glava Oddelek za matematiko, Državna univerza Daljnega vzhoda

Sistemi iracionalnih, logaritemskih in eksponentnih enačb

Tradicionalno gradiva za kontrolne meritve za enotni državni izpit iz matematike vključujejo naloge, ki študentom omogočajo, da preizkusijo svojo sposobnost reševanja različnih sistemov enačb. Praviloma so to sistemi dveh enačb z dvema spremenljivkama. Enačbe, vključene v sistem, so lahko algebraične, vključno z iracionalnimi, ali transcendentalne. V tem članku bomo obravnavali glavne metode za reševanje sistemov z dvema spremenljivkama iracionalnih, logaritemskih in eksponentnih enačb.

Preden preidemo neposredno na metode za reševanje sistemov enačb, se spomnimo osnovnih definicij in lastnosti različnih funkcij, ki jih lahko vključimo v enačbe sistema.

Spomnimo se, da nastaneta dve enačbi z dvema neznankama sistem enačb, če je naloga najti takšne vrednosti spremenljivk, ki so rešitve vsake od enačb.

Sistemska rešitev dve enačbi z dvema neznankama se imenuje urejen par številk, ko jih nadomestimo v sistem namesto ustreznih spremenljivk, dobimo pravilne numerične enakosti.

Rešiti sistem enačb pomeni najti vse njegove rešitve.

Postopek reševanja sistema enačb je tako kot postopek reševanja enačbe sestavljen iz zaporednega prehoda z uporabo nekaterih transformacij iz danega sistema v enostavnejšega. Običajno se uporabljajo transformacije, ki vodijo do enakovrednega sistema; v tem primeru preverjanje najdenih rešitev ni potrebno. Če so bile uporabljene neenake transformacije, je preverjanje najdenih rešitev obvezno.

Neracionalno so enačbe, v katerih je spremenljivka pod predznakom korena ali pod predznakom operacije dvigovanja na ulomek.

Opozoriti je treba, da

1. Vsi koreni sode stopnje, vključeni v enačbe, so aritmetični. Z drugimi besedami, če je radikalni izraz negativen, potem je koren brez pomena; če je radikalni izraz enak nič, potem je tudi koren enak nič; Če je radikalni izraz pozitiven, je vrednost korena pozitivna.

2. Vsi lihi koreni, vključeni v enačbo, so definirani za katero koli realno vrednost radikalnega izraza. V tem primeru je koren negativen, če je radikalni izraz negativen; je enak nič, če je radikalni izraz enak nič; pozitiven, če je radikalni izraz pozitiven.

Funkcije l = https://pandia.ru/text/78/063/images/image002_247.gif" width="37" height="24 src="> narašča v svoji domeni definicije.

Pri reševanju sistemov iracionalnih enačb se uporabljata dve glavni metodi: 1) dvig obeh strani enačb na isto moč; 2) uvedba novih spremenljivk.

Pri reševanju sistemov iracionalnih enačb po prvi metodi je treba zapomniti, da pri dvigu obeh strani enačbe, ki vsebuje korenine sode stopnje, na isto stopnjo dobimo enačbo, ki je posledica prvotne; zato tuje med postopkom reševanja se lahko pojavijo korenine. gif" width="161" height="61">

rešitev. Da se znebimo iracionalnosti, uvajamo nove spremenljivke. Naj ……………………… (1),

potem bo začetni sistem dobil obliko: ..gif" width="92" height="59">. S kvadriranjem obeh strani prve enačbe in druge na četrto potenco dobimo sistem: , od koder najti:

Preprosto je preveriti, da je najdena rešitev za zadnji sistem rešitev za izvirni sistem.

Odgovor: (6; 5)

Primer 2. Reši sistem enačb

rešitev. 1..gif" width="51" height="27">.gif" width="140" height="27 src=">…………………………..(2). Vstavimo novo spremenljivko: postavimo ………………….(3) in jo nadomestimo v enačbo (2), iz spremenljivke dobimo kvadratno enačbo: ..gif" width="56" height="23 src ="> je tuje, saj so označevali aritmetični koren..gif" width="84 height=27" height="27">. Kvadratirajmo obe strani enačbe in izrazimo: .

Zamenjajmo dobljeni izraz v drugo enačbo izvirnega sistema: https://pandia.ru/text/78/063/images/image026_45.gif" width="147" height="24 src=">. Dvignimo obe strani dobljene enačbe na kvadrat, in da ne bi razširili obsega dovoljenih vrednosti dobljene enačbe, zahtevamo, da https://pandia.ru/text/78/063/images/image028_36.gif" width="297" height="24 src="> .gif" width="65" height="23 src=">.gif" width="56" height="41 src="> je tuje.

Poiščimo vrednost pri na: https://pandia.ru/text/78/063/images/image034_32.gif" width="199" height="59 src=">

rešitev. 1. Upoštevajte, da mora biti desna stran prve enačbe nenegativna, tj..gif" width="225" height="24">..gif" width="48" height="21">. Zamenjajmo jih v drugo enačbo in poiščimo vrednosti spremenljivke:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image041_28.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20 src=">, par (10; 5) ni rešitev prvotnega sistema.

https://pandia.ru/text/78/063/images/image044_23.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20">. Preprosto je preveriti, ali je najdeni par števil rešitev prvotnega sistema.

Odgovor: (-10; -5)

Za uspešno reševanje eksponentnih in logaritemskih sistemov enačb si opomnimo definicijo in lastnosti logaritma.

Logaritem številabosnova a je eksponent, na katerega je treba dvigniti število a, da dobimo številob.

Osnovne lastnosti logaritmov:

1) https://pandia.ru/text/78/063/images/image047_24.gif" width="125" height="25">;

2) https://pandia.ru/text/78/063/images/image049_23.gif" width="120" height="41">;

3) https://pandia.ru/text/78/063/images/image051_23.gif" width="99 height=45" height="45">.

4) https://pandia.ru/text/78/063/images/image053_22.gif" width="93" height="24 src=">; 9)

5) https://pandia.ru/text/78/063/images/image056_20.gif" width="53" height="24 src=">;

Naštejmo glavne lastnosti eksponentnih in logaritemskih funkcij:

1) Domena definicije funkcije, kjer je celotna množica realnih števil; funkcije https://pandia.ru/text/78/063/images/image058_21.gif" width="77" height="21 src="> - niz pozitivnih realnih števil.

2) Množica funkcijskih vrednosti je množica pozitivnih realnih števil; funkcije https://pandia.ru/text/78/063/images/image060_20.gif" width="35" height="19">obe funkciji se povečata; če - obe funkciji se zmanjšata.

Komentiraj. V skladu z drugo lastnostjo je pri reševanju logaritemskih enačb potrebno bodisi ugotoviti obseg dovoljenih vrednosti enačbe bodisi po rešitvi opraviti preverjanje.

Eksponentna enačba je transcendentna enačba, v kateri je neznanka vključena v eksponent nekaterih količin. Pri reševanju eksponentnih enačb se uporabljata dve glavni metodi:

1) prehod iz enačbe ……….(1) v enačbo ;

2) uvedba novih spremenljivk.

Včasih morate uporabiti umetne tehnike.

Prva metoda za reševanje eksponentnih enačb temelji na naslednjem izreku:

če, potem enačba je enakovredna enačbi .

Naštejmo glavne tehnike redukcije eksponentne enačbe na enačbo oblike (1).

1. Reduciranje obeh strani enačbe na isto osnovo.

2. Logaritmirajte obe strani enačbe (če sta strogo pozitivni) z uporabo iste osnove.

Komentiraj. Na splošno lahko vzamete logaritem v kateri koli bazi, vendar običajno vzamete logaritem v eni od osnov potenc, vključenih v enačbo.

3. Faktoriziranje leve strani enačbe in redukcija enačbe na množico več enačb oblike (1).

Logaritemska enačba je transcendentna enačba, v kateri je neznanka vključena v argument logaritma.

Pri reševanju logaritemskih enačb se uporabljata dve glavni metodi:

1) prehod iz enačbe na enačbo oblike;

2) uvedba novih spremenljivk.

Komentiraj. Ker je domena definicije logaritemske funkcije le niz pozitivnih realnih števil, je pri reševanju logaritemskih enačb potrebno najti domeno dovoljenih vrednosti enačbe (ADV) ali po iskanju rešitev enačbe do opravi pregled.

Reševanje najenostavnejše logaritemske enačbe oblike

https://pandia.ru/text/78/063/images/image066_13.gif" width="43" height="21 src="> - edini koren.

Za enačbo oblike https://pandia.ru/text/78/063/images/image068_13.gif" width="65" height="24">.

Primer 4. Poiščite vrednost izraza, če je par rešitev sistema enačb https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">.

2. Ker enačbe sistema vsebujejo logaritme v dveh različnih bazah, pojdimo na eno bazo 3: ..gif" width="65" height="93">..gif" width="41 height=21" height="21">, sklepamo, da gre za tuj koren. Iz prve enačbe zadnjega sistema najdemo vrednost na: https://pandia.ru/text/78/063/images/image082_11.gif" width="131 height=21" height="21">

Primer 5. Poiščite največjo vsoto, če je par rešitev sistema enačb https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> iz druge enačbe sistema: ..gif" width="161" height="21">. Dobili smo eksponentno enačbo za eno spremenljivko.

Uporabimo lastnosti stopnje: . Enačba vključuje potence z dvema različnima osnovama. Standardna tehnika za premik na eno osnovo je deljenje obeh strani enačbe z eno od potenc z največjim eksponentom..gif" width="164" height="49">. Standardna metoda za reševanje te vrste eksponenta enačba je spremeniti spremenljivko. Pustimo (upoštevajte, da mora biti vrednost nove spremenljivke na podlagi lastnosti eksponentne funkcije pozitivna), potem dobimo enačbo https://pandia.ru/text/78/063/ images/image092_10.gif" width="41" height="41">; . Rešimo niz dveh enačb: . Dobimo: ; .

Iz enačbe https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17">:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image097_11.gif" width="68" height="41 src=">.gif" width="67" height="23 src=">. Tako pari in https://pandia.ru/text/78/063/images/image083_11.gif" width="37" height="19 src="> in izberite največjega, ki je očitno enak 3.

Oglejmo si nekaj primerov "kombiniranih" sistemov enačb, ki vključujejo enačbe različnih vrst: iracionalne, logaritemske, eksponentne.

Primer 6. Rešite sistem enačb https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">,

2. Transformirajte sistem z uporabo lastnosti stopnje in logaritma:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image104_9.gif" width="69" height="24 src="> (1), potem bo druga enačba sistema imela obliko: Naj bo reši to delno racionalno enačbo ob upoštevanju, da . Dobimo: ; https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> skozi .

Ko https://pandia.ru/text/78/063/images/image109_8.gif" width="77" height="24 src=">.gif" width="104" height="24 src="> . Rešimo to enačbo: ker mora biti pozitivna, je to tuja korenina; https://pandia.ru/text/78/063/images/image110_8.gif" width="49 height=41" height="41">, dobimo .

Ko https://pandia.ru/text/78/063/images/image115_7.gif" width="65" height="24 src=">.gif" width="116" height="24 src="> . Ugotovili smo že, da je torej lahko samo drugi faktor produkta enak nič: https://pandia.ru/text/78/063/images/image120_7.gif" width="85" height="28 ">. Očitno je tuja korenina. Posledično je druga rešitev sistema par .

Med študijem algebre se šolarji srečujejo s številnimi vrstami enačb. Med najenostavnejšimi so linearni, ki vsebujejo eno neznanko. Če spremenljivko v matematičnem izrazu dvignemo na določeno potenco, se enačba imenuje kvadratna, kubična, bikvadratna itd. Ti izrazi lahko vsebujejo racionalna števila. Obstajajo pa tudi iracionalne enačbe. Od drugih se razlikujejo po prisotnosti funkcije, kjer je neznanka pod radikalnim znakom (to je, čisto navzven, spremenljivko tukaj lahko vidimo zapisano pod kvadratnim korenom). Reševanje iracionalnih enačb ima svoje značilnosti. Pri izračunu vrednosti spremenljivke, da bi dobili pravilen odgovor, jih je treba upoštevati.

"Neizrekljivo z besedami"

Nobena skrivnost ni, da so stari matematiki operirali predvsem z racionalnimi števili. Sem spadajo, kot je znano, cela števila, izražena z navadnimi in decimalnimi periodičnimi ulomki, predstavniki dane skupnosti. Vendar pa so se znanstveniki Bližnjega in Bližnjega vzhoda ter Indije, ki so razvijali trigonometrijo, astronomijo in algebro, naučili reševati tudi iracionalne enačbe. Grki so na primer poznali podobne količine, vendar so, če so jih postavili v besedno obliko, uporabili pojem "alogos", kar je pomenilo "neizrekljivo". Nekoliko kasneje so Evropejci, ki so jih posnemali, takšne številke imenovali "gluhi". Od vseh drugih se razlikujejo po tem, da jih je mogoče predstaviti le v obliki neskončnega neperiodičnega ulomka, katerega končnega numeričnega izraza je preprosto nemogoče dobiti. Zato so takšni predstavniki kraljestva števil pogosteje zapisani v obliki številk in znakov kot izraz, ki se nahaja pod korenom druge ali višje stopnje.

Na podlagi zgoraj navedenega poskusimo definirati iracionalno enačbo. Takšni izrazi vsebujejo tako imenovana "neizrazljiva števila", zapisana z znakom kvadratnega korena. Lahko so vse vrste precej zapletenih možnosti, vendar v najpreprostejši obliki izgledajo kot na spodnji fotografiji.

Ko začnete reševati iracionalne enačbe, je najprej treba izračunati obseg dovoljenih vrednosti spremenljivke.

Je izraz smiseln?

Potreba po preverjanju pridobljenih vrednosti izhaja iz lastnosti.Kot je znano, je tak izraz sprejemljiv in ima kakršen koli pomen le pod določenimi pogoji. V primerih korenov sodih stopenj morajo biti vsi radikalni izrazi pozitivni ali enaki nič. Če ta pogoj ni izpolnjen, se predstavljeni matematični zapis ne more šteti za smiselnega.

Dajmo konkreten primer reševanja iracionalnih enačb (na sliki spodaj).

V tem primeru je očitno, da podani pogoji ne morejo biti izpolnjeni za nobeno vrednost, ki jo sprejema želena vrednost, saj se izkaže, da je 11 ≤ x ≤ 4. To pomeni, da je rešitev lahko samo Ø.

Metoda analize

Iz zgoraj navedenega postane jasno, kako rešiti nekatere vrste iracionalnih enačb. Tukaj je preprosta analiza lahko učinkovit način.

Naj navedemo nekaj primerov, ki bodo to ponovno jasno pokazali (na sliki spodaj).

V prvem primeru se ob natančnem pregledu izraza takoj izkaže, da je izjemno jasno, da ne more biti res. Dejansko bi morala leva stran enakosti dati pozitivno število, ki nikakor ne more biti enako -1.

V drugem primeru lahko vsoto dveh pozitivnih izrazov štejemo za enako nič le, če sta x - 3 = 0 in x + 3 = 0 hkrati. In to je spet nemogoče. In to pomeni, da bi moral odgovor spet pisati Ø.

Tretji primer je zelo podoben prejšnjemu. Dejansko tukaj pogoji ODZ zahtevajo, da je izpolnjena naslednja absurdna neenakost: 5 ≤ x ≤ 2. In taka enačba na enak način ne more imeti smiselnih rešitev.

Neomejen zoom

Naravo iracionalnega je mogoče najbolj jasno in popolno razložiti in spoznati le skozi neskončno vrsto decimalnih števil. Poseben, osupljiv primer članov te družine je pi. Ni brez razloga, da je bila ta matematična konstanta znana že od antičnih časov, saj se je uporabljala pri izračunu obsega in površine kroga. Med Evropejci pa sta jo prva uveljavila Anglež William Jones in Švicar Leonard Euler.

Ta konstanta nastane na naslednji način. Če primerjamo kroge različnih obsegov, je razmerje med njihovimi dolžinami in premeri nujno enako številu. To je pi. Če ga izrazimo z navadnim ulomkom, dobimo približno 22/7. To je prvi naredil veliki Arhimed, katerega portret je prikazan na zgornji sliki. Zato je taka številka dobila njegovo ime. Toda to ni eksplicitna, ampak približna vrednost morda najbolj neverjetne številke. Genialni znanstvenik je našel želeno vrednost z natančnostjo 0,02, a v resnici ta konstanta nima pravega pomena, ampak je izražena kot 3,1415926535... Je neskončen niz števil, ki se v nedogled približujejo neki mitični vrednosti.

Kvadratura

Toda vrnimo se k iracionalnim enačbam. Da bi našli neznano, se v tem primeru zelo pogosto zatečejo k preprosti metodi: kvadriranju obeh strani obstoječe enakosti. Ta metoda običajno daje dobre rezultate. Vendar je treba upoštevati zahrbtnost iracionalnih količin. Vse korenine, pridobljene zaradi tega, je treba preveriti, ker morda niso primerne.

Toda nadaljujmo z ogledom primerov in poskusimo poiskati spremenljivke z novo predlagano metodo.

Sploh ni težko z uporabo Vietovega izreka najti želene vrednosti količin, potem ko smo kot rezultat določenih operacij oblikovali kvadratno enačbo. Tukaj se izkaže, da bo med koreninami 2 in -19. Vendar pa se pri preverjanju in zamenjavi dobljenih vrednosti v izvirni izraz lahko prepričate, da nobena od teh korenin ni primerna. To je pogost pojav v iracionalnih enačbah. To pomeni, da naša dilema spet nima rešitve, odgovor pa bi moral kazati prazno množico.

Bolj zapleteni primeri

V nekaterih primerih je treba obe strani izraza kvadrirati ne enkrat, ampak večkrat. Oglejmo si primere, kjer je to potrebno. Vidite jih lahko spodaj.

Ko prejmete korenine, jih ne pozabite preveriti, ker se lahko pojavijo dodatni. Treba je pojasniti, zakaj je to mogoče. Pri uporabi te metode je enačba nekoliko racionalizirana. Toda s tem, ko se znebimo korenin, ki nam niso všeč in nam onemogočajo izvajanje aritmetičnih operacij, se zdi, da širimo obstoječo paleto pomenov, kar je (kot lahko razumemo) polno posledic. V pričakovanju tega izvedemo pregled. V tem primeru obstaja možnost, da se prepričate, da je samo ena od korenin primerna: x = 0.

Sistemi

Kaj storiti v primerih, ko moramo rešiti sisteme iracionalnih enačb, pa nimamo ene, ampak dve neznanki? Tukaj ravnamo na enak način kot v običajnih primerih, vendar ob upoštevanju zgornjih lastnosti teh matematičnih izrazov. In pri vsaki novi nalogi je seveda treba uporabiti kreativen pristop. Toda spet je bolje razmisliti o vsem z uporabo posebnega primera, predstavljenega spodaj. Tukaj ne morate samo najti spremenljivk x in y, ampak v odgovoru navesti tudi njuno vsoto. Torej obstaja sistem, ki vsebuje iracionalne količine (glej sliko spodaj).

Kot lahko vidite, taka naloga ne predstavlja nič nadnaravno težkega. Samo pameten moraš biti in uganiti, da je leva stran prve enačbe kvadrat vsote. Podobne naloge najdemo na Enotnem državnem izpitu.

Iracionalno v matematiki

Vsakokrat se je med človeštvom pojavila potreba po ustvarjanju novih vrst števil, ko ni imelo dovolj »prostora« za reševanje nekaterih enačb. Iracionalna števila niso izjema. Kot pričajo dejstva iz zgodovine, so na to prvi pozorni veliki modreci že pred našim štetjem, v 7. stoletju. To je naredil matematik iz Indije, znan kot Manava. Jasno je razumel, da je iz nekaterih naravnih števil nemogoče izluščiti koren. Na primer, to vključuje 2; 17 ali 61, pa tudi mnogi drugi.

Eden od pitagorejcev, mislec po imenu Hipas, je prišel do istega zaključka, ko je poskušal narediti izračune z uporabo numeričnih izrazov stranic pentagrama. Z odkritjem matematičnih elementov, ki jih ni mogoče izraziti v številskih vrednostih in nimajo lastnosti običajnih števil, je tako razjezil svoje kolege, da ga je čez ladjo vrglo v morje. Dejstvo je, da so drugi pitagorejci njegovo razmišljanje imeli za upor proti zakonom vesolja.

Znamenje radikala: evolucija

Korenski znak za izražanje numerične vrednosti "gluhih" števil se ni takoj začel uporabljati pri reševanju iracionalnih neenakosti in enačb. Evropski, zlasti italijanski, matematiki so o radikalnosti začeli razmišljati okoli 13. stoletja. Hkrati so prišli na idejo, da bi za označevanje uporabili latinsko R. Toda nemški matematiki so v svojih delih ravnali drugače. Bolj jim je bila všeč črka V. V Nemčiji se je kmalu razširila oznaka V(2), V(3), ki naj bi izražala kvadratni koren iz 2, 3 itd. Kasneje so posegli Nizozemci in spremenili znak radikala. In Rene Descartes je dokončal razvoj, tako da je znak kvadratnega korena pripeljal do sodobne popolnosti.

Znebiti se iracionalnega

Iracionalne enačbe in neenakosti lahko vključujejo spremenljivko ne le pod znakom kvadratnega korena. Lahko je katere koli stopnje. Najpogostejši način, da se ga znebite, je dvig obeh strani enačbe na ustrezno potenco. To je glavno dejanje, ki pomaga pri operacijah z iracionalnim. Dejanja v sodih primerih se ne razlikujejo posebej od tistih, o katerih smo že govorili prej. Tu je treba upoštevati pogoje za nenegativnost radikalnega izraza, na koncu rešitve pa je potrebno filtrirati tuje vrednosti spremenljivk na enak način, kot je bilo prikazano v že obravnavanih primerih .

Med dodatnimi transformacijami, ki pomagajo pri iskanju pravilnega odgovora, se pogosto uporablja množenje izraza z njegovim konjugatom, pogosto pa je treba vnesti tudi novo spremenljivko, ki olajša rešitev. V nekaterih primerih je za iskanje vrednosti neznank priporočljivo uporabiti grafe.

Metode reševanja iracionalnih enačb.

Predhodna priprava na lekcijo: Učenci bi morali biti sposobni reševati iracionalne enačbe na različne načine.

Tri tedne pred to lekcijo učenci dobijo domačo nalogo številka 1: rešiti različne iracionalne enačbe. (Učenci samostojno poiščejo 6 različnih iracionalnih enačb in jih rešijo v parih.)

En teden pred to lekcijo dobijo učenci domačo nalogo št. 2, ki jo opravijo individualno.

1. Reši enačborazlične poti.

2. Ocenite prednosti in slabosti posamezne metode.

3. Ugotovitve zapiši v obliki tabele.

№ p/p	Pot	Prednosti	Napake

Cilji lekcije:

Izobraževalni:posploševanje znanja učencev o tej temi, prikaz različnih metod reševanja iracionalnih enačb, sposobnost učencev pristopiti k reševanju enačb z raziskovalnega vidika.

Izobraževalni:spodbujanje samostojnosti, sposobnost poslušanja drugih in komuniciranja v skupini, povečanje zanimanja za predmet.

Razvojni:razvoj logičnega mišljenja, algoritemske kulture, sposobnosti samoizobraževanja, samoorganizacije, dela v paru pri domačih nalogah, sposobnosti analiziranja, primerjanja, posploševanja in sklepanja.

Oprema: računalnik, projektor, zaslon, tabela "Pravila za reševanje iracionalnih enačb", plakat s citatom M.V. Lomonosov »Matematiko je treba učiti samo takrat, ker spravlja um v red«, karte.

Pravila za reševanje iracionalnih enačb.

Vrsta lekcije: lekcija-seminar (delo v skupinah po 5-6 ljudi, vsaka skupina mora imeti močne študente).

Med poukom

jaz . Organiziranje časa

(Sporočilo o temi in ciljih lekcije)

II . Predstavitev raziskovalnega dela “Metode reševanja iracionalnih enačb”

(Delo predstavi učenec, ki ga je naredil.)

III . Analiza metod za reševanje domačih nalog

(En učenec iz vsake skupine na tablo zapiše predlagane metode reševanja. Vsaka skupina analizira eno od metod reševanja, oceni prednosti in slabosti ter sklepa. Učenci v skupinah po potrebi dodajajo. Analiza in zaključki skupine se ocenjujejo. Odgovori morajo biti jasni in popolni.)

Prva metoda: povišanje obeh strani enačbe na enako potenco in nato preverjanje.

rešitev.

Ponovno kvadrirajmo obe strani enačbe:

Od tod

Pregled:

1. Čex=42 potem, kar pomeni število42 ni koren enačbe.

2. Čex=2, torej, kar pomeni število2 je koren enačbe.

odgovor:2.

№ p/p	Pot	Prednosti	Napake
	Dvig obeh strani enačbe na enako potenco	1. Vidim. 2. Na voljo.	1. Besedni zapis. 2. Težko preverjanje.

Zaključek. Pri reševanju iracionalnih enačb z dvigovanjem obeh strani enačbe na enako potenco je potrebno voditi ustni zapis, ki naredi rešitev razumljivo in dostopno. Vendar je obvezno preverjanje včasih zapleteno in dolgotrajno. To metodo je mogoče uporabiti za reševanje preprostih iracionalnih enačb, ki vsebujejo 1-2 radikala.

Druga metoda: ekvivalentne transformacije.

rešitev:Kvadrirajmo obe strani enačbe:

odgovor:2.

№ p/p	Pot	Prednosti	Napake
	Ekvivalentne transformacije	1. Pomanjkanje besednega opisa. 2. Brez preverjanja. 3. Jasen logični zapis. 4. Zaporedje enakovrednih prehodov.	1. Okorno snemanje. 2. Pri kombiniranju znakov sistema in niza lahko naredite napako.

Zaključek. Pri reševanju iracionalnih enačb z metodo ekvivalentnih prehodov morate jasno vedeti, kdaj postaviti znak sistema in kdaj znak agregata. Okornost zapisa in različne kombinacije sistemskih in kombinacijskih simbolov pogosto vodijo do napak. Toda zaporedje enakovrednih prehodov, jasen logični zapis brez besednega opisa, ki ne zahteva preverjanja, so nesporne prednosti te metode.

Tretja metoda: funkcijsko-grafična.

rešitev.

Poglejmo funkcijein.

1. Funkcijaumirjeno; se povečuje, saj eksponent je pozitivno (ne celo) število.

D(f).

Ustvarimo tabelo vrednostixinf( x).

	1,5		3,5
f(x)

2. Funkcijaumirjeno; se zmanjšuje.

Poiščimo domeno definicije funkcijeD( g).

Ustvarimo tabelo vrednostixing( x).

g(x)

Konstruirajmo te funkcijske grafe v enem koordinatnem sistemu.

Grafa funkcij se sekata na abscisiKer funkcijof( x) poveča in funkcijag( x) zmanjša, potem bo enačba samo ena rešitev.

odgovor: 2.

№p/p	Pot	Prednosti	Napake
	Funkcionalno-grafični	1. Vidnost. 2. Ni potrebe po kompleksnih algebrskih transformacijah in spremljanju ODZ. 3. Omogoča iskanje števila rešitev.	1. besedni zapis. 2. Točnega odgovora ni vedno mogoče najti, in če je odgovor točen, je potrebno preverjanje.

Zaključek. Funkcionalno-grafična metoda je vizualna in vam omogoča, da najdete število rešitev, vendar jo je bolje uporabiti, ko lahko preprosto zgradite grafe obravnavanih funkcij in dobite natančen odgovor. Če je odgovor približen, potem je bolje uporabiti drugo metodo.

Četrta metoda: uvedba nove spremenljivke.

rešitev.Uvedimo nove spremenljivke, ki označujejoDobimo prvo enačbo sistema

Ustvarimo drugo enačbo sistema.

Za spremenljivko:

Za spremenljivko

Zato

Dobimo sistem dveh racionalnih enačb glede nain

Vrnitev k spremenljivki, dobimo

Predstavljamo novo spremenljivko

Poenostavitev - pridobitev sistema enačb, ki ne vsebuje radikalov

1. Potreba po sledenju DID novih spremenljivk

2. Potreba po vrnitvi na prvotno spremenljivko

Zaključek. Ta metoda se najbolje uporablja za iracionalne enačbe, ki vsebujejo radikale različnih stopenj ali enake polinome pod predznakom korena in za predznakom korena ali recipročne izraze pod predznakom korena.

- Torej, fantje, za vsako iracionalno enačbo morate izbrati najprimernejši način za rešitev: razumljiv. Dostopno, logično in kompetentno zasnovano. Dvignite roko, kateri od vas bi raje:

1) metoda dvigovanja obeh strani enačbe na isto potenco s preverjanjem;

2) metoda ekvivalentnih transformacij;

3) funkcijsko-grafična metoda;

4) način uvajanja nove spremenljivke.

IV . Praktični del

(Delo v skupinah. Vsaka skupina učencev prejme kartonček z enačbo in jo rešuje v zvezkih. Pri tem en predstavnik skupine rešuje primer na tabli. Učenci vsake skupine rešujejo enak primer kot član svojo skupino in spremljajo pravilno izvajanje nalog na tabli.Če tisti, ki odgovarja na tabli, dela napake, potem tisti, ki jih opazi, dvigne roko in jih pomaga popraviti.Pri pouku je vsak učenec poleg rešenega primera njegova skupina, druge predlagane skupine mora zapisati v zvezek in jih rešiti doma.)

1. skupina.

2. skupina.

3. skupina.

V . Samostojno delo

(V skupinah najprej poteka pogovor, nato pa učenci začnejo reševati nalogo. Na ekranu se izpiše pravilna rešitev, ki jo pripravi učitelj.)

VI . Povzetek lekcije

Zdaj veste, da za reševanje iracionalnih enačb potrebujete dobro teoretično znanje, sposobnost, da jih uporabite v praksi, pozornost, trdo delo in inteligenco.

Domača naloga

Rešite enačbe, ki jih dobijo skupine med lekcijo.