Definiția 1

Produs scalar vectori se numește număr egal cu produsul dintre dinele acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei.

Notația pentru produsul vectorilor a → și b → are forma a → , b → . Să facem conversia la formula:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → și b → indică lungimile vectorilor, a → , b → ^ indică unghiul dintre vectorii dați. Dacă cel puțin un vector este zero, adică are valoarea 0, atunci rezultatul va fi zero, a → , b → = 0

Când înmulțim un vector cu el însuși, obținem pătratul dinei sale:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definiția 2

Înmulțirea scalară a unui vector în sine se numește pătrat scalar.

Se calculează după formula:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Scrierea a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n p a → b → = b → n p b → a → arată că n p b → a → este o proiecție numerică a lui a → pe b → , n p a → a → - proiecția lui b → pe a → respectiv.

Formulăm definiția produsului pentru doi vectori:

Produsul scalar a doi vectori a → prin b → se numește produsul lungimii vectorului a → prin proiecția lui b → după direcția a → sau produsul lungimii lui b → prin proiecția lui a →, respectiv.

Punctează produsul în coordonate

Calculul produsului scalar se poate face prin coordonatele vectorilor dintr-un plan dat sau din spatiu.

Produsul scalar a doi vectori pe un plan, în spațiul tridimensional, se numește suma coordonatelor vectorilor dați a → și b → .

Când se calculează pe planul produsului scalar al vectorilor dați a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) în sistemul cartezian, utilizați:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

pentru spațiul tridimensional, se aplică expresia:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

De fapt, aceasta este a treia definiție a produsului punctual.

Să demonstrăm.

Dovada 1

Pentru a o demonstra, folosim a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y pentru vectorii a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) pe sistem cartezian.

Vectorii ar trebui amânați

O A → = a → = a x , a y și O B → = b → = b x , b y .

Atunci lungimea vectorului A B → va fi egală cu A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Considerăm un triunghi O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) este adevărată, pe baza teoremei cosinusului.

Prin condiție, se poate observa că O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , deci scriem diferit formula pentru găsirea unghiului dintre vectori

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Apoi din prima definiție rezultă că b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , deci (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Aplicând formula pentru calcularea lungimii vectorilor, obținem:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Să demonstrăm egalitățile:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– respectiv pentru vectori ai spaţiului tridimensional.

Produsul scalar al vectorilor cu coordonate spune că pătratul scalar al unui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor sale în spațiu și, respectiv, pe plan. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) și (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Produsul punctat și proprietățile sale

Există proprietăți de produs punctual care se aplică pentru a → , b → și c → :

1. comutativitatea (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivitatea (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. proprietate asociativă (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - orice număr;
4. pătratul scalar este întotdeauna mai mare decât zero (a → , a →) ≥ 0 , unde (a → , a →) = 0 când a → zero.

Exemplul 1

Proprietățile sunt explicate prin definiția produsului scalar în plan și prin proprietățile de adunare și înmulțire a numerelor reale.

Demonstrați proprietatea comutativității (a → , b →) = (b → , a →) . Din definiție avem că (a → , b →) = a y b y + a y b y și (b → , a →) = b x a x + b y a y .

Prin proprietatea comutativității, egalitățile a x · b x = b x · a x și a y · b y = b y · a y sunt adevărate, deci a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Rezultă că (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Distributivitatea este valabilă pentru orice numere:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

și (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

deci avem

(a (1) → + a (2) → +... + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Produs punctat cu exemple și soluții

Orice problemă a unui astfel de plan este rezolvată folosind proprietățile și formulele referitoare la produsul scalar:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y sau (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Să ne uităm la câteva exemple de soluții.

Exemplul 2

Lungimea lui a → este 3, lungimea lui b → este 7. Aflați produsul scalar dacă unghiul are 60 de grade.

Decizie

După condiție, avem toate datele, așa că calculăm prin formula:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Răspuns: (a → , b →) = 21 2 .

Exemplul 3

Dați vectori a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Care este produsul scalar.

Decizie

În acest exemplu, se ia în considerare formula pentru calcularea coordonatelor, deoarece acestea sunt specificate în declarația problemei:

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Răspuns: (a → , b →) = - 9

Exemplul 4

Aflați produsul interior al lui A B → și A C → . Punctele A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) sunt date pe planul de coordonate.

Decizie

Pentru început, coordonatele vectorilor sunt calculate, deoarece coordonatele punctelor sunt date de condiția:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Înlocuind în formulă folosind coordonatele, obținem:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Răspuns: (A B → , A C →) = 28 .

Exemplul 5

Dați vectorii a → = 7 m → + 3 n → și b → = 5 m → + 8 n → , găsiți produsul lor. m → este egal cu 3 și n → este egal cu 2 unități, acestea sunt perpendiculare.

Decizie

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Aplicând proprietatea distributivă, obținem:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Luăm coeficientul în afara semnului produsului și obținem:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Prin proprietatea comutativității, transformăm:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Ca rezultat, obținem:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

Acum aplicăm formula pentru produsul scalar cu unghiul specificat de condiția:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Răspuns: (a → , b →) = 411

Dacă există o proiecție numerică.

Exemplul 6

Aflați produsul interior al lui a → și b → . Vectorul a → are coordonatele a → = (9 , 3 , - 3) , proiecția b → are coordonatele (- 3 , - 1 , 1) .

Decizie

Prin condiție, vectorii a → și proiecția b → sunt direcționați invers, deoarece a → = - 1 3 n p a → b → → , deci proiecția b → corespunde lungimii n p a → b → → , iar cu „-” semn:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Înlocuind în formulă, obținem expresia:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Răspuns: (a → , b →) = - 33 .

Probleme cu un produs scalar cunoscut, unde este necesar să se găsească lungimea unui vector sau a unei proiecții numerice.

Exemplul 7

Ce valoare ar trebui să ia λ pentru un produs scalar dat a → \u003d (1, 0, λ + 1) și b → \u003d (λ, 1, λ) va fi egală cu -1.

Decizie

Din formula se poate observa că este necesar să se găsească suma produselor coordonatelor:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

În dat avem (a → , b →) = - 1 .

Pentru a găsi λ, calculăm ecuația:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , deci λ = - 1 .

Răspuns: λ = - 1 .

Semnificația fizică a produsului scalar

Mecanica ia în considerare aplicarea produsului punctual.

Când lucrați A cu o forță constantă F → un corp în mișcare din punctul M în N, puteți găsi produsul lungimilor vectorilor F → și M N → cu cosinusul unghiului dintre ei, ceea ce înseamnă că munca este egală. la produsul vectorilor forță și deplasare:

A = (F → , M N →) .

Exemplul 8

Deplasarea unui punct material cu 3 metri sub acțiunea unei forțe egale cu 5 Nton este îndreptată la un unghi de 45 de grade față de axă. Gaseste un .

Decizie

Deoarece munca este produsul dintre vectorul forță și deplasarea, atunci, pe baza condiției F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , obținem A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Răspuns: A = 15 2 2 .

Exemplul 9

Punctul material, deplasându-se de la M (2, - 1, - 3) la N (5, 3 λ - 2, 4) sub forța F → = (3, 1, 2), a lucrat egal cu 13 J. Calculați lungimea mișcării.

Decizie

Pentru coordonatele date ale vectorului M N → avem M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Prin formula pentru găsirea muncii cu vectorii F → = (3 , 1 , 2) și M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) obținem A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

Prin condiție, se dă că A \u003d 13 J, ceea ce înseamnă 22 + 3 λ \u003d 13. Aceasta implică λ = - 3 , deci M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

Pentru a găsi lungimea călătoriei M N → , aplicăm formula și înlocuim valorile:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Răspuns: 158 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Lectura: Coordonate vectoriale; produsul scalar al vectorilor; unghiul dintre vectori

Coordonatele vectoriale

Deci, așa cum am menționat mai devreme, un vector este un segment direcționat care are propriul său început și sfârșit. Dacă începutul și sfârșitul sunt reprezentate de unele puncte, atunci ele au propriile coordonate în plan sau în spațiu.

Dacă fiecare punct are propriile sale coordonate, atunci putem obține coordonatele întregului vector.

Să presupunem că avem un vector al cărui început și sfârșit al vectorului au următoarele denumiri și coordonate: A(A x ; Ay) și B(B x ; By)

Pentru a obține coordonatele acestui vector, este necesar să scădeți coordonatele de început corespunzătoare din coordonatele de la sfârșitul vectorului:

Pentru a determina coordonatele unui vector în spațiu, utilizați următoarea formulă:

Produsul punctual al vectorilor

Există două moduri de a defini conceptul de produs punctual:

• Mod geometric. Potrivit acestuia, produsul scalar este egal cu produsul dintre valorile acestor module și cosinusul unghiului dintre ele.

• sens algebric. Din punctul de vedere al algebrei, produsul scalar a doi vectori este o anumită valoare care rezultă din suma produselor vectorilor corespunzători.

Dacă vectorii sunt dați în spațiu, atunci ar trebui să utilizați o formulă similară:

Proprietăți:

• Dacă înmulțiți scalar doi vectori identici, atunci produsul lor scalar va fi nenegativ:

• Dacă produsul scalar a doi vectori identici s-a dovedit a fi egal cu zero, atunci acești vectori sunt considerați zero:

• Dacă un anumit vector este înmulțit cu el însuși, atunci produsul scalar va fi egal cu pătratul modulului său:

• Produsul scalar are o proprietate comunicativă, adică produsul scalar nu se va schimba dintr-o permutare a vectorilor:

• Produsul scalar al vectorilor nenuli poate fi zero numai dacă vectorii sunt perpendiculari unul pe celălalt:

• Pentru produsul scalar al vectorilor, legea comutativă este valabilă în cazul înmulțirii unuia dintre vectori cu un număr:

• Cu un produs punctual, puteți folosi și proprietatea distributivă a înmulțirii:

Unghiul dintre vectori

Vor exista și sarcini pentru o soluție independentă, la care puteți vedea răspunsurile.

Dacă în problemă atât lungimile vectorilor, cât și unghiul dintre ei sunt prezentate „pe un platou de argint”, atunci starea problemei și soluția ei arată astfel:

Exemplul 1 Se dau vectori. Aflați produsul scalar al vectorilor dacă lungimile lor și unghiul dintre ei sunt reprezentate de următoarele valori:

Este valabilă și o altă definiție, care este complet echivalentă cu Definiția 1.

Definiția 2. Produsul scalar al vectorilor este un număr (scalar) egal cu produsul dintre lungimea unuia dintre acești vectori și proiecția unui alt vector pe axa determinată de primul dintre acești vectori. Formula conform definiției 2:

Vom rezolva problema folosind această formulă după următorul punct teoretic important.

Definirea produsului scalar al vectorilor în termeni de coordonate

Același număr poate fi obținut dacă vectorii înmulțiți sunt dați de coordonatele lor.

Definiția 3. Produsul scalar al vectorilor este numărul egal cu suma produselor pe perechi ale coordonatelor respective.

La suprafata

Dacă doi vectori și în plan sunt definiți de cei doi ai lor coordonate carteziene

atunci produsul scalar al acestor vectori este egal cu suma produselor pe perechi ale coordonatelor respective:

.

Exemplul 2 Aflați valoarea numerică a proiecției vectorului pe axa paralelă cu vectorul.

Decizie. Găsim produsul scalar al vectorilor adunând produsele pe perechi ale coordonatelor lor:

Acum trebuie să echivalăm produsul scalar rezultat cu produsul dintre lungimea vectorului și proiecția vectorului pe o axă paralelă cu vectorul (în conformitate cu formula).

Găsim lungimea vectorului ca rădăcină pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale:

.

Scrieți o ecuație și rezolvați-o:

Răspuns. Valoarea numerică dorită este minus 8.

In spatiu

Dacă doi vectori și în spațiu sunt definiți prin cele trei coordonate dreptunghiulare carteziene ale acestora

,

atunci produsul scalar al acestor vectori este, de asemenea, egal cu suma produselor pe perechi ale coordonatelor respective, doar că există deja trei coordonate:

.

Sarcina de a găsi produsul scalar în modul considerat este după analiza proprietăților produsului scalar. Deoarece în sarcină va fi necesar să se determine ce unghi formează vectorii înmulțiți.

Proprietăți ale produsului punctual al vectorilor

Proprietăți algebrice

1. (comutativitate: valoarea produsului lor scalar nu se modifică de la schimbarea locurilor vectorilor înmulțiți).

2. (proprietate asociativă în raport cu un factor numeric: produsul scalar al unui vector înmulțit cu un factor și un alt vector este egal cu produsul scalar al acestor vectori înmulțit cu același factor).

3. (proprietate distributivă în raport cu suma vectorilor: produsul scalar al sumei a doi vectori cu al treilea vector este egal cu suma produselor scalare ale primului vector cu al treilea vector și al doilea cu al treilea vector).

4. (pătratul scalar al unui vector mai mare decât zero) dacă este un vector diferit de zero și , dacă este un vector zero.

Proprietăți geometrice

În definițiile operației studiate, am atins deja conceptul de unghi între doi vectori. Este timpul să clarificăm acest concept.

În figura de mai sus, sunt vizibili doi vectori, care sunt aduși la un început comun. Și primul lucru la care trebuie să acordați atenție: există două unghiuri între acești vectori - φ 1 și φ 2 . Care dintre aceste unghiuri apare în definițiile și proprietățile produsului scalar al vectorilor? Suma unghiurilor considerate este 2 π și prin urmare cosinusurile acestor unghiuri sunt egale. Definiția produsului punctual include doar cosinusul unghiului, nu și valoarea expresiei acestuia. Dar numai un colț este luat în considerare în proprietăți. Și acesta este cel din cele două unghiuri care nu depășește π adică 180 de grade. Acest unghi este prezentat în figură ca φ 1 .

1. Se numesc doi vectori ortogonală și unghiul dintre acești vectori este drept (90 de grade sau π /2 ) dacă produsul scalar al acestor vectori este zero :

.

Ortogonalitatea în algebra vectorială este perpendicularitatea a doi vectori.

2. Doi vectori nenuli alcătuiesc colt ascutit (de la 0 la 90 de grade sau, ceea ce este același, mai puțin π produsul punctual este pozitiv .

3. Doi vectori nenuli alcătuiesc unghi obtuz (de la 90 la 180 de grade sau, ceea ce este același - mai mult π /2 ) dacă și numai dacă produsul punctual este negativ .

Exemplul 3 Vectorii sunt dați în coordonate:

.

Calculați produsele punctuale ale tuturor perechilor de vectori dați. Ce unghi (acut, drept, obtuz) formează aceste perechi de vectori?

Decizie. Vom calcula prin adăugarea produselor coordonatelor corespunzătoare.

Avem un număr negativ, deci vectorii formează un unghi obtuz.

Avem un număr pozitiv, deci vectorii formează un unghi ascuțit.

Avem zero, deci vectorii formează un unghi drept.

Avem un număr pozitiv, deci vectorii formează un unghi ascuțit.

.

Avem un număr pozitiv, deci vectorii formează un unghi ascuțit.

Pentru autotest, puteți utiliza calculator online Produsul punctual al vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei .

Exemplul 4 Având în vedere lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei:

.

Determinați la ce valoare a numărului vectorii și sunt ortogonali (perpendiculari).

Decizie. Înmulțim vectorii după regula înmulțirii polinoamelor:

Acum să calculăm fiecare termen:

.

Să compunem o ecuație (egalitatea produsului la zero), să dăm termeni similari și să rezolvăm ecuația:

Răspuns: am primit valoarea λ = 1,8 , la care vectorii sunt ortogonali.

Exemplul 5 Demonstrați că vectorul ortogonal (perpendicular) pe vector

Decizie. Pentru a verifica ortogonalitatea, înmulțim vectorii și ca polinoame, înlocuind expresia dată în condiția problemă în loc de ea:

.

Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți fiecare termen (termen) al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea și să adăugați produsele rezultate:

.

Ca urmare, fracția datorată este redusă. Se obtine urmatorul rezultat:

Concluzie: ca urmare a înmulțirii, am obținut zero, prin urmare, se dovedește ortogonalitatea (perpendicularitatea) vectorilor.

Rezolvați singur problema și apoi vedeți soluția

Exemplul 6 Având în vedere lungimile vectorilor și , și unghiul dintre acești vectori este π /4 . Stabiliți la ce valoare μ vectori și sunt reciproc perpendiculare.

Pentru autotest, puteți utiliza calculator online Produsul punctual al vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei .

Reprezentarea matricială a produsului scalar al vectorilor și produsul vectorilor n-dimensionali

Uneori, pentru claritate, este avantajos să se reprezinte doi vectori înmulțiți sub formă de matrice. Apoi, primul vector este reprezentat ca o matrice de rând, iar al doilea - ca o matrice de coloană:

Atunci produsul scalar al vectorilor va fi produsul acestor matrici :

Rezultatul este același cu cel obținut prin metoda pe care am considerat-o deja. Avem un singur număr, iar produsul rândului-matrice de coloana-matrice este, de asemenea, un singur număr.

În formă de matrice, este convenabil să se reprezinte produsul vectorilor abstracti n-dimensionali. Astfel, produsul a doi vectori cu patru dimensiuni va fi produsul unei matrice rând cu patru elemente cu o matrice coloană tot cu patru elemente, produsul a doi vectori cu cinci dimensiuni va fi produsul unei matrice rând cu cinci elemente prin o matrice de coloană, de asemenea, cu cinci elemente și așa mai departe.

Exemplul 7 Găsiți produse punctuale ale perechilor de vectori

,

folosind reprezentarea matricială.

Decizie. Prima pereche de vectori. Reprezentăm primul vector ca o matrice de rând, iar al doilea ca o matrice de coloană. Găsim produsul scalar al acestor vectori ca produs al matricei rând cu matricea coloanei:

În mod similar, reprezentăm a doua pereche și găsim:

După cum puteți vedea, rezultatele sunt aceleași ca pentru aceleași perechi din exemplul 2.

Unghiul dintre doi vectori

Derivarea formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori este foarte frumoasă și concisă.

Pentru a exprima produsul scalar al vectorilor

(1)

sub formă de coordonate, găsim mai întâi produsul scalar al ortelor. Produsul scalar al unui vector cu el însuși este prin definiție:

Ceea ce este scris în formula de mai sus înseamnă: produsul scalar al unui vector cu el însuși este egal cu pătratul lungimii acestuia. Cosinusul lui zero este egal cu unu, deci pătratul fiecărei orte va fi egal cu unu:

Din moment ce vectorii

sunt perpendiculare pe perechi, atunci produsele perechi ale ortelor vor fi egale cu zero:

Acum să efectuăm înmulțirea polinoamelor vectoriale:

Înlocuim în partea dreaptă a egalității valorile produselor scalare corespunzătoare ale ortelor:

Obținem formula pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori:

Exemplul 8 Avand trei puncte A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Găsiți un unghi.

Decizie. Găsim coordonatele vectorilor:

,

.

Folosind formula pentru cosinusul unui unghi, obținem:

Prin urmare, .

Pentru autotest, puteți utiliza calculator online Produsul punctual al vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei .

Exemplul 9 Dați doi vectori

Găsiți suma, diferența, lungimea, produsul punctual și unghiul dintre ele.

2. Diferența

Produsul punctual al vectorilor

Continuăm să ne ocupăm de vectori. La prima lecție Vectori pentru manechine am luat în considerare conceptul de vector, acțiunile cu vectori, coordonatele vectoriale și cele mai simple probleme cu vectorii. Dacă ați ajuns pentru prima dată pe această pagină dintr-un motor de căutare, vă recomand cu căldură să citiți articolul introductiv de mai sus, deoarece pentru a asimila materialul, trebuie să vă ghidați în termenii și notația pe care le folosesc, să aveți cunoștințe de bază despre vectori și să poată rezolva probleme elementare. Această lecție este o continuare logică a subiectului și în ea voi analiza în detaliu sarcini tipice care folosesc produsul scalar al vectorilor. Acesta este un job FOARTE IMPORTANT.. Încercați să nu săriți peste exemple, acestea sunt însoțite de un bonus util - practica vă va ajuta să consolidați materialul acoperit și să „puneți mâna” la rezolvarea problemelor comune de geometrie analitică.

Adăugarea vectorilor, înmulțirea unui vector cu un număr... Ar fi naiv să credem că matematicienii nu au venit cu altceva. Pe lângă acțiunile deja luate în considerare, există o serie de alte operații cu vectori, și anume: produs scalar al vectorilor, produs încrucișat al vectorilorși produs mixt al vectorilor. Produsul scalar al vectorilor ne este familiar de la școală, celelalte două produse sunt în mod tradițional legate de cursul de matematică superioară. Subiectele sunt simple, algoritmul pentru rezolvarea multor probleme este stereotip și de înțeles. Singurul lucru. Există o cantitate decentă de informații, așa că este de nedorit să încerci să stăpânești și să rezolvi TOTUL ȘI O dată. Acest lucru este valabil mai ales pentru manechini, credeți-mă, autorul nu vrea să se simtă ca Chikatilo de la matematică. Ei bine, nici de la matematică, desigur, nici =) Elevii mai pregătiți pot folosi selectiv materialele, într-un anumit sens, „dobândește” cunoștințele lipsă, pentru tine voi fi un inofensiv Conte Dracula =)

În cele din urmă, să deschidem puțin ușa și să aruncăm o privire la ce se întâmplă atunci când doi vectori se întâlnesc...

Definirea produsului scalar al vectorilor.
Proprietățile produsului scalar. Sarcini tipice

Conceptul de produs punctual

În primul rând despre unghiul dintre vectori. Cred că toată lumea înțelege intuitiv care este unghiul dintre vectori, dar pentru orice eventualitate, puțin mai mult. Luați în considerare vectori liberi nenuli și . Dacă amânăm acești vectori dintr-un punct arbitrar, atunci obținem o imagine pe care mulți au prezentat-o ​​deja mental:

Mărturisesc, aici am descris situația doar la nivel de înțelegere. Dacă aveți nevoie de o definiție strictă a unghiului dintre vectori, vă rugăm să consultați manualul, dar pentru sarcini practice, noi, în principiu, nu avem nevoie de ea. De asemenea, AICI ȘI MAI MULTE, voi ignora uneori vectorii zero din cauza semnificației lor practice scăzute. Am făcut o rezervare special pentru vizitatorii avansați ai site-ului, care îmi pot reproșa incompletitudinea teoretică a unora dintre următoarele afirmații.

poate lua valori de la 0 la 180 de grade (de la 0 la radiani) inclusiv. Analitic, acest fapt este scris ca o dublă inegalitate: sau (în radiani).

În literatură, pictograma unghi este adesea omisă și scrisă simplu.

Definiție: Produsul scalar a doi vectori este un NUMĂR egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei:

Acum, aceasta este o definiție destul de strictă.

Ne concentrăm pe informațiile esențiale:

Desemnare: produsul scalar este notat cu sau pur și simplu .

Rezultatul operației este un NUMĂR: Înmulțiți un vector cu un vector pentru a obține un număr. Într-adevăr, dacă lungimile vectorilor sunt numere, cosinusul unghiului este un număr, atunci produsul lor va fi și un număr.

Doar câteva exemple de încălzire:

Exemplul 1

Decizie: Folosim formula . În acest caz:

Răspuns:

Valorile cosinusului pot fi găsite în tabel trigonometric. Recomand să-l imprimați - va fi necesar în aproape toate secțiunile turnului și va fi solicitat de multe ori.

Pur din punct de vedere matematic, produsul scalar este adimensional, adică rezultatul, în acest caz, este doar un număr și atât. Din punct de vedere al problemelor de fizică, produsul scalar are întotdeauna o anumită semnificație fizică, adică după rezultat trebuie indicată una sau alta unitate fizică. Exemplul canonic de calcul al muncii unei forțe poate fi găsit în orice manual (formula este exact un produs punctual). Munca unei forțe este măsurată în Jouli, prin urmare, răspunsul va fi scris destul de specific, de exemplu,.

Exemplul 2

Găsiți dacă , iar unghiul dintre vectori este .

Acesta este un exemplu de auto-decizie, răspunsul este la sfârșitul lecției.

Unghiul dintre vectori și valoarea produsului punctual

În exemplul 1, produsul scalar s-a dovedit a fi pozitiv, iar în exemplul 2, s-a dovedit a fi negativ. Să aflăm de ce depinde semnul produsului scalar. Să ne uităm la formula noastră: . Lungimile vectorilor nenuli sunt întotdeauna pozitive: , deci semnul poate depinde doar de valoarea cosinusului.

Notă: Pentru o mai bună înțelegere a informațiilor de mai jos, este mai bine să studiați graficul cosinus din manual Grafice și proprietăți ale funcției. Vedeți cum se comportă cosinusul pe segment.

După cum sa menționat deja, unghiul dintre vectori poate varia în interior , iar următoarele cazuri sunt posibile:

1) Dacă injecţieîntre vectori picant: (de la 0 la 90 de grade), apoi , și produsul punctual va fi pozitiv co-regizat, atunci unghiul dintre ele este considerat a fi zero, iar produsul scalar va fi de asemenea pozitiv. Din moment ce , atunci formula este simplificată: .

2) Dacă injecţieîntre vectori bont: (de la 90 la 180 de grade), apoi și în mod corespunzător, produsul punctual este negativ: . Caz special: dacă vectorii îndreptată invers, atunci se ia în considerare unghiul dintre ele dislocat: (180 de grade). Produsul scalar este de asemenea negativ, deoarece

Afirmațiile inverse sunt de asemenea adevărate:

1) Dacă , atunci unghiul dintre acești vectori este acut. Alternativ, vectorii sunt codirecționali.

2) Dacă , atunci unghiul dintre acești vectori este obtuz. Alternativ, vectorii sunt direcționați opus.

Dar cel de-al treilea caz prezintă un interes deosebit:

3) Dacă injecţieîntre vectori Drept: (90 de grade) apoi si produsul punctual este zero: . Este adevărat și invers: dacă , atunci . Declarația compactă este formulată după cum urmează: Produsul scalar a doi vectori este zero dacă și numai dacă vectorii dați sunt ortogonali. Notație matematică scurtă:

! Notă : repeta fundamentele logicii matematice: pictograma de consecință logică cu două fețe este de obicei citită „dacă și numai atunci”, „dacă și numai dacă”. După cum puteți vedea, săgețile sunt direcționate în ambele direcții - "de la aceasta urmează asta și invers - de la aceasta urmează asta". Care este, apropo, diferența față de pictograma de urmărire unică? Pretenții icon doar asta că „din aceasta urmează aceasta”, și nu faptul că este adevărat invers. De exemplu: , dar nu orice animal este o panteră, deci pictograma nu poate fi folosită în acest caz. În același timp, în locul pictogramei poate sa utilizați pictograma cu o singură față. De exemplu, în timpul rezolvării problemei, am aflat că am ajuns la concluzia că vectorii sunt ortogonali: - o astfel de înregistrare va fi corectă și chiar mai potrivită decât .

Al treilea caz este de mare importanță practică., deoarece vă permite să verificați dacă vectorii sunt ortogonali sau nu. Vom rezolva această problemă în a doua secțiune a lecției.

Proprietățile produsului punct

Să revenim la situația când doi vectori co-regizat. În acest caz, unghiul dintre ele este zero, , iar formula produsului scalar ia forma: .

Ce se întâmplă dacă un vector este înmulțit cu el însuși? Este clar că vectorul este co-direcționat cu el însuși, așa că folosim formula simplificată de mai sus:

Numărul este sunat pătrat scalar vector , și sunt notate ca .

Prin urmare, pătratul scalar al unui vector este egal cu pătratul lungimii vectorului dat:

Din această egalitate, puteți obține o formulă pentru calcularea lungimii unui vector:

În timp ce pare obscur, însă sarcinile lecției vor pune totul la locul său. Pentru a rezolva probleme, avem și noi nevoie proprietățile produsului punctual.

Pentru vectori arbitrari și orice număr, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) - deplasabil sau comutativ legea produsului scalar.

2) - distributie sau distributiv legea produsului scalar. Mai simplu spus, puteți deschide paranteze.

3) - combinație sau asociativ legea produsului scalar. Constanta poate fi scoasă din produsul scalar.

Adesea, tot felul de proprietăți (care trebuie și dovedite!) sunt percepute de studenți ca un gunoi inutil, care trebuie doar memorat și uitat în siguranță imediat după examen. S-ar părea că ceea ce este important aici, toată lumea știe deja din prima clasă că produsul nu se schimbă dintr-o permutare a factorilor:. Trebuie să vă avertizez, la matematica superioară cu o astfel de abordare este ușor să dați peste cap lucrurile. Deci, de exemplu, proprietatea comutativă nu este valabilă pentru matrici algebrice. Nu este adevărat pentru produs încrucișat al vectorilor. Prin urmare, este cel puțin mai bine să vă aprofundați în orice proprietăți pe care le veți întâlni în cursul matematicii superioare pentru a înțelege ce se poate și ce nu se poate face.

Exemplul 3

.

Decizie: Mai întâi, să clarificăm situația cu vectorul. Despre ce e vorba? Suma vectorilor și este un vector bine definit, care este notat cu . Interpretarea geometrică a acțiunilor cu vectori poate fi găsită în articol Vectori pentru manechine. Același pătrunjel cu un vector este suma vectorilor și .

Deci, conform condiției, este necesar să se găsească produsul scalar. În teorie, trebuie să aplicați formula de lucru , dar problema este că nu știm lungimile vectorilor și unghiul dintre ei. Dar în condiția, parametrii similari sunt dați pentru vectori, așa că vom merge pe altă cale:

(1) Înlocuim expresii ale vectorilor .

(2) Deschidem parantezele după regula înmulțirii polinoamelor, un răsucitor de limbi vulgar poate fi găsit în articol Numere complexe sau Integrarea unei funcții fracționale-raționale. Nu mă voi repeta =) Apropo, proprietatea distributivă a produsului scalar ne permite să deschidem parantezele. Avem dreptul.

(3) În primul și ultimul termen, scriem compact pătratele scalare ale vectorilor: . În al doilea termen, folosim comutabilitatea produsului scalar: .

(4) Iată termeni similari: .

(5) În primul termen, folosim formula pătratului scalar, care a fost menționată nu cu mult timp în urmă. În ultimul termen, respectiv, funcționează același lucru: . Al doilea termen este extins conform formulei standard .

(6) Înlocuiți aceste condiții , și efectuați CU ATENȚIE calculele finale.

Răspuns:

Valoarea negativă a produsului scalar afirmă faptul că unghiul dintre vectori este obtuz.

Sarcina este tipică, iată un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 4

Aflați produsul scalar al vectorilor și , dacă se știe că .

Acum o altă sarcină comună, doar pentru noua formulă de lungime a vectorului. Denumirile de aici se vor suprapune puțin, așa că pentru claritate, o voi rescrie cu o altă literă:

Exemplul 5

Aflați lungimea vectorului dacă .

Decizie va fi după cum urmează:

(1) Oferim expresia vectorială .

(2) Folosim formula lungimii: , în timp ce avem o expresie întreagă ca vector „ve”.

(3) Folosim formula școlară pentru pătratul sumei. Atenție la cum funcționează în mod curios aici: - de fapt, acesta este pătratul diferenței și, de fapt, așa este. Cei care doresc pot rearanja vectorii pe alocuri: - a ieșit același lucru până la o rearanjare a termenilor.

(4) Ceea ce urmează este deja familiar din cele două probleme anterioare.

Răspuns:

Deoarece vorbim despre lungime, nu uitați să indicați dimensiunea - „unități”.

Exemplul 6

Aflați lungimea vectorului dacă .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Continuăm să stoarcem lucruri utile din produsul scalar. Să ne uităm din nou la formula noastră . După regula proporției, resetăm lungimile vectorilor la numitorul părții stângi:

Să schimbăm piesele:

Care este sensul acestei formule? Dacă sunt cunoscute lungimile a doi vectori și produsul lor scalar, atunci este posibil să se calculeze cosinusul unghiului dintre acești vectori și, în consecință, unghiul însuși.

Este produsul scalar un număr? Număr. Lungimile vectorului sunt numere? Numerele. Deci o fracție este și un număr. Și dacă cosinusul unghiului este cunoscut: , atunci folosind funcția inversă este ușor să găsiți unghiul în sine: .

Exemplul 7

Aflați unghiul dintre vectorii și , dacă se știe că .

Decizie: Folosim formula:

Pe stadiu final calcule, s-a folosit o tehnică - eliminarea iraționalității în numitor. Pentru a elimina iraționalitatea, am înmulțit numărătorul și numitorul cu .

Astfel, dacă , apoi:

Valorile funcțiilor trigonometrice inverse pot fi găsite prin tabel trigonometric. Deși acest lucru se întâmplă rar. În problemele de geometrie analitică, un urs stângace apare mult mai des, iar valoarea unghiului trebuie găsită aproximativ folosind un calculator. De fapt, vom vedea această imagine din nou și din nou.

Răspuns:

Din nou, nu uitați să specificați dimensiunea - radiani și grade. Personal, pentru a „elimina în mod deliberat toate întrebările”, prefer să le indică pe amândouă (cu excepția cazului în care, bineînțeles, prin condiție, se cere să prezinți răspunsul doar în radiani sau doar în grade).

Acum vei putea face față singur unei sarcini mai dificile:

Exemplul 7*

Sunt date lungimile vectorilor și unghiul dintre ei. Aflați unghiul dintre vectorii , .

Sarcina nu este atât de dificilă, ci multidirecțională.
Să analizăm algoritmul de soluție:

1) În funcție de condiție, este necesar să găsiți unghiul dintre vectori și , deci trebuie să utilizați formula .

2) Găsim produsul scalar (vezi Exemplele nr. 3, 4).

3) Aflați lungimea vectorului și lungimea vectorului (vezi Exemplele nr. 5, 6).

4) Sfârșitul soluției coincide cu Exemplul nr. 7 - cunoaștem numărul , ceea ce înseamnă că este ușor de găsit unghiul în sine:

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției.

A doua secțiune a lecției este dedicată aceluiași produs punctual. Coordonatele. Va fi chiar mai ușor decât în ​​prima parte.

produsul punctual al vectorilor,
dat de coordonate în bază ortonormală

Răspuns:

Inutil să spun că a face cu coordonatele este mult mai plăcută.

Exemplul 14

Aflați produsul scalar al vectorilor și dacă

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Aici puteți folosi asociativitatea operației, adică nu numărați, ci imediat scoateți triplul din produsul scalar și înmulțiți cu acesta ultimul. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

La sfârșitul paragrafului, un exemplu provocator de calculare a lungimii unui vector:

Exemplul 15

Găsiți lungimile vectorilor , dacă

Decizie: din nou, metoda din secțiunea anterioară se sugerează: dar există o altă cale:

Să găsim vectorul:

Și lungimea sa conform formulei triviale :

Produsul scalar nu este deloc relevant aici!

Cât de ieșit este atunci când se calculează lungimea unui vector:
Stop. De ce să nu profitați de proprietatea evidentă a lungimii unui vector? Ce se poate spune despre lungimea unui vector? Acest vector este de 5 ori mai lung decât vectorul. Direcția este inversă, dar nu contează, pentru că vorbim de lungime. Evident, lungimea vectorului este egală cu produsul modul numere pe lungimea vectorului:
- semnul modulului „mănâncă” posibilul minus al numărului.

Prin urmare:

Răspuns:

Formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori care sunt date prin coordonate

Acum avem informații complete pentru a exprima formula derivată anterior pentru cosinusul unghiului dintre vectori în termeni de coordonatele vectorilor:

Cosinusul unghiului dintre vectorii planiși , dat în baza ortonormală , se exprimă prin formula:
.

Cosinusul unghiului dintre vectorii spațiali, dat în baza ortonormală , se exprimă prin formula:

Exemplul 16

Sunt date trei vârfuri ale unui triunghi. Găsiți (unghiul vârfului).

Decizie: După condiție, desenul nu este necesar, dar totuși:

Unghiul necesar este marcat cu un arc verde. Reamintim imediat denumirea școlară a unghiului: - atenție deosebită la mijloc litera - acesta este vârful unghiului de care avem nevoie. Pentru concizie, ar putea fi scris și simplu.

Din desen este destul de evident că unghiul triunghiului coincide cu unghiul dintre vectori și , cu alte cuvinte: .

Este de dorit să înveți cum să efectuezi analiza efectuată mental.

Să găsim vectorii:

Să calculăm produsul scalar:

Și lungimile vectorilor:

Cosinusul unghiului:

Este această ordine a sarcinii pe care o recomand neaștepților. Cititorii mai avansați pot scrie calculele „într-o singură linie”:

Iată un exemplu de valoare a cosinusului „proastă”. Valoarea rezultată nu este finală, așa că nu prea are rost să scăpăm de iraționalitatea din numitor.

Să găsim unghiul:

Dacă te uiți la desen, rezultatul este destul de plauzibil. Pentru a verifica unghiul poate fi măsurat și cu un raportor. Nu deteriorați învelișul monitorului =)

Răspuns:

În răspuns, nu uita că întrebat despre unghiul triunghiului(și nu despre unghiul dintre vectori), nu uitați să indicați răspunsul exact: și valoarea aproximativă a unghiului: găsit cu un calculator.

Cei cărora le-a plăcut procesul pot calcula unghiurile și se pot asigura că egalitatea canonică este adevărată

Exemplul 17

Un triunghi este dat în spațiu de coordonatele vârfurilor sale. Aflați unghiul dintre laturile și

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției

O mică secțiune finală va fi dedicată proiecțiilor, în care produsul scalar este și „implicat”:

Proiecția unui vector pe un vector. Proiecție vectorială pe axele de coordonate.
Cosinusuri de direcție vectorială

Luați în considerare vectorii și:

Proiectăm vectorul pe vector, pentru aceasta omitem de la începutul și sfârșitul vectorului perpendiculare pe vector (linii punctate verzi). Imaginează-ți că razele de lumină cad perpendicular pe un vector. Apoi segmentul (linia roșie) va fi „umbra” vectorului. În acest caz, proiecția unui vector pe un vector este LUNGIMEA segmentului. Adică PROIECȚIA ESTE UN NUMĂR.

Acest NUMĂR este notat după cum urmează: , "vector mare" denotă un vector CARE proiect, „vector indice mic” denotă vectorul PE care este proiectat.

Intrarea în sine arată astfel: „proiecția vectorului „a” pe vectorul „fi””.

Ce se întâmplă dacă vectorul „fi” este „prea scurt”? Desenăm o linie dreaptă care conține vectorul „fi”. Și vectorul „a” va fi proiectat deja în direcția vectorului „fi”, pur și simplu - pe o linie dreaptă care conține vectorul „fi”. Același lucru se va întâmpla dacă vectorul „a” este pus deoparte în al treizecilea regat - va fi încă proiectat cu ușurință pe linia care conține vectorul „fi”.

Dacă unghiulîntre vectori picant(ca in poza), atunci

Dacă vectorii ortogonală, atunci (proiecția este un punct ale cărui dimensiuni sunt presupuse a fi zero).

Dacă unghiulîntre vectori bont(în figură, rearanjați mental săgeata vectorului), apoi (aceeași lungime, dar luată cu semnul minus).

Lăsați deoparte acești vectori dintr-un punct:

Evident, la mutarea unui vector, proiecția acestuia nu se modifică

Produsul vectorial și punctual facilitează calcularea unghiului dintre vectori. Să fie dați doi vectori $\overline(a)$ și $\overline(b)$, unghiul de orientare dintre ei este egal cu $\varphi$. Să calculăm valorile $x = (\overline(a),\overline(b))$ și $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Apoi $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, unde $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ și $\varphi$ este valoarea dorită unghi, adică punctul $(x, y)$ are un unghi polar egal cu $\varphi$ și, prin urmare, $\varphi$ poate fi găsit ca atan2(y, x).

Aria unui triunghi

Deoarece produsul vectorial conține produsul a două lungimi vectoriale și cosinusul unghiului dintre ele, produsul vectorial poate fi utilizat pentru a calcula aria triunghiului ABC:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Punct aparținând unei linii

Să fie date un punct $P$ și o dreaptă $AB$ (dată de două puncte $A$ și $B$). Este necesar să se verifice dacă un punct aparține dreptei $AB$.

Un punct aparține dreptei $AB$ dacă și numai dacă vectorii $AP$ și $AB$ sunt coliniari, adică dacă $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Apartenența unui punct la o rază

Să fie dat un punct $P$ și o rază $AB$ (dată de două puncte - începutul razei $A$ și un punct pe raza $B$). Este necesar să se verifice dacă punctul aparține razei $AB$.

Trebuie adăugată o condiție suplimentară la condiția ca punctul $P$ să aparțină liniei $AB$ - vectorii $AP$ și $AB$ sunt codirecționali, adică sunt coliniari și produsul lor scalar este nenegativ, adică $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

Punct aparținând unui segment

Să fie dat un punct $P$ și un segment $AB$. Este necesar să se verifice dacă punctul aparține segmentului $AB$.

În acest caz, punctul trebuie să aparțină atât razei $AB$ cât și razei $BA$, deci trebuie verificate următoarele condiții:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Distanța de la punct la linie

Să fie date un punct $P$ și o dreaptă $AB$ (dată de două puncte $A$ și $B$). Este necesar să se găsească distanța de la punctul dreptei $AB$.

Luați în considerare triunghiul ABP. Pe de o parte, aria sa este $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

Pe de altă parte, aria sa este $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, unde $h$ este înălțimea de la $P$, adică distanța de la $P$ la $ AB $. De unde $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Distanța de la punct la fascicul

Să fie dat un punct $P$ și o rază $AB$ (dată de două puncte - începutul razei $A$ și un punct pe raza $B$). Este necesar să se găsească distanța de la punct la rază, adică lungimea celui mai scurt segment de la punctul $P$ până la orice punct al razei.

Această distanță este egală fie cu lungimea $AP$, fie cu distanța de la punctul $P$ la linia $AB$. Care dintre cazuri are loc poate fi ușor determinat de poziția relativă a fasciculului și a punctului. Dacă unghiul PAB este ascuțit, adică $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, atunci răspunsul este distanța de la punctul $P$ la dreapta $AB$, în caz contrar răspunsul este lungimea a segmentului $AB$.

Distanța de la punct la linie

Să fie dat un punct $P$ și un segment $AB$. Este necesar să găsiți distanța de la $P$ la segmentul $AB$.

Dacă baza perpendicularei a scăzut de la $P$ la linia $AB$ cade pe segmentul $AB$, care poate fi verificat prin condiții

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

atunci răspunsul este distanța de la punctul $P$ la linia $AB$. În caz contrar, distanța va fi egală cu $\min(AP, BP)$.