obmedzením je pre neho obmedzený príjem I, ktorý môže minúť na nákup súboru tovarov. Vo všeobecnosti je problém spotrebiteľskej voľby (problém racionálneho spotrebiteľského správania na trhu) formulovaný nasledovne: nájsť spotrebiteľskú množinu , ktorý maximalizuje svoju úžitkovú funkciu pri danom rozpočtovom obmedzení. Matematický model tohto problému:

V prípade sady dvoch produktov:

Geometricky je riešením tohto problému dotykový bod medzi hranicou rozpočtovej množiny G a indiferenčnou čiarou.

Riešenie tohto problému spočíva v riešení systému rovníc:

(1)

Riešenie tohto systému je riešením problému výberu spotrebiteľa.

Riešenie problému výberu spotrebiteľa sa nazýva bod dopytu. Tento bod dopytu závisí od cien a príjmu, t.j. bod dopytu je funkciou dopytu. Funkcia dopytu je zase množina n funkcií, z ktorých každá závisí od argumentu:

Tieto funkcie sa nazývajú dopytové funkcie pre príslušný tovar.

Príklad 54. Pre množinu dvoch tovarov na trhu, známych cien za ne a dôchodku I nájdite funkcie dopytu, ak funkcia užitočnosti má tvar .

Riešenie. Rozlišujme užitočnú funkciu:

.

Dosadíme výsledné výrazy do (1) a získame sústavu rovníc:

V tomto prípade budú náklady na každý produkt predstavovať polovicu príjmu spotrebiteľa a množstvo zakúpeného produktu sa rovná sume vynaloženej naň vydelenej cenou produktu.

Príklad 55. Nech funguje užitočnosť pre prvý tovar, druhý,

cena prvého produktu, cena druhého. príjem . Koľko tovaru by mal spotrebiteľ kúpiť, aby maximalizoval užitočnosť?

Riešenie. Nájdite deriváty funkcií užitočnosti, dosaďte ich do systému (1) a vyriešte to:

Tento súbor tovarov je pre spotrebiteľa optimálny z hľadiska maximalizácie úžitku.

Test je potrebné vyplniť v súlade s možnosťou zvolenou poslednou číslicou čísla ročníka v samostatnom zošite. Každý problém musí obsahovať podmienku, podrobné riešenie a záver.

1. Úvod do matematickej analýzy

Úloha 1. Nájdite definičný obor funkcie.

5.

Úloha 2. Nájdite hranice funkcií.

.

Úloha 3. Nájdite body nespojitosti funkcie a určte ich typ.

1. 2. 3.

Kapitola 2. Diferenciálny počet funkcie jednej premennej

Úloha 4. Nájdite derivácie týchto funkcií.

1. a); b) c) y =;

d) y = x 6 + + + 5; e) y = x tan x + ln sin x + e 3x;

e) y = 2 x - arcsín x.

2. a) ; b) y =; c) y =; d) y = x 2 – + 3; e) y = e cos; e) y = .

3. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

4. a) y =; b) y = (e 5 x – 1) 6; c) y =; d) y =; e) y = x 8++ + 5; e) y = 3 x - arcsin x.

5. a) y = 2 x 3 - + e x; b) y =; c) y =;

d) y =; e) y = 2 cos; e) y = .

6. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

d) y =; e) y = x 7 + + 1; e) y = 2.

7. a) ; b) y =; c)y =; d)y = x2 + xsinx+; e) y = e cos; e) y = .

8. a) y = ; b) y = (3 x – 4)6; c) y = sintg;

d) y = 3x 4 – – 9+ 9; e) y =;

e)y = x 2 + arcsin x - x.

9. a); b) ; c) y =; d) y = 5 sin 3 x; e) y = x 3 – – 6+ 3; e) y = 4 x 4 + ln.

10. a) b) y =; c) y = (3 x – 4) 6; d) y =; e)y = x2-x; e) y = e sin 3 x + 2.

Úloha 5. Preskúmajte funkciu a vytvorte jej graf.

1. a) b) c) .

2. a) b) V).

3. a) b) V).

4. b) V)

5. a) b) V).

6. a) b) V).

7. a) b) c) .

8. a) b) c) .

9. a) b) c) .

10. a) b) V).

Úloha 6. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na danom segmente.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Kapitola 3. Integrálny počet

Úloha 7. Nájdite neurčité integrály.

1. a) b);

2. a) b) c) d).

4. G)

5. a) ; b); V); G).

6. a) ; b); V); G)

7. a) ; b) ; V); G)

8. a) ; b); V) ; G).

9. a) ; b) c); G).

10. a) b) V); G).

Úloha 8. Vypočítajte určité integrály.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

Úloha 9. Nájdite nevlastné integrály alebo dokážte, že sa líšia.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Úloha 10. Nájdite oblasť oblasti ohraničenej krivkami

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Kapitola 4. Diferenciálny počet funkcií viacerých premenných.

Úloha 11. Nájdite definičný obor funkcie (zobrazte na výkrese).

Úloha 12. Preskúmajte spojitosť funkcie at

Úloha 13. Nájdite deriváciu implicitne danej funkcie.

Úloha 14. Vypočítajte približne

1. a) ;b) ; V)

2. a) ; b) ; V) .

3. a) ; b) ; V).

4. a) ; b) ; V).

5. a); b) ; V).

6. a); b) ; V).

7. a); b) ; V).

8. a) ;b) ; V)

9. a) ; b) ; V) .

10. a) ;b) ; V)

Úloha 15. Preskúmajte funkciu pre extrémy.

7. .

8. .

9. .

10. .

Úloha 16. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v danej uzavretej oblasti.

1. v obdĺžniku

2.

3. v obdĺžniku

4. v oblasti ohraničenej parabolou

A os x.

5. štvorcový

6. v trojuholníku ohraničenom súradnicovými osami a priamkou

7. v trojuholníku ohraničenom súradnicovými osami a priamkou

8. v trojuholníku ohraničenom súradnicovými osami a priamkou

9. v oblasti ohraničenej parabolou

A os x.

10. v oblasti ohraničenej parabolou

A os x.

Hlavná

1. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Základy matematiky a jej aplikácia v ekonomickom vzdelávaní: Učebnica. – 4. vydanie, španielčina. – M.: Delo, 2003.

2. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Matematika pre ekonomické odbory: Učebnica. – 4. vydanie, španielčina. – M.: Delo, 2003.

3. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Matematika pre ekonomické bakalárske štúdium. Učebnica. – 4. vydanie, španielčina. – M.: Delo, 2005.

4. Vyššia matematika pre ekonómov. Učebnica pre vysoké školy / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman; Ed. Prednášal prof. N.Sh. Kremer, - 2. vyd., prepracované. a dodatočné – M: UNITY, 2003.

5. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridman M.N.. Vyššia matematika pre ekonomické špeciality. Učebnica a workshop (I. a II. časť) / Ed. Prednášal prof. N.Sh. Kremer, - 2. vyd., prepracované. a dodatočné – M: Higher Education, 2007. – 893 s. – (Základy vied)

6. Danko P.E., Popov A.G., Koževniková T.Ya. Vyššia matematika v cvičeniach a úlohách. Vyššia škola M. 1999.

Dodatočné

1. I.I. Bavrin, V.L. Námorníci. Vyššia matematika. "Humanitárne vydavateľské centrum Vlados", 2002.

2. I.A. Zajcev. Vyššia matematika. "Vysoká škola", 1998.

3. A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandra. Matematika v ekonómii / v dvoch častiach/. M. Financie a štatistika. 1999.