pentru studenti medical, pediatric, stomatologic

si facultati medicale si preventive

la munca de laborator

„Concepte de bază ale analizei matematice”

1. Fundamentarea științifică și metodologică a temei:

Conceptele de derivată și diferențială sunt printre conceptele de bază ale analizei matematice. Calculul derivatelor este necesar atunci când se rezolvă multe probleme de fizică și matematică (găsirea vitezei, accelerației, presiunii etc.). Importanța conceptului de derivată, în special, este determinată de faptul că derivata unei funcții caracterizează rata de modificare a acestei funcții atunci când argumentul ei se schimbă.

Utilizarea unui diferențial permite calcule aproximative, precum și evaluarea erorilor.

Metodele de găsire a derivatelor și diferențialelor de funcții și aplicarea lor constituie sarcina principală a calculului diferențial. Necesitatea conceptului de derivată apare în legătură cu formularea problemei calculării vitezei de mișcare și găsirii unghiului tangentei la curbă. Problema inversă este de asemenea posibilă: utilizarea vitezei pentru a determina distanța parcursă și utilizarea tangentei unghiului tangentei pentru a găsi funcția corespunzătoare. Această problemă inversă duce la conceptul de integrală nedefinită.

Conceptul de integrală definită este utilizat într-o serie de probleme practice, în special în probleme de calculare a ariilor figurilor plane, calculul muncii efectuate de o forță variabilă și găsirea valorii medii a unei funcții.

Când se descriu matematic diferite procese și fenomene fizice, chimice, biologice, sunt adesea folosite ecuații care conțin nu numai mărimile studiate, ci și derivatele lor de diferite ordine ale acestor mărimi. De exemplu, conform celei mai simple versiuni a legii reproducerii bacteriene, rata de reproducere este proporțională cu numărul de bacterii la un moment dat. Dacă această mărime se notează cu N(t), atunci, în conformitate cu semnificația fizică a derivatului, rata de reproducere bacteriană este o derivată a lui N(t), iar pe baza legii menționate, putem scrie relația N „(t)=k∙N, unde k>0 - coeficient de proporționalitate. Ecuația rezultată nu este algebrică, deoarece conține nu numai funcția necunoscută N(t), ci și derivata ei de ordinul întâi.

2. Scurtă teorie:

1. Probleme care duc la conceptul de derivată

1. Problema găsirii vitezei v a unui punct material. Lasă un punct material să efectueze mișcare rectilinie. La un moment dat t 1 punctul este pe poziție M 1. La un moment dat t 2 gravidă M 2 . Să notăm intervalul M 1 , M 2 prin ΔS; t 2 -t 1 =Δt. Valoarea se numește viteza medie de mișcare. Pentru a afla viteza instantanee a unui punct într-o poziție M 1 necesar Δt repezi spre zero. Din punct de vedere matematic, asta înseamnă că

, (1)

Astfel, pentru a găsi viteza instantanee a unui punct material, este necesar să se calculeze limita raportului de creștere a funcției ΔS la incrementul argumentului Δt, cu condiţia ca Δt→0.

2. Problema găsirii unghiului de înclinare al tangentei la graficul unei funcții.

Fig.1

Luați în considerare graficul unei funcții y=f(x). Care este unghiul de înclinare?
tangenta trasata intr-un punct M 1 ? La punctul M 1 Să desenăm o tangentă la graficul funcției. Selectați un punct arbitrar pe grafic M 2 si trage o secanta. Este înclinată spre axă OH la un unghi α 1 . Sa luam in considerare ΔM 1 M 2 A:

, (2)

Dacă punctul M 1 fixează și punctează M 2 aduce mai aproape de M 1 , apoi secanta M 1 M 2 va merge tangent la graficul funcției din punct M 1 si putem scrie:

, (3)

Astfel, este necesar să se calculeze limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului dacă incrementul argumentului tinde spre zero.

Limita raportului dintre incrementul Δy al funcției y=f(x) și incrementul argumentului Δx la un punct dat x 0 întrucât Δx tinde spre zero, se numește derivată a funcției într-un punct dat.

Notație derivată: y", f "(x), . A-prioriu

, (4)

unde Δx=х 2 -х 1 este incrementul argumentului (diferența dintre două valori ulterioare destul de apropiate ale argumentului), Δy=y 2 -y 1 este incrementul funcției (diferența dintre valori ​a funcției corespunzătoare acestor valori ale argumentului).

Găsirea derivatei unei funcții date se numește ea diferenţiere. Diferențierea principalelor funcții elementare se realizează folosind formule gata făcute (vezi tabel), precum și folosind reguli:

Derivată a unei sume algebrice funcții este egală cu suma derivatelor acestor funcții:

(u+ υ )"= u" + υ "

2. Derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor celei de-a doua functii si derivata primei si primei functii si derivata celei de-a doua:

(u∙υ )"=u"υ + uυ "

3. Derivată a coeficientului două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorul și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul numitorului:

Sensul fizic al derivatului. Dintr-o comparație a (4) și (1) rezultă că viteza instantanee a mișcării rectilinie a unui punct material este egală cu derivata dependenței coordonatei sale de timp.

Sensul general al derivatei unei funcții este că ea caracterizează rata (viteza) de schimbare a unei funcții pentru o anumită schimbare a argumentului. Viteza proceselor fizice, chimice și a altor procese, de exemplu viteza de răcire a corpului, viteza unei reacții chimice, viteza de reproducere a bacteriilor etc., este de asemenea exprimată folosind un derivat.

Sensul geometric al derivatului. Valoarea tangentei unghiului de înclinare al unei tangente trasate la graficul unei funcții se numește în matematică coeficient unghiular tangent.

Coeficientul unghiular al tangentei trasate la graficul funcției diferențiabile într-un anumit punct este numeric egal cu derivata funcției în acest punct.

Această afirmație se numește sensul geometric al derivatului.

Pe care am examinat cele mai simple derivate și, de asemenea, ne-am familiarizat cu regulile de diferențiere și unele tehnici tehnice de găsire a derivatelor. Astfel, dacă nu ești foarte bun cu derivatele de funcții sau unele puncte din acest articol nu sunt complet clare, atunci citește mai întâi lecția de mai sus. Vă rugăm să aveți o dispoziție serioasă - materialul nu este simplu, dar voi încerca totuși să îl prezint simplu și clar.

În practică, trebuie să te ocupi foarte des de derivata unei funcții complexe, chiar aș spune, aproape întotdeauna, atunci când ți se dau sarcini să găsești derivate.

Ne uităm la tabelul la regula (nr. 5) pentru diferențierea unei funcții complexe:

Să ne dăm seama. În primul rând, să fim atenți la intrare. Aici avem două funcții - și , iar funcția, la figurat vorbind, este imbricată în funcția . O funcție de acest tip (când o funcție este imbricată în alta) se numește funcție complexă.

Voi apela funcția functie externa, și funcția – funcție internă (sau imbricată)..

! Aceste definiții nu sunt teoretice și nu ar trebui să apară în proiectarea finală a sarcinilor. Folosesc expresii informale „funcție externă”, funcție „internă” doar pentru a vă facilita înțelegerea materialului.

Pentru a clarifica situația, luați în considerare:

Exemplul 1

Aflați derivata unei funcții

Sub sinus avem nu doar litera „X”, ci o expresie întreagă, așa că găsirea derivatei imediat din tabel nu va funcționa. De asemenea, observăm că este imposibil să se aplice primele patru reguli aici, pare să existe o diferență, dar adevărul este că sinusul nu poate fi „sfâșiat în bucăți”:

În acest exemplu, este deja intuitiv clar din explicațiile mele că o funcție este o funcție complexă, iar polinomul este o funcție internă (încorporare) și o funcție externă.

Primul pas ceea ce trebuie să faceți când găsiți derivata unei funcții complexe este să înțelegeți ce funcție este internă și care este externă.

În cazul exemplelor simple, pare clar că un polinom este încorporat sub sinus. Dar dacă totul nu este evident? Cum să determinați cu exactitate ce funcție este externă și care este internă? Pentru a face acest lucru, vă sugerez să folosiți următoarea tehnică, care poate fi făcută mental sau în schiță.

Să ne imaginăm că trebuie să calculăm valoarea expresiei la pe un calculator (în loc de unul poate fi orice număr).

Ce vom calcula mai întâi? În primul rând va trebui să efectuați următoarea acțiune: , prin urmare polinomul va fi o funcție internă:

În al doilea rând va trebui găsit, deci sine – va fi o funcție externă:

După ce noi VÂNDUT cu funcții interne și externe, este timpul să aplici regula de diferențiere a funcțiilor complexe .

Să începem să decidem. De la lecție Cum să găsesc derivatul? ne amintim că proiectarea unei soluții la orice derivat începe întotdeauna astfel - încadrăm expresia între paranteze și punem o contur în dreapta sus:

La început găsim derivata funcției externe (sinus), ne uităm la tabelul derivatelor funcțiilor elementare și observăm că . Toate formulele de tabel sunt de asemenea aplicabile dacă „x” este înlocuit cu o expresie complexă, în acest caz:

Vă rugăm să rețineți că funcția interioară nu s-a schimbat, nu o atingem.

Ei bine, este destul de evident că

Rezultatul aplicării formulei în forma sa finală arată astfel:

Factorul constant este de obicei plasat la începutul expresiei:

Dacă există vreo neînțelegere, notează soluția pe hârtie și citește din nou explicațiile.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Ca întotdeauna, notăm:

Să ne dăm seama unde avem o funcție externă și unde avem una internă. Pentru a face acest lucru, încercăm (mental sau într-o schiță) să calculăm valoarea expresiei la . Ce ar trebui să faci mai întâi? În primul rând, trebuie să calculați cu ce este egală baza: prin urmare, polinomul este funcția internă:

Și numai atunci se realizează exponențiarea, prin urmare, funcția de putere este o funcție externă:

Conform formulei , mai întâi trebuie să găsiți derivata funcției externe, în acest caz, gradul. Căutăm formula necesară în tabel: . Repetăm ​​din nou: orice formulă tabelară este valabilă nu numai pentru „X”, ci și pentru o expresie complexă. Astfel, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe Următorul:

Subliniez din nou că atunci când luăm derivata funcției externe, funcția noastră internă nu se schimbă:

Acum tot ce rămâne este să găsiți o derivată foarte simplă a funcției interne și să modificați puțin rezultatul:

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Pentru a vă consolida înțelegerea derivatului unei funcții complexe, voi da un exemplu fără comentarii, încercați să vă dați seama singur, motivul unde este funcția externă și unde este funcția internă, de ce sarcinile sunt rezolvate astfel?

Exemplul 5

a) Aflați derivata funcției

b) Aflați derivata funcției

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici avem o rădăcină, iar pentru a diferenția rădăcina, aceasta trebuie reprezentată ca putere. Astfel, mai întâi aducem funcția în forma adecvată pentru diferențiere:

Analizând funcția, ajungem la concluzia că suma celor trei termeni este o funcție internă, iar ridicarea la putere este o funcție externă. Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe :

Reprezentăm din nou gradul ca un radical (rădăcină), iar pentru derivata funcției interne aplicăm o regulă simplă de diferențiere a sumei:

Gata. De asemenea, puteți reduce expresia la un numitor comun între paranteze și scrieți totul ca o fracție. Este frumos, desigur, dar atunci când obțineți derivate lungi greoaie, este mai bine să nu faceți acest lucru (este ușor să vă confundați, să faceți o greșeală inutilă și profesorul va fi incomod să verifice).

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Este interesant de observat că uneori, în loc de regula de diferențiere a unei funcții complexe, puteți folosi regula de diferențiere a unui coeficient. , dar o astfel de soluție va arăta ca o perversiune neobișnuită. Iată un exemplu tipic:

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți folosi regula de diferențiere a coeficientului , dar este mult mai profitabil să găsim derivata prin regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Pregătim funcția pentru diferențiere - mutăm minusul din semnul derivat și ridicăm cosinusul la numărător:

Cosinusul este o funcție internă, exponențiația este o funcție externă.
Să folosim regula noastră :

Găsim derivata funcției interne și resetăm cosinusul înapoi:

Gata. În exemplul luat în considerare, este important să nu vă confundați în semne. Apropo, încercați să o rezolvați folosind regula , răspunsurile trebuie să se potrivească.

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției).

Până acum am analizat cazurile în care am avut un singur cuib într-o funcție complexă. În sarcinile practice, puteți găsi adesea derivate, în care, cum ar fi păpușile de cuibărit, una în cealaltă, 3 sau chiar 4-5 funcții sunt imbricate deodată.

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Să înțelegem atașamentele acestei funcții. Să încercăm să calculăm expresia folosind valoarea experimentală. Cum am conta pe un calculator?

Mai întâi trebuie să găsiți , ceea ce înseamnă că arcsinusul este cea mai adâncă încorporare:

Acest arcsinus al lui unu ar trebui apoi să fie pătrat:

Și, în sfârșit, ridicăm șapte la o putere:

Adică, în acest exemplu avem trei funcții diferite și două înglobări, în timp ce funcția cea mai interioară este arcsinus, iar funcția cea mai exterioară este funcția exponențială.

Să începem să decidem

Conform regulii Mai întâi trebuie să luați derivata funcției exterioare. Ne uităm la tabelul derivatelor și găsim derivata funcției exponențiale: Singura diferență este că în loc de „x” avem o expresie complexă, care nu anulează validitatea acestei formule. Deci, rezultatul aplicării regulii de diferențiere a unei funcții complexe Următorul.

Analiza matematică.

Atelier.

Pentru studenții de specialitate:

„Administrația de stat și municipală”

T.Z. Pavlova

Kolpașevo 2008

Capitolul 1: Introducere în analiză

1.1 Funcții. Proprietăți generale

1.2 Teoria limitei

1.3 Continuitatea funcției

2.1 Definiția derivatei

2.4 Cercetarea funcției

2.4.1 Design de studiu complet al funcției

2.4.2 Exemple de studii de funcții

2.4.3. Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment

2.5 Regula lui L'Hopital

3.1 Integrală nedefinită

3.1.1 Definiții și proprietăți

3.1.2 Tabelul integralelor

3.1.3 Metode de integrare de bază

3.2 Integrală definită

3.2.2 Metode de calcul a integralei definite

Capitolul 4. Funcţiile mai multor variabile

4.1 Concepte de bază

4.2 Limitele și continuitatea funcțiilor mai multor variabile

4.3.3 Diferenţialul total şi aplicarea acestuia la calcule aproximative

Capitolul 5. Metode clasice de optimizare

6.1 Funcția de utilitate.

6.2 Linii de indiferență

6.3 Stabilirea bugetului

Teste de acasă

1.1 Funcții. Proprietăți generale

O funcție numerică este definită pe mulțimea D de numere reale dacă fiecare valoare a variabilei este asociată cu o valoare reală bine definită a variabilei y, unde D este domeniul de definire al funcției.

Reprezentarea analitică a unei funcții:

în mod explicit: ;

implicit: ;

sub forma parametrica:

diferite formule în zona definiției:

Proprietăți.

Funcția uniformă: . De exemplu, funcția este pară, deoarece .

Funcție impară: . De exemplu, funcția este impară, deoarece .

Funcția periodică: , unde T este perioada funcției, . De exemplu, funcțiile trigonometrice.

Funcția monotonă. Dacă pentru oricare dintre domeniile de definiție funcția este în creștere, atunci este în scădere. De exemplu, - în creștere și - în scădere.

Funcție limitată. Dacă există un număr M astfel încât . De exemplu, funcțiile și , deoarece .

Exemplul 1. Găsiți domeniul de definire al funcțiilor.

+ 2 – 3 +

1.2 Teoria limitei

Definiția 1. Limita unei funcții la este un număr b dacă pentru orice (este un număr pozitiv arbitrar mic) se poate găsi o valoare a argumentului pornind de la care inegalitatea este valabilă.

Denumire: .

Definiția 2. Limita unei funcții la este un număr b dacă pentru oricare (este un număr pozitiv arbitrar mic) există un număr pozitiv astfel încât pentru toate valorile lui x care satisfac inegalitatea inegalitatea este satisfăcută.

Denumire: .

Definiția 3. Se spune că o funcție este infinitezimală pentru sau dacă sau.

Proprietăți.

1. Suma algebrică a unui număr finit de mărimi infinitezimale este o mărime infinitezimală.

2. Produsul dintre o mărime infinitezimală și o funcție mărginită (o constantă, o altă mărime infinitezimală) este o mărime infinitezimală.

3. Cât de împărțire a unei mărimi infinitezimale la o funcție a cărei limită este diferită de zero este o mărime infinitezimală.

Definiția 4. Se spune că o funcție este infinit de mare dacă .

Proprietăți.

1. Produsul unei cantități infinit de mare și a unei funcții a cărei limită este diferită de zero este o cantitate infinit de mare.

2. Suma unei cantități infinit de mare și a unei funcții limitate este o cantitate infinit de mare.

3. Cât de împărțire a unei cantități infinit de mare la o funcție care are o limită este o cantitate infinit de mare.

Teorema.(Relația dintre o cantitate infinitezimală și o cantitate infinit de mare.) Dacă o funcție este infinitezimală la (), atunci funcția este o cantitate infinit de mare la (). Și, invers, dacă funcția este infinit de mare la (), atunci funcția este o valoare infinitezimală la ().

Teoreme limită.

1. O funcție nu poate avea mai mult de o limită.

2. Limita sumei algebrice a mai multor funcții este egală cu suma algebrică a limitelor acestor funcții:

3. Limita produsului mai multor funcții este egală cu produsul limitelor acestor funcții:

4. Limita gradului este egală cu gradul limitei:

5. Limita câtului este egală cu câtul limitelor dacă există limita divizorului:

.

6. Prima limită minunată.

Consecințe:

7. A doua limită remarcabilă:

Consecințe:

Mărimi infinitezimale echivalente la:

Calculul limitelor.

La calculul limitelor se folosesc teoremele de bază despre limite, proprietățile funcțiilor continue și regulile care decurg din aceste teoreme și proprietăți.

Regula 1. Pentru a găsi limita într-un punct al unei funcții care este continuă în acest punct, trebuie să înlocuiți valoarea limită a acesteia în funcția de sub semnul limită în loc de argumentul x.

Exemplul 2. Găsiți

Regula 2. Dacă, la găsirea limitei unei fracții, limita numitorului este egală cu zero, iar limita numărătorului este diferită de zero, atunci limita unei astfel de funcții este egală cu .

Exemplul 3. Găsiți

Regula 3. Dacă, la găsirea limitei unei fracții, limita numitorului este egală cu , iar limita numărătorului este diferită de zero, atunci limita unei astfel de funcții este egală cu zero.

Exemplul 4. Găsiți

Adesea, înlocuirea valorii limită a unui argument are ca rezultat expresii nedefinite ale formei

.

Găsirea limitei unei funcții în aceste cazuri se numește descoperire a incertitudinii. Pentru a dezvălui incertitudinea, este necesar să transformăm această expresie înainte de a trece la limită. Sunt folosite diferite tehnici pentru a dezvălui incertitudinile.

Regula 4. Incertitudinea tipului este relevată prin transformarea funcției sublimită astfel încât în ​​numărător și numitor să se poată izola un factor a cărui limită este egală cu zero și, reducând fracția cu aceasta, să se afle limita coeficientului. Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul sunt fie factorizați, fie înmulțiți cu expresiile conjugate la numărător și numitor.

Regula 5. Dacă expresia sublimită conține funcții trigonometrice, atunci prima limită remarcabilă este folosită pentru a rezolva incertitudinea formei.

.

Regula 6. Pentru a dezvălui incertitudinea formei la , numărătorul și numitorul fracției sublimită trebuie împărțite la cea mai mare putere a argumentului și apoi trebuie găsită limita coeficientului.

Rezultate posibile:

1) limita cerută este egală cu raportul dintre coeficienții celor mai mari puteri ale argumentului numărătorului și numitorului, dacă aceste puteri sunt aceleași;

2) limita este egală cu infinitul dacă gradul argumentului numărătorului este mai mare decât gradul argumentului numitorului;

3) limita este egală cu zero dacă gradul argumentului numărătorului este mai mic decât gradul argumentului numitorului.

A)

deoarece

Puterile sunt egale, ceea ce inseamna ca limita este egala cu raportul dintre coeficientii puterilor superioare, i.e. .

b)

Gradul numărătorului și numitorului este 1, ceea ce înseamnă că limita este

V)

Gradul numărătorului este 1, numitorul este , ceea ce înseamnă că limita este 0.

Regula 7. Pentru a dezvălui incertitudinea formei, numărătorul și numitorul fracției sublimită trebuie înmulțite cu expresia conjugată.

Exemplul 10.

Regula 8. Pentru a dezvălui incertitudinea speciei, se utilizează a doua limită remarcabilă și consecințele acesteia.

Se poate dovedi că

Exemplul 11.

Exemplul 12.

Exemplul 13.

Regula 9. La relevarea incertitudinilor a căror funcție de sublimită conține b.m.v., este necesar să se înlocuiască limitele acestor b.m.v. până la limitele b.m. echivalente cu acestea.

Exemplul 14.

Exemplul 15.

Regula 10. Regula lui L'Hopital (vezi 2.6).

1.3 Continuitatea funcției

O funcție este continuă într-un punct dacă limita funcției, deoarece argumentul tinde spre a, există și este egală cu valoarea funcției în acest punct.

Condiții echivalente:

1. ;

3.

Clasificarea punctelor de pauză:

ruptura de primul fel

Detașabil – limitele unilaterale există și sunt egale;

Irreductibil (săritură) – limitele unilaterale nu sunt egale;

discontinuitate de al doilea fel: limita unei funcţii într-un punct nu există.

Exemplul 16. Stabiliți natura discontinuității unei funcții într-un punct sau demonstrați continuitatea unei funcții în acest punct.

la funcția nu este definită, prin urmare, nu este continuă în acest punct. Deoarece și în mod corespunzător, , atunci este un punct de discontinuitate detașabilă de primul fel.

b)

În comparație cu atribuirea (a), funcția este definită în continuare la punctul astfel încât , ceea ce înseamnă că această funcție este continuă în acest moment.

Când funcția nu este definită;

.

Deoarece una dintre limitele unilaterale este infinită, atunci acesta este un punct de discontinuitate de al doilea fel.

Capitolul 2. Calcul diferenţial

2.1 Definiția derivatei

Definiţia derivative

Derivata sau a unei funcții date este limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul corespunzător al argumentului, când incrementul argumentului tinde spre zero:

Sau .

Semnificația mecanică a unei derivate este rata de schimbare a unei funcții. Semnificația geometrică a derivatei este tangenta unghiului de înclinare a tangentei la graficul funcției:

2.2 Reguli de bază de diferențiere

Nume	Funcţie	Derivat
Înmulțirea cu un factor constant
Suma algebrică a două funcții
Produsul a două funcții
Coeficientul a doua functii
Funcție complexă

Derivate ale funcţiilor elementare de bază

Nu.	Numele funcției	Funcția și derivata ei
1	constant
2	functie de putere cazuri speciale
3	functie exponentiala caz special
4	funcţie logaritmică caz special
5	funcții trigonometrice
6	verso trigonometric

b)

2.3 Derivate de ordin superior

Derivată de ordinul doi a unei funcții

Derivată de ordinul doi a funcției:

Exemplul 18.

a) Aflați derivata de ordinul doi a funcției.

Soluţie. Să găsim mai întâi derivata de ordinul întâi .

De la derivata de ordinul întâi, să luăm din nou derivata.

Exemplul 19. Găsiți derivata de ordinul trei a funcției.

2.4 Cercetarea funcției

2.4.1 Plan complet de studiu al funcției:

Plan complet de studiu al funcției:

1. Cercetare elementară:

Găsiți domeniul definiției și intervalul de valori;

Aflați proprietăți generale: uniformitate (ciudățenie), periodicitate;

Aflați punctele de intersecție cu axele de coordonate;

Determinați zonele cu semn constant.

2. Asimptote:

Găsiți asimptote verticale dacă ;

Găsiți asimptote oblice: .

Dacă există un număr, atunci – asimptote orizontale.

3. Cercetare folosind:

Găsiți punctele critice, acelea. puncte în care există sau nu;

Determinați intervalele de creștere, acelea. intervale la care funcția scade – ;

Determinați extremele: punctele prin care semnul se schimbă de la „+” la „–” sunt puncte de maxim, de la „–” la „+” sunt puncte de minim.

4. Cercetare folosind:

Găsiți puncte în care există sau nu;

Găsiți zone de convexitate, de ex. intervale pe care și concavități – ;

Găsiți puncte de inflexiune, de ex. puncte la trecere prin care semnul se schimbă.

1. Elementele individuale ale studiului sunt trasate pe grafic treptat, pe măsură ce sunt găsite.

2. Dacă apar dificultăți la construirea unui grafic al unei funcții, atunci valorile funcției se găsesc în unele puncte suplimentare.

3. Scopul studiului este de a descrie natura comportamentului funcției. Prin urmare, nu se construiește un grafic exact, ci o aproximare a acestuia, pe care sunt marcate clar elementele găsite (extreme, puncte de inflexiune, asimptote etc.).

4. Nu este necesar să se respecte cu strictețe planul dat; Este important să nu ratați elementele caracteristice ale comportamentului funcției.

2.4.2 Exemple de cercetare a funcției:

1)

2) Funcția impară:

.

3) Asimptote.

– asimptote verticale, deoarece

Asimptotă oblică.

5)

- punct de inflexiune.

2) Funcția impară:

3) Asimptote: Nu există asimptote verticale.

Oblic:

– asimptote oblice

4) – funcția crește.

- punct de inflexiune.

Graficul schematic al acestei funcții:

2) Funcția generală

3) Asimptote

– nu există asimptote înclinate

– asimptotă orizontală la

- punct de inflexiune

Graficul schematic al acestei funcții:

2) Asimptote.

– asimptotă verticală, deoarece

– nu există asimptote înclinate

, – asimptotă orizontală

Graficul schematic al acestei funcții:

2) Asimptote

– asimptotă verticală la , deoarece

– nu există asimptote înclinate

, – asimptotă orizontală

3) – funcția scade pe fiecare dintre intervale.

Graficul schematic al acestei funcții:

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment, puteți utiliza următoarea diagramă:

1. Aflați derivata funcției.

2. Găsiți punctele critice ale funcției în care există sau nu.

3. Aflați valoarea funcției în punctele critice aparținând unui segment dat și la capetele acestuia și selectați dintre acestea pe cel mai mare și cel mai mic.

Exemplu. Găsiți cea mai mică și cea mai mare valoare a funcției pe un anumit segment.

25. intre

2) – puncte critice

26. în interval.

Derivata nu există pentru , dar 1 nu aparține acestui interval. Funcția scade pe interval, ceea ce înseamnă că nu există cea mai mare valoare, dar cea mai mică valoare este .

2.5 Regula lui L'Hopital

Teorema. Limita raportului a două funcții infinitezimale sau infinit de mari este egală cu limita raportului derivatelor lor (finite sau infinite), dacă aceasta din urmă există în sensul indicat.

Acestea. atunci când dezvăluiți incertitudini de tip sau puteți utiliza formula:

.

27.

Capitolul 3. Calcul integral

3.1 Integrală nedefinită

3.1.1 Definiții și proprietăți

Definiție 1. O funcție se numește antiderivată pentru dacă .

Definiția 2. O integrală nedefinită a unei funcții f(x) este mulțimea tuturor antiderivatelor pentru această funcție.

Desemnare: , unde c este o constantă arbitrară.

Proprietățile integralei nedefinite

1. Derivată a integralei nedefinite:

2. Diferenţiala integralei nedefinite:

3. Integrală nedefinită a diferenţialului:

4. Integrală nedefinită a sumei (diferenței) a două funcții:

5. Extinderea factorului constant dincolo de semnul integralei nedefinite:

3.1.2 Tabelul integralelor

.1.3 Metode de integrare de bază

1. Folosind proprietățile integralei nedefinite.

Exemplul 29.

2. Prezentarea semnului diferential.

Exemplul 30.

3. Metoda de înlocuire variabilă:

a) înlocuire în integrală

Unde - o functie mai usor de integrat decat cea originala; - functie inversa functiei; - antiderivat al funcției.

Exemplul 31.

b) înlocuire în integrala formei:

Exemplul 32.

Exemplul 33.

4. Metoda de integrare pe părți:

Exemplul 34.

Exemplul 35.

Să luăm separat integrala

Să revenim la integrala noastră:

3.2 Integrală definită

3.2.1 Conceptul de integrală definită și proprietățile acesteia

Definiție. Să fie dată o funcție continuă pe un anumit interval. Să construim un grafic al acestuia.

O figură delimitată deasupra printr-o curbă, la stânga și la dreapta prin linii drepte și mai jos de un segment al axei absciselor dintre punctele a și b se numește trapez curbiliniu.

S – aria – trapez curbiliniu.

Împărțiți intervalul cu puncte și obțineți:

Suma cumulata:

Definiție. O integrală definită este limita unei sume integrale.

Proprietățile integralei definite:

1. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

2. Integrala sumei algebrice a două funcții este egală cu suma algebrică a integralelor acestor funcții:

3. Dacă segmentul de integrare este împărțit în părți, atunci integrala pe întregul segment este egală cu suma integralelor pentru fiecare dintre părțile rezultate, i.e. pentru orice a, b, c:

4. Dacă pe segmentul , atunci

5. Limitele integrării pot fi schimbate, iar semnul integralei se modifică:

6.

7. Integrala în punct este egală cu 0:

8.

9. („despre medie”) Fie y = f(x) o funcție integrabilă pe . Apoi , unde , f(c) – valoarea medie a lui f(x) pe:

10. Formula Newton-Leibniz

,

unde F(x) este antiderivata lui f(x).

3.2.2 Metode de calcul a integralei definite.

1. Integrare directă

Exemplul 35.

A)

b)

V)

d)

2. Schimbarea variabilelor sub semnul integral definit .

Exemplul 36.

2. Integrarea pe părți într-o integrală definită .

Exemplul 37.

A)

b)

d)

3.2.3 Aplicații ale integralei definite

Caracteristică	Tipul funcției	Formulă
	în coordonate carteziene
zona sectorului curbiliniu	în coordonate polare
zona unui trapez curbat	în formă parametrică
lungimea arcului	în coordonate carteziene
lungimea arcului	în coordonate polare
lungimea arcului	în formă parametrică
volumul corpului rotație	în coordonate carteziene
volumul unui corp cu o transversală dată secțiune transversală

Exemplul 38. Calculați aria unei figuri delimitate de drepte: Și .

Soluţie: Să găsim punctele de intersecție ale graficelor acestor funcții. Pentru a face acest lucru, echivalăm funcțiile și rezolvăm ecuația

Deci, punctele de intersecție și .

Găsiți aria figurii folosind formula

.

În cazul nostru

Răspuns: Suprafața este (unități pătrate).

4.1 Concepte de bază

Definiție. Dacă fiecărei perechi de numere independente dintr-o anumită mulțime i se atribuie, conform unei reguli, una sau mai multe valori ale variabilei z, atunci variabilei z se numește funcție a două variabile.

Definiție. Domeniul de definire al unei funcții z este mulțimea de perechi pentru care există funcția z.

Domeniul de definire a unei funcții a două variabile este un anumit set de puncte pe planul de coordonate Oxy. Coordonata z se numește aplicat, iar apoi funcția însăși este reprezentată ca o suprafață în spațiul E 3 . De exemplu:

Exemplul 39. Găsiți domeniul funcției.

A)

Expresia din partea dreaptă are sens numai atunci când . Aceasta înseamnă că domeniul de definire al acestei funcții este mulțimea tuturor punctelor situate în interiorul și la limita unui cerc cu raza R cu un centru la origine.

Domeniul de definire al acestei funcții este toate punctele planului, cu excepția punctelor dreptelor, adică axele de coordonate.

Definiție. Liniile de nivel de funcție sunt o familie de curbe pe planul de coordonate, descrise prin ecuații de formă.

Exemplul 40. Găsiți linii de nivel de funcție .

Soluţie. Liniile de nivel ale unei funcții date sunt o familie de curbe pe plan, descrise de ecuație

Ultima ecuație descrie o familie de cercuri cu un centru în punctul O 1 (1, 1) de rază . Suprafața de revoluție (paraboloid) descrisă de această funcție devine „mai abruptă” pe măsură ce se îndepărtează de axă, care este dată de ecuațiile x = 1, y = 1. (Fig. 4)

4.2 Limitele și continuitatea funcțiilor mai multor variabile.

1. Limite.

Definiție. Un număr A se numește limita unei funcții, deoarece un punct tinde către un punct dacă pentru fiecare număr arbitrar mic există un număr astfel încât pentru orice punct condiția este adevărată și condiția este, de asemenea, adevărată. . Scrie: .

Exemplul 41. Găsiți limite:

acestea. limita depinde de , ceea ce înseamnă că nu există.

2. Continuitate.

Definiție. Fie punctul aparține domeniului de definire a funcției. Atunci o funcție se numește continuă într-un punct dacă

(1)

iar punctul tinde spre punct într-o manieră arbitrară.

Dacă în orice punct condiția (1) nu este îndeplinită, atunci acest punct se numește punctul de întrerupere a funcției. Acest lucru poate fi în următoarele cazuri:

1) Funcția nu este definită la punctul .

2) Nu există limită.

3) Această limită există, dar nu este egală cu .

Exemplul 42. Determinați dacă o funcție dată este continuă în punctul dacă .

Am inteles Aceasta înseamnă că această funcție este continuă în punct.

limita depinde de k, i.e. nu există în acest moment, ceea ce înseamnă că funcția are o discontinuitate în acest punct.

4.3 Derivate și diferențiale de funcții ale mai multor variabile

4.3.1 Derivate parțiale de ordinul întâi

Derivata parțială a unei funcții în raport cu argumentul x este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile x pentru o valoare fixă ​​a variabilei y și se notează:

Derivata parțială a unei funcții în raport cu argumentul y este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile y pentru o valoare fixă ​​a variabilei x și se notează:

Exemplul 43. Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor.

4.3.2 Derivate parțiale de ordinul doi

Derivatele parțiale de ordinul doi sunt derivate parțiale ale derivatelor parțiale de ordinul întâi. Pentru o funcție a două variabile de formă, sunt posibile patru tipuri de derivate parțiale de ordinul doi:

Derivatele parțiale de ordinul doi, în care diferențierea se realizează în raport cu diferite variabile, se numesc derivate mixte. Derivatele mixte de ordinul doi ale unei funcții de două ori diferențiabile sunt egale.

Exemplul 44. Găsiți derivate parțiale de ordinul doi.

4.3.3 Diferenţialul total şi aplicarea acestuia la calcule aproximative.

Definiție. Diferenţiala de ordinul întâi a unei funcţii a două variabile se găseşte prin formula

.

Exemplul 45. Găsiți diferența completă pentru funcție.

Soluţie. Să găsim derivatele parțiale:

.

Pentru incremente mici ale argumentelor x și y, funcția primește un increment aproximativ egal cu dz, adică. .

Formula pentru găsirea valorii aproximative a unei funcții într-un punct dacă este cunoscută valoarea ei exactă într-un punct:

Exemplul 46. Găsiți .

Soluţie. Lăsa ,

Apoi folosim formula

Răspuns. .

Exemplul 47. Calculați aproximativ .

Soluţie. Să luăm în considerare funcția. Avem

Exemplul 48. Calculați aproximativ .

Soluţie. Luați în considerare funcția . Primim:

Răspuns. .

4.3.4 Diferențierea unei funcții implicite

Definiție. O funcție se numește implicită dacă este dată de o ecuație care nu este rezolvabilă față de z.

Derivatele parțiale ale unei astfel de funcții se găsesc prin formulele:

Exemplul 49: Aflați derivatele parțiale ale funcției z date de ecuație .

Soluţie.

Definiție. O funcție se numește implicită dacă este dată de o ecuație care nu este rezolvabilă în raport cu y.

Derivata unei astfel de functii se gaseste prin formula:

.

Exemplul 50. Găsiți derivate ale acestor funcții.

5.1 Extremul local al unei funcții a mai multor variabile

Definiție 1. O funcție are un maxim în punctul dacă

Definiția 2. O funcție are un minim în punctul dacă pentru toate punctele suficient de apropiate de punct și diferite de acesta.

O condiție necesară pentru un extremum. Dacă o funcție atinge un extremum într-un punct, atunci derivatele parțiale ale funcției dispar sau nu există în acel punct.

Punctele în care derivatele parțiale dispar sau nu există sunt numite critice.

Un semn suficient de extremum. Fie ca funcția să fie definită într-o vecinătate a punctului critic și să aibă derivate parțiale continue de ordinul doi în acest punct

1) are un maxim local în punctul dacă și ;

2) are un minim local în punctul dacă și ;

3) nu are un extremum local în punctul dacă ;

Schema de cercetare asupra extremului unei funcții a două variabile.

1. Aflați derivatele parțiale ale funcțiilor: și.

2. Rezolvați sistemul de ecuații și găsiți punctele critice ale funcției.

3. Găsiți derivate parțiale de ordinul doi, calculați valorile acestora în punctele critice și, folosind o condiție suficientă, trageți o concluzie despre prezența extremelor.

4. Aflați extremele funcției.

Exemplul 51. Găsiți extremele unei funcții .

1) Să găsim derivatele parțiale.

2) Să rezolvăm sistemul de ecuații

4) Să găsim derivatele parțiale de ordinul doi și valorile lor în punctele critice: . În momentul în care obținem:

Aceasta înseamnă că nu există niciun extremum în acest punct. În momentul în care obținem:

Aceasta înseamnă că există un minim la punct.

5.2 Extremum global (cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției)

Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții de mai multe variabile, continue pe o mulțime închisă, se realizează fie la punctele extreme, fie la limita mulțimii.

Schema pentru găsirea valorilor mai mari și cele mai mici.

1) Găsiți punctele critice aflate în interiorul regiunii, calculați valoarea funcției în aceste puncte.

2) Investigați funcția la limita regiunii; dacă chenarul constă din mai multe linii diferite, atunci studiul trebuie efectuat pentru fiecare secțiune separat.

3) Comparați valorile funcției obținute și selectați cel mai mare și cel mai mic.

Exemplul 52. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții dintr-un dreptunghi.

Soluţie. 1) Să găsim punctele critice ale funcției, pentru aceasta vom găsi derivatele parțiale: , și vom rezolva sistemul de ecuații:

Am obținut un punct critic A. Punctul rezultat se află în interiorul regiunii date,

Limita regiunii este alcătuită din patru segmente: i. Să găsim cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe fiecare segment.

4) Să comparăm rezultatele obținute și să aflăm că la puncte .

Capitolul 6. Model de alegere a consumatorului

Vom presupune că există n bunuri diferite. Apoi vom desemna un anumit set de bunuri printr-un vector n-dimensional , unde este cantitatea produsului i-lea. Mulțimea tuturor mulțimilor de bunuri X se numește spațiu.

Alegerea unui consumator individual se caracterizează printr-o relație de preferință: se crede că consumatorul poate spune despre oricare două seturi care este mai de dorit sau nu vede diferența dintre ele. Relația de preferință este tranzitivă: dacă o mulțime este de preferat unei mulțimi și o mulțime este de preferat unei mulțimi, atunci mulțimea este de preferat unei mulțimi. Vom presupune că comportamentul consumatorului este complet descris de axioma consumatorului individual: fiecare consumator individual ia decizii cu privire la consum, cumpărături etc., pe baza sistemului său de preferințe.

6.1 Funcția de utilitate

O funcție este definită pe setul de seturi de consumatori X , a cărui valoare pe setul de consumator este egală cu evaluarea consumatorului individuală pentru acest set. Funcția se numește funcție de utilitate a consumatorului sau funcție de preferință a consumatorului. Acestea. Fiecare consumator are propria sa funcție de utilitate. Dar întregul set de consumatori poate fi împărțit în anumite clase de consumatori (după vârstă, starea proprietății etc.) și fiecărei clase i se poate atribui o anumită funcție de utilitate, poate mediată.

Astfel, funcția este o evaluare a consumatorului sau nivelul de satisfacție al nevoilor unui individ atunci când cumpără un anumit set. Dacă un set este de preferat unui set pentru un anumit individ, atunci .

Proprietățile funcției de utilitate.

1.

Primele derivate parțiale ale funcției de utilitate se numesc utilități marginale ale produselor. Din această proprietate rezultă că o creștere a consumului unui produs în timp ce consumul altor produse rămâne neschimbat duce la o creștere a evaluării consumatorului. Vector este gradientul funcției, arată direcția de creștere cea mai mare a funcției. Pentru o funcție, gradientul ei este un vector de utilități marginale ale produselor.

2.

Acestea. Utilitatea marginală a oricărui bun scade pe măsură ce consumul crește.

3.

Acestea. Utilitatea marginală a fiecărui produs crește pe măsură ce cantitatea celuilalt produs crește.

Unele tipuri de funcții utilitare.

1) Neoclasic: .

2) Cvadratic: , unde matricea este definită negativă și Pentru .

3) Funcția logaritmică: .

6.2 Linii de indiferență

În problemele aplicate și modelele de alegere a consumatorului, este adesea folosit un caz special al unui set de două bunuri, adică. când funcţia de utilitate depinde de două variabile. Linia indiferenței este o linie care leagă seturi de consumatori care au același nivel de satisfacție a nevoilor individului. În esență, liniile de indiferență sunt linii de nivel de funcție. Ecuațiile liniilor de indiferență: .

Proprietățile de bază ale liniilor de indiferență.

1. Liniile de indiferență corespunzătoare diferitelor niveluri de satisfacție a nevoilor nu se ating și nu se intersectează.

2. Liniile indiferenței scad.

3. Liniile de indiferență sunt convexe în jos.

Proprietatea 2 implică o egalitate aproximativă importantă.

Acest raport arată cât de mult ar trebui un individ să crească (scădea) consumul celui de-al doilea produs atunci când scade (mărește) consumul primului produs cu o unitate fără a modifica nivelul de satisfacție al nevoilor sale. Raportul se numește rata de înlocuire a primului produs cu al doilea, iar valoarea se numește rata marginală de înlocuire a primului produs cu al doilea.

Exemplul 53. Dacă utilitatea marginală a primului bun este 6, iar a doua este 2, atunci dacă consumul primului bun se reduce cu o unitate, consumul celui de-al doilea bun trebuie crescut cu 3 unități la același nivel. de satisfacere a nevoilor.

6.3 Stabilirea bugetului

Lăsa – vector de prețuri pentru o mulțime de n produse; I este venitul individului, pe care acesta este dispus să-l cheltuiască pentru achiziționarea unui set de produse. Setul de seturi de bunuri care costă nu mai mult decât I la prețuri date se numește mulțime bugetară B. Mai mult, setul de mulțimi care costă I se numește limita G a mulțimii bugetare B. Astfel. mulţimea B este mărginită de graniţa G şi de restricţii naturale.

Setul de buget este descris printr-un sistem de inegalități:

Pentru cazul unui set de două bunuri, setul bugetar B (Fig. 1) este un triunghi în sistemul de coordonate, limitat de axele de coordonate și de linia dreaptă.

6.4 Teoria cererii consumatorilor

În teoria consumului, se crede că consumatorul se străduiește întotdeauna să-și maximizeze utilitatea și singura limitare pentru el este venitul limitat I, pe care îl poate cheltui pentru achiziționarea unui set de bunuri. În general, problema alegerii consumatorului (problema comportamentului rațional al consumatorului pe piață) se formulează astfel: găsiți mulțimea consumatorului , care își maximizează funcția de utilitate sub o anumită constrângere bugetară. Modelul matematic al acestei probleme:

În cazul unui set de două produse:

Din punct de vedere geometric, soluția acestei probleme este punctul de tangență dintre limita setului bugetar G și linia de indiferență.

Soluția acestei probleme se rezumă la rezolvarea sistemului de ecuații:

(1)

Soluția acestui sistem este soluția la problema alegerii consumatorului.

Soluția la problema alegerii consumatorului se numește punctul de cerere. Acest punct de cerere depinde de prețuri și venituri, adică punctul de cerere este o funcție a cererii. La rândul său, funcția de cerere este un set de n funcții, fiecare dintre ele depinde de un argument:

Aceste funcții se numesc funcții de cerere pentru bunurile corespunzătoare.

Exemplul 54. Pentru o mulțime de două bunuri de pe piață, prețurile cunoscute pentru acestea și venitul I, găsiți funcțiile cererii dacă funcția de utilitate are forma .

Soluţie. Să diferențiem funcția de utilitate:

.

Să substituim expresiile rezultate în (1) și să obținem un sistem de ecuații:

În acest caz, cheltuiala pentru fiecare produs va fi jumătate din venitul consumatorului, iar cantitatea produsului achiziționat este egală cu suma cheltuită pe acesta împărțită la prețul produsului.

Exemplul 55. Fie funcția de utilitate pentru primul bun, al doilea,

prețul primului produs, prețul celui de-al doilea. Sursa de venit . Cât de mult ar trebui să cumpere un consumator pentru a maximiza utilitatea?

Soluţie. Să găsim derivatele funcțiilor de utilitate, să le substituim în sistemul (1) și să o rezolvăm:

Acest set de bunuri este optim pentru consumator din punctul de vedere al maximizarii utilitatii.

Testul trebuie finalizat în conformitate cu opțiunea selectată de ultima cifră a numărului caietului de note într-un caiet separat. Fiecare problemă trebuie să conțină o condiție, o soluție detaliată și o concluzie.

1. Introducere în analiza matematică

Sarcina 1. Găsiți domeniul de definire al funcției.

5.

Sarcina 2. Găsiți limitele funcțiilor.

.

Sarcina 3. Găsiți punctele de discontinuitate ale funcției și determinați tipul acestora.

1. 2. 3.

Capitolul 2. Calculul diferenţial al unei funcţii a unei variabile

Sarcina 4. Găsiți derivate ale acestor funcții.

1. a); b) c) y = ;

d) y = x 6 + + + 5; e) y = x tan x + ln sin x + e 3x ;

e) y = 2 x - arcsin x.

2. a) ; b) y = ; c) y = ; d) y = x 2 –+ 3; e) y = e cos; e) y = .

3. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

4. a) y = ; b) y = (e 5 x – 1) 6 ; c) y = ; d) y = ; e) y = x 8 ++ + 5; e) y = 3 x - arcsin x.

5. a) y = 2x 3 - + e x ; b) y = ; c) y = ;

d) y = ; e) y = 2 cos; e) y = .

6. a) y = lnx; b) y =; c) y = ln;

d) y = ; e) y = x 7 + + 1; e) y = 2.

7. a) ; b) y = ; c)y = ; d)y = x 2 + xsinx + ; e) y = e cos; e) y = .

8. a) y = ; b) y = (3 x – 4) 6 ; c) y = sing;

d) y = 3x 4 – – 9+ 9; e) y = ;

e)y = x 2 + arcsin x - x.

9. a); b) ; c) y = ; d) y = 5 sin 3 x ; e) y = x 3 – – 6+ 3; e) y = 4x 4 + ln.

10. a) b) y = ; c) y = (3 x – 4) 6; d) y = ; e)y = x 2 - x; e) y = e sin 3 x + 2.

Sarcina 5. Explorează funcția și construiește graficul acesteia.

1. a) b) c) .

2. a) b) V).

3. a) b) V).

4. b) V)

5. a) b) V).

6. a) b) V).

7. a) b) c) .

8. a) b) c) .

9. a) b) c) .

10. a) b) V).

Sarcina 6. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe un segment dat.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Capitolul 3. Calcul integral

Problema 7. Aflați integrale nedefinite.

1. a) b);

2. a) ;b) c) d) .

4. G)

5. a) ; b); V) ; G).

6. a) ; b); V); G)

7. a) ; b) ; V) ; G)

8. a) ; b); V) ; G).

9. a) ; b) c); G).

10. a) b) V) ; G).

Problema 8. Calculați integrale definite.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

Problema 9. Găsiți integrale improprii sau demonstrați că acestea diverg.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Problema 10. Aflați aria regiunii delimitate de curbe

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Capitolul 4. Calculul diferenţial al funcţiilor mai multor variabile.

Sarcina 11. Găsiți domeniul de definire al funcției (prezentat în desen).

Problema 12. Investigați continuitatea funcției la

Problema 13. Aflați derivata unei funcții date implicit.

Problema 14. Calculați aproximativ

1. a) ;b) ; V)

2. a) ; b) ; V) .

3. a) ; b) ; V).

4. a) ; b) ; V).

5. a); b) ; V).

6. a); b) ; V).

7. a); b) ; V).

8. a) ;b) ; V)

9. a) ; b) ; V) .

10. a) ;b) ; V)

Problema 15. Investigați funcția pentru extrema.

7. .

8. .

9. .

10. .

Problema 16. Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției într-o regiune închisă dată.

1. într-un dreptunghi

2.

3. într-un dreptunghi

4. în zona delimitată de o parabolă

Și axa x.

5. pătrat

6. într-un triunghi limitat de axele de coordonate şi de linia dreaptă

7. într-un triunghi limitat de axele de coordonate şi de linia dreaptă

8. într-un triunghi mărginit de axele de coordonate și de linia dreaptă

9. în zona delimitată de o parabolă

Și axa x.

10. în zona delimitată de o parabolă

Și axa x.

Principal

1. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Fundamentele matematicii și aplicarea ei în educația economică: Manual. – Ed. a IV-a, spaniolă. – M.: Delo, 2003.

2. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Matematică pentru specialităţi economice: Manual. – Ed. a IV-a, spaniolă. – M.: Delo, 2003.

3. M.S. Krass, B.P. Chuprynov. Matematică pentru licență economică. Manual. – Ed. a IV-a, spaniolă. – M.: Delo, 2005.

4. Matematică superioară pentru economiști. Manual pentru universități / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman; Ed. prof. N.Sh. Kremer, - ed. a 2-a, revizuită. si suplimentare – M: UNITATE, 2003.

5. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridman M.N.. Matematică superioară pentru specialitățile economice. Manual și Atelier (părțile I și II) / Ed. prof. N.Sh. Kremer, - ed. a 2-a, revizuită. si suplimentare – M: Învățământ superior, 2007. – 893 p. – (Fundamentele științelor)

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematică superioară în exerciții și probleme. M. Liceul. 1999.

Adiţional

1. I.I. Bavrin, V.L. Marinarii. Matematică superioară. „Centrul de Editură Umanitar Vlădos”, 2002.

2. I.A. Zaitsev. Matematică superioară. „Școala superioară”, 1998.

3. A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandra. Matematică în economie / în două părți/. M. Finanţe şi Statistică. 1999.