Cap Departamentul de Matematică, Universitatea de Stat din Orientul Îndepărtat

Sisteme de ecuații iraționale, logaritmice și exponențiale

În mod tradițional, materialele de măsurare de control pentru examenul de stat unificat la matematică includ sarcini care permit elevilor să-și testeze capacitatea de a rezolva diverse sisteme de ecuații. De regulă, acestea sunt sisteme de două ecuații cu două variabile. Ecuațiile incluse în sistem pot fi fie algebrice, inclusiv iraționale, fie transcendentale. În acest articol, vom lua în considerare principalele metode de rezolvare a sistemelor cu două variabile de ecuații iraționale, logaritmice și exponențiale.

Înainte de a trece direct la metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații, să ne amintim definițiile și proprietățile de bază ale diferitelor funcții care pot fi incluse în ecuațiile sistemului.

Amintiți-vă că se formează două ecuații cu două necunoscute sistem de ecuații, dacă sarcina este de a găsi astfel de valori ale variabilelor care sunt soluții pentru fiecare dintre ecuații.

Soluție de sistem două ecuații în două necunoscute se numește pereche ordonată de numere, la substituirea lor în sistem în locul variabilelor corespunzătoare, se obțin egalități numerice corecte.

Rezolvarea unui sistem de ecuații înseamnă găsirea tuturor soluțiilor acestuia.

Procesul de rezolvare a unui sistem de ecuații, ca și procesul de rezolvare a unei ecuații, constă într-o tranziție secvențială, folosind unele transformări, de la un sistem dat la unul mai simplu. De obicei, se folosesc transformări care conduc la un sistem echivalent; în acest caz nu este necesară verificarea soluțiilor găsite. Dacă s-au folosit transformări inegale, atunci verificarea soluțiilor găsite este obligatorie.

Iraţional sunt ecuaţii în care variabila este cuprinsă sub semnul rădăcinii sau sub semnul operaţiei de ridicare la o putere fracţionată.

Trebuie remarcat faptul că

1. Toate rădăcinile de grad par incluse în ecuații sunt aritmetice. Cu alte cuvinte, dacă expresia radicală este negativă, atunci rădăcina este lipsită de sens; dacă expresia radicalului este egală cu zero, atunci și rădăcina este egală cu zero; Dacă expresia radicalului este pozitivă, atunci valoarea rădăcinii este pozitivă.

2. Toate rădăcinile impare incluse în ecuație sunt definite pentru orice valoare reală a expresiei radicalului. În acest caz, rădăcina este negativă dacă expresia radicalului este negativă; este egal cu zero dacă expresia radicală este egală cu zero; pozitiv dacă expresia radicală este pozitivă.

Funcții y = https://pandia.ru/text/78/063/images/image002_247.gif" width="37" height="24 src="> sunt în creștere în domeniul lor de definiție.

La rezolvarea sistemelor de ecuații iraționale se folosesc două metode principale: 1) ridicarea ambelor părți ale ecuațiilor la aceeași putere; 2) introducerea de noi variabile.

Când rezolvăm sisteme de ecuații iraționale folosind prima metodă, trebuie amintit că la ridicarea ambelor părți ale unei ecuații care conține rădăcini de grad par în același grad, se obține o ecuație care este o consecință a celei originale; prin urmare, străină. rădăcinile pot apărea în timpul procesului de soluție.gif" width="161" height="61">

Soluţie. Pentru a scăpa de iraționalitate, introducem noi variabile. Fie ……………………… (1),

atunci sistemul inițial va lua forma: ..gif" width="92" height="59">. Punând la pătrat ambele părți ale primei ecuații și celei de-a doua la a patra putere, obținem sistemul: , de unde avem găsi:

Este ușor de verificat că soluția găsită pentru ultimul sistem este o soluție pentru sistemul original.

Răspuns: (6; 5)

Exemplul 2. Rezolvarea sistemului de ecuații

Soluţie. 1..gif" width="51" height="27">.gif" width="140" height="27 src=">………………………..(2). Să introducem o nouă variabilă: pune ………………….(3) și o înlocuim în ecuația (2), obținem o ecuație pătratică din variabilă: ..gif" width="56" height="23 src ="> este străin , deoarece au indicat rădăcina aritmetică..gif" width="84 height=27" height="27">. Să pătram ambele părți ale ecuației și să exprimăm: .

Să substituim expresia rezultată în a doua ecuație a sistemului original: https://pandia.ru/text/78/063/images/image026_45.gif" width="147" height="24 src=">. Să ridicăm ambele părți ale ecuației rezultate la pătrat și pentru a nu extinde intervalul de valori permise ale ecuației rezultate, solicităm ca https://pandia.ru/text/78/063/images/image028_36.gif" width="297" height="24 src="> .gif" width="65" height="23 src=">.gif" width="56" height="41 src="> este străin.

Să găsim valoarea la la: https://pandia.ru/text/78/063/images/image034_32.gif" width="199" height="59 src=">

Soluţie. 1. Rețineți că partea dreaptă a primei ecuații trebuie să fie nenegativă, adică gif" width="225" height="24">..gif" width="48" height="21">. Să le substituim în a doua ecuație și să găsim valorile variabilei:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image041_28.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20 src=">, perechea (10; 5) nu este o soluție la sistemul original.

https://pandia.ru/text/78/063/images/image044_23.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20">. Este ușor de verificat că perechea de numere găsită este o soluție la sistemul original.

Răspuns: (-10; -5)

Pentru a rezolva cu succes sistemele exponențiale și logaritmice de ecuații, să ne amintim definiția și proprietățile logaritmului.

Logaritmul unui numărbbaza a este exponentul la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărulb.

Proprietățile de bază ale logaritmilor:

1) https://pandia.ru/text/78/063/images/image047_24.gif" width="125" height="25">;

2) https://pandia.ru/text/78/063/images/image049_23.gif" width="120" height="41">;

3) https://pandia.ru/text/78/063/images/image051_23.gif" width="99 height=45" height="45">.

4) https://pandia.ru/text/78/063/images/image053_22.gif" width="93" height="24 src=">; 9)

5) https://pandia.ru/text/78/063/images/image056_20.gif" width="53" height="24 src=">;

Să enumerăm principalele proprietăți ale funcțiilor exponențiale și logaritmice:

1) Domeniul de definire al funcției, unde este întregul set de numere reale; funcții https://pandia.ru/text/78/063/images/image058_21.gif" width="77" height="21 src="> - un set de numere reale pozitive.

2) Setul de valori ale funcției este mulțimea numerelor reale pozitive; funcții https://pandia.ru/text/78/063/images/image060_20.gif" width="35" height="19">ambele funcții cresc; dacă - ambele funcții scad.

Cometariu.În conformitate cu a doua proprietate, atunci când rezolvați ecuații logaritmice este necesar fie să aflați intervalul de valori admisibile ale ecuației, fie după rezolvarea acesteia să faceți o verificare.

O ecuație exponențială este o ecuație transcendentală în care necunoscutul este inclus în exponentul unor cantități. La rezolvarea ecuațiilor exponențiale se folosesc două metode principale:

1) trecerea de la ecuația ……….(1) la ecuația ;

2) introducerea de noi variabile.

Uneori trebuie să folosești tehnici artificiale.

Prima metodă de rezolvare a ecuațiilor exponențiale se bazează pe următoarea teoremă:

Dacă, apoi ecuația este echivalentă cu ecuația .

Să enumerăm principalele tehnici de reducere a unei ecuații exponențiale la o ecuație de forma (1).

1. Reducerea ambelor părți ale ecuației la aceeași bază.

2. Logaritmizați ambele părți ale ecuației (dacă sunt strict pozitive) folosind aceeași bază.

Cometariu. Puteți, în general, să luați un logaritm în orice bază, dar de obicei luați logaritmul într-una dintre bazele puterilor incluse în ecuație.

3. Factorizarea părții stângi a ecuației și reducerea ecuației la un set de mai multe ecuații de forma (1).

O ecuație logaritmică este o ecuație transcendentală în care necunoscutul este inclus în argumentul logaritmului.

La rezolvarea ecuațiilor logaritmice se folosesc două metode principale:

1) trecerea de la ecuație la o ecuație de formă;

2) introducerea de noi variabile.

Cometariu. Deoarece domeniul de definire al unei funcții logaritmice este doar un set de numere reale pozitive, atunci când se rezolvă ecuații logaritmice este necesar fie să se găsească domeniul valorilor permise ale ecuației (ADV), fie după găsirea soluțiilor ecuației pentru a face o verificare.

Rezolvarea celei mai simple ecuații logaritmice a formei

https://pandia.ru/text/78/063/images/image066_13.gif" width="43" height="21 src="> - singura rădăcină.

Pentru o ecuație de forma https://pandia.ru/text/78/063/images/image068_13.gif" width="65" height="24">.

Exemplul 4. Găsiți valoarea expresiei dacă perechea este o soluție a sistemului de ecuații https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">.

2. Deoarece ecuațiile sistemului conțin logaritmi în două baze diferite, să trecem la o bază 3: ..gif" width="65" height="93">..gif" width="41 height=21" height="21">, tragem concluzia că este o rădăcină străină. Din prima ecuație a ultimului sistem găsim valoarea la: https://pandia.ru/text/78/063/images/image082_11.gif" width="131 height=21" height="21">

Exemplul 5. Găsiți cea mai mare sumă dacă perechea este o soluție a sistemului de ecuații https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> din a doua ecuație a sistemului: ..gif" width="161" height="21">. Am obținut o ecuație exponențială pentru o variabilă.

Să folosim proprietățile gradului: . Ecuația implică puteri cu două baze diferite. Tehnica standard pentru trecerea la o bază este împărțirea ambelor părți ale ecuației la una dintre puterile cu cel mai mare exponent..gif" width="164" height="49">. Metoda standard pentru rezolvarea acestui tip de exponențial ecuația este de a schimba variabila. Fie (rețineți că pe baza proprietăților funcției exponențiale, valoarea noii variabile trebuie să fie pozitivă), atunci obținem ecuația https://pandia.ru/text/78/063/ images/image092_10.gif" width="41" height="41">; . Rezolvăm o mulțime de două ecuații: . Primim: ; .

Din ecuația https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17">:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image097_11.gif" width="68" height="41 src=">.gif" width="67" height="23 src=">. Astfel, perechi și https://pandia.ru/text/78/063/images/image083_11.gif" width="37" height="19 src="> și selectați-o pe cea mai mare, care este evident egală cu 3.

Să luăm în considerare câteva exemple de sisteme „combinate” de ecuații care includ ecuații de diferite tipuri: iraționale, logaritmice, exponențiale.

Exemplul 6. Rezolvați sistemul de ecuații https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">,

2. Transformați sistemul folosind proprietățile gradului și logaritmului:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image104_9.gif" width="69" height="24 src="> (1), apoi a doua ecuație a sistemului va lua forma: Să rezolvați această ecuație rațională fracționară, ținând cont de faptul că . Obținem: ; https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> prin .

Când https://pandia.ru/text/78/063/images/image109_8.gif" width="77" height="24 src=">.gif" width="104" height="24 src="> . Să rezolvăm această ecuație: deoarece trebuie să fie pozitivă, atunci aceasta este o rădăcină străină; https://pandia.ru/text/78/063/images/image110_8.gif" width="49 height=41" height="41">, obținem .

Când https://pandia.ru/text/78/063/images/image115_7.gif" width="65" height="24 src=">.gif" width="116" height="24 src="> . Am constatat deja că, prin urmare, doar al doilea factor al produsului poate fi egal cu zero: https://pandia.ru/text/78/063/images/image120_7.gif" width="85" height="28 ">. Evident, care este o rădăcină străină. În consecință, o altă soluție a sistemului este perechea .

În timp ce studiază algebra, școlarii se confruntă cu multe tipuri de ecuații. Printre cele mai simple sunt cele liniare, care conțin o necunoscută. Dacă o variabilă dintr-o expresie matematică este ridicată la o anumită putere, atunci ecuația se numește pătratică, cubică, biquadratică și așa mai departe. Aceste expresii pot conține numere raționale. Dar există și ecuații iraționale. Ele diferă de altele prin prezența unei funcții în care necunoscutul se află sub semnul radical (adică pur extern, variabila aici poate fi văzută scrisă sub rădăcina pătrată). Rezolvarea ecuațiilor iraționale are propriile sale caracteristici. Atunci când se calculează valoarea unei variabile pentru a obține răspunsul corect, acestea trebuie luate în considerare.

„Nespus în cuvinte”

Nu este un secret pentru nimeni că matematicienii antici operau în principal cu numere raționale. Acestea includ, după cum se știe, numere întregi exprimate prin fracții periodice ordinare și zecimale, reprezentanți ai unei comunități date. Cu toate acestea, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și Apropiat, precum și din India, care dezvoltă trigonometria, astronomia și algebra, au învățat și ei să rezolve ecuații iraționale. De exemplu, grecii cunoșteau cantități similare, dar punându-le sub formă verbală, au folosit conceptul „alogos”, care însemna „inexprimabil”. Ceva mai târziu, europenii, imitându-i, au numit astfel de numere „surde”. Ele diferă de toate celelalte prin aceea că pot fi reprezentate doar sub forma unei fracții neperiodice infinite, a cărei expresie numerică finală este pur și simplu imposibil de obținut. Prin urmare, mai des astfel de reprezentanți ai regatului numerelor sunt scrise sub formă de numere și semne ca o expresie situată sub rădăcina gradului al doilea sau superior.

Pe baza celor de mai sus, să încercăm să definim o ecuație irațională. Astfel de expresii conțin așa-numitele „numere inexprimabile”, scrise folosind semnul rădăcinii pătrate. Pot fi tot felul de opțiuni destul de complexe, dar în forma lor cea mai simplă arată ca cea din fotografia de mai jos.

Când începeți să rezolvați ecuații iraționale, în primul rând este necesar să calculați intervalul de valori admisibile ale variabilei.

Are sens expresia?

Necesitatea verificării valorilor obținute rezultă din proprietăți. După cum se știe, o astfel de expresie este acceptabilă și are orice semnificație numai în anumite condiții. În cazul rădăcinilor de grade pare, toate expresiile radicale trebuie să fie pozitive sau egale cu zero. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci notația matematică prezentată nu poate fi considerată semnificativă.

Să dăm un exemplu specific despre cum să rezolvăm ecuațiile iraționale (imaginea de mai jos).

În acest caz, este evident că condițiile specificate nu pot fi îndeplinite pentru nicio valoare acceptată de valoarea dorită, deoarece se dovedește că 11 ≤ x ≤ 4. Aceasta înseamnă că numai Ø poate fi soluția.

Metoda de analiză

Din cele de mai sus, devine clar cum se rezolvă unele tipuri de ecuații iraționale. Aici o analiză simplă poate fi o modalitate eficientă.

Să dăm o serie de exemple care vor demonstra din nou clar acest lucru (imaginea de mai jos).

În primul caz, la o examinare atentă a expresiei, se dovedește imediat a fi extrem de clar că nu poate fi adevărată. Într-adevăr, partea stângă a egalității ar trebui să rezulte într-un număr pozitiv, care nu poate fi egal cu -1.

În al doilea caz, suma a două expresii pozitive poate fi considerată egală cu zero numai atunci când x - 3 = 0 și x + 3 = 0 în același timp. Și acest lucru este din nou imposibil. Și asta înseamnă că răspunsul ar trebui să fie din nou scris Ø.

Al treilea exemplu este foarte asemănător cu cel deja discutat mai devreme. Într-adevăr, aici condițiile ODZ cer ca următoarea inegalitate absurdă să fie îndeplinită: 5 ≤ x ≤ 2. Și o astfel de ecuație în același mod nu poate avea soluții sensibile.

Zoom nelimitat

Natura iraționalului poate fi explicată și cunoscută cel mai clar și complet doar prin seria nesfârșită de numere zecimale. Un exemplu specific, izbitor al membrilor acestei familii este pi. Nu fără motiv, această constantă matematică este cunoscută încă din cele mai vechi timpuri, fiind folosită la calcularea circumferinței și a ariei unui cerc. Dar printre europeni a fost pusă în practică pentru prima dată de englezul William Jones și de elvețianul Leonard Euler.

Această constantă apare după cum urmează. Dacă comparăm cercuri cu circumferințe diferite, atunci raportul dintre lungimile și diametrele lor este în mod necesar egal cu același număr. Acesta este pi. Dacă o exprimăm printr-o fracție obișnuită, obținem aproximativ 22/7. Acest lucru a fost făcut mai întâi de marele Arhimede, al cărui portret este prezentat în figura de mai sus. De aceea un astfel de număr și-a primit numele. Dar aceasta nu este o valoare explicită, ci o valoare aproximativă a poate cel mai uimitor dintre numere. Un om de știință strălucit a găsit valoarea dorită cu o precizie de 0,02, dar, de fapt, această constantă nu are o semnificație reală, ci este exprimată ca 3,1415926535... Este o serie nesfârșită de numere, care se apropie la infinit de o valoare mitică.

Pătrare

Dar să revenim la ecuațiile iraționale. Pentru a găsi necunoscutul, în acest caz recurg foarte des la o metodă simplă: punerea la pătrat a ambelor părți ale egalității existente. Această metodă dă de obicei rezultate bune. Dar ar trebui să ținem cont de insidiosul cantităților iraționale. Toate rădăcinile obținute ca urmare a acestui lucru trebuie verificate, deoarece pot să nu fie potrivite.

Dar să continuăm să ne uităm la exemple și să încercăm să găsim variabilele folosind metoda nou propusă.

Nu este deloc dificil, folosind teorema lui Vieta, să găsim valorile dorite ale mărimilor după ce, în urma unor operații, am format o ecuație pătratică. Aici se dovedește că printre rădăcini vor fi 2 și -19. Cu toate acestea, atunci când verificați, înlocuind valorile rezultate în expresia originală, vă puteți asigura că niciuna dintre aceste rădăcini nu este potrivită. Aceasta este o apariție comună în ecuațiile iraționale. Aceasta înseamnă că dilema noastră din nou nu are soluții, iar răspunsul ar trebui să indice un set gol.

Exemple mai complexe

În unele cazuri, este necesar să pătrați ambele părți ale unei expresii nu o dată, ci de mai multe ori. Să ne uităm la exemple în care acest lucru este necesar. Ele pot fi văzute mai jos.

După ce ați primit rădăcinile, nu uitați să le verificați, deoarece pot apărea altele suplimentare. Ar trebui explicat de ce este posibil acest lucru. Când se aplică această metodă, ecuația este oarecum raționalizată. Dar scăpând de rădăcinile care nu ne plac, care ne împiedică să efectuăm operații aritmetice, se pare că extindem gama existentă de semnificații, care este încărcată (după cum se poate înțelege) cu consecințe. Anticipând acest lucru, efectuăm o verificare. În acest caz, există șansa de a vă asigura că numai una dintre rădăcini este potrivită: x = 0.

Sisteme

Ce ar trebui să facem în cazurile în care trebuie să rezolvăm sisteme de ecuații iraționale și avem nu una, ci două necunoscute? Aici acționăm în același mod ca în cazurile obișnuite, dar ținând cont de proprietățile de mai sus ale acestor expresii matematice. Și în fiecare sarcină nouă, desigur, ar trebui să utilizați o abordare creativă. Dar, din nou, este mai bine să luați în considerare totul folosind exemplul specific prezentat mai jos. Aici nu trebuie doar să găsiți variabilele x și y, ci și să indicați suma lor în răspuns. Deci, există un sistem care conține cantități iraționale (vezi fotografia de mai jos).

După cum puteți vedea, o astfel de sarcină nu reprezintă nimic supranatural de dificil. Trebuie doar să fii inteligent și să ghiciți că partea stângă a primei ecuații este pătratul sumei. Sarcini similare se găsesc în examenul de stat unificat.

Irațional în matematică

De fiecare dată, nevoia de a crea noi tipuri de numere a apărut în rândul umanității atunci când nu avea suficient „spațiu” pentru a rezolva unele ecuații. Numerele iraționale nu fac excepție. După cum mărturisesc fapte din istorie, marii înțelepți au acordat pentru prima dată atenție acestui lucru chiar înainte de epoca noastră, în secolul al VII-lea. Acest lucru a fost făcut de un matematician din India cunoscut sub numele de Manava. El a înțeles clar că este imposibil să extragi o rădăcină din unele numere naturale. De exemplu, acestea includ 2; 17 sau 61, precum și multe altele.

Unul dintre pitagoreeni, un gânditor pe nume Hippasus, a ajuns la aceeași concluzie încercând să facă calcule folosind expresii numerice ale laturilor pentagramei. Descoperind elemente matematice care nu pot fi exprimate în valori numerice și nu au proprietățile numerelor obișnuite, și-a înfuriat atât de tare colegii încât a fost aruncat peste bord, în mare. Faptul este că alți pitagoreici au considerat raționamentul său o rebeliune împotriva legilor universului.

Semnul radicalului: evoluția

Semnul rădăcinii pentru exprimarea valorii numerice a numerelor „surde” nu a început imediat să fie utilizat în rezolvarea inegalităților și ecuațiilor iraționale. Matematicienii europeni, în special italieni, au început să se gândească la radical în jurul secolului al XIII-lea. În același timp, le-a venit ideea de a folosi pentru desemnare latin R. Dar matematicienii germani au acționat diferit în lucrările lor. Le-a plăcut mai mult litera V. În Germania, s-a răspândit curând denumirea V(2), V(3), care era menită să exprime rădăcina pătrată a lui 2, 3 și așa mai departe. Mai târziu, olandezii au intervenit și au modificat semnul radicalului. Iar Rene Descartes a completat evoluția, aducând semnul rădăcinii pătrate la perfecțiunea modernă.

A scăpa de irațional

Ecuațiile și inegalitățile iraționale pot include o variabilă nu numai sub semnul rădăcinii pătrate. Poate fi de orice grad. Cea mai obișnuită modalitate de a scăpa de el este ridicarea ambelor părți ale ecuației la puterea corespunzătoare. Aceasta este acțiunea principală care ajută la operațiunile cu iraționalul. Acțiunile din cazurile pare nu sunt deosebit de diferite de cele despre care am discutat deja mai devreme. Aici trebuie luate în considerare condițiile de nenegativitate a expresiei radicale, iar la sfârșitul soluției este necesar să se filtreze valorile străine ale variabilelor în același mod cum a fost arătat în exemplele deja luate în considerare. .

Printre transformările suplimentare care ajută la găsirea răspunsului corect, se folosește adesea înmulțirea expresiei cu conjugatul său și este deseori necesară introducerea unei noi variabile, care facilitează rezolvarea. În unele cazuri, este recomandabil să folosiți grafice pentru a găsi valoarea necunoscutelor.

Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale.

Pregătirea preliminară pentru lecție: Elevii ar trebui să fie capabili să rezolve ecuații iraționale într-o varietate de moduri.

Cu trei săptămâni înainte de această lecție, elevii primesc tema numărul 1: rezolvați diverse ecuații iraționale. (Elevii găsesc în mod independent 6 ecuații iraționale diferite și le rezolvă în perechi.)

Cu o săptămână înainte de această lecție, elevii primesc tema nr. 2, pe care o completează individual.

1. Rezolvați ecuațiacăi diferite.

2. Evaluați avantajele și dezavantajele fiecărei metode.

3. Înregistrați constatările sub forma unui tabel.

№ p/p	Cale	Avantaje	Defecte

Obiectivele lecției:

Educational:generalizarea cunoștințelor elevilor pe această temă, demonstrarea diferitelor metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale, capacitatea elevilor de a aborda rezolvarea ecuațiilor din perspectiva cercetării.

Educational:promovarea independenței, a capacității de a-i asculta pe ceilalți și de a comunica în grupuri, creșterea interesului pentru subiect.

Dezvoltare:dezvoltarea gândirii logice, cultură algoritmică, abilități de autoeducare, autoorganizare, lucru în perechi atunci când faceți temele, abilități de a analiza, compara, generaliza și trage concluzii.

Echipament: calculator, proiector, ecran, tabel „Reguli pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale”, poster cu citat din M.V. Lomonosov „Matematica ar trebui predată numai atunci pentru că pune mintea în ordine”, cărți.

Reguli pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale.

Tip de lecție: lecție-seminar (se lucrează în grupe de 5-6 persoane, fiecare grupă trebuie să aibă elevi puternici).

În timpul orelor

eu . Organizarea timpului

(Comunicarea temei și a obiectivelor lecției)

II . Prezentarea lucrării de cercetare „Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale”

(Lucrarea este prezentată de studentul care a făcut-o.)

III . Analiza metodelor de rezolvare a temelor

(Un elev din fiecare grupă își notează pe tablă metodele de soluționare propuse. Fiecare grupă analizează una dintre metodele de rezolvare, evaluează avantajele și dezavantajele și trag concluzii. Elevii din grupuri adaugă dacă este necesar. Analiza și concluziile grupului sunt evaluate. Răspunsurile trebuie să fie clare și complete.)

Prima metodă: ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere și apoi verificarea.

Soluţie.

Să pătram din nou ambele părți ale ecuației:

De aici

Examinare:

1. Dacăx=42 atunci, ceea ce înseamnă numărul42 nu este rădăcina ecuației.

2. Dacăx=2, atunci, ceea ce înseamnă numărul2 este rădăcina ecuației.

Răspuns:2.

№ p/p	Cale	Avantaje	Defecte
	Ridicarea ambelor părți ale unei ecuații la aceeași putere	1. Văd. 2 disponibile.	1. Înregistrare verbală. 2. Verificare dificilă.

Concluzie. La rezolvarea ecuațiilor iraționale prin ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere, este necesar să se țină o înregistrare verbală, care să facă soluția de înțeles și accesibilă. Cu toate acestea, verificarea obligatorie este uneori complexă și necesită timp. Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva ecuații iraționale simple care conțin 1-2 radicali.

A doua metodă: transformări echivalente.

Soluţie:Să pătram ambele părți ale ecuației:

Răspuns:2.

№ p/p	Cale	Avantaje	Defecte
	Transformări echivalente	1. Lipsa descrierii verbale. 2. Nicio verificare. 3. Notație logică clară. 4. Succesiunea tranzițiilor echivalente.	1. Înregistrare greoaie. 2. Puteți face o greșeală când combinați semnele unui sistem și ale unui set.

Concluzie. Când rezolvați ecuații iraționale folosind metoda tranzițiilor echivalente, trebuie să știți clar când să puneți semnul sistemului și când să puneți semnul agregatului. Greutatea înregistrării și diferitele combinații de simboluri de sistem și combinații conduc adesea la erori. Cu toate acestea, succesiunea tranzițiilor echivalente, o notație logică clară, fără descriere verbală, care nu necesită verificare, sunt avantajele incontestabile ale acestei metode.

A treia metodă: funcțional-grafic.

Soluţie.

Să ne uităm la funcțiiȘi.

1. Funcțiepotolit; este în creștere, pentru că exponentul este un număr pozitiv (nu întreg).

D(f).

Să creăm un tabel de valoriXȘif( X).

	1,5		3,5
f(x)

2. Funcțiapotolit; este în scădere.

Să găsim domeniul de definire al funcțieiD( g).

Să creăm un tabel de valoriXȘig( X).

g(x)

Să construim aceste grafice de funcții într-un singur sistem de coordonate.

Graficele funcțiilor se intersectează în punctul de abscisăDeoarece funcţief( X) crește, iar funcțiag( X) scade, atunci va exista o singură soluție a ecuației.

Răspuns: 2.

№p/p	Cale	Avantaje	Defecte
	Funcțional-grafic	1. Vizibilitate. 2. Nu este nevoie să faceți transformări algebrice complexe și să monitorizați ODZ. 3. Vă permite să găsiți numărul de soluții.	1. înregistrare verbală. 2. Nu este întotdeauna posibil să găsiți un răspuns exact, iar dacă răspunsul este exact, atunci este necesară verificarea.

Concluzie. Metoda funcțional-grafică este vizuală și vă permite să găsiți numărul de soluții, dar este mai bine să o utilizați atunci când puteți construi cu ușurință grafice ale funcțiilor luate în considerare și puteți obține un răspuns precis. Dacă răspunsul este aproximativ, atunci este mai bine să folosiți o altă metodă.

A patra metodă: introducerea unei noi variabile.

Soluţie.Să introducem noi variabile, denotândObținem prima ecuație a sistemului

Să creăm a doua ecuație a sistemului.

Pentru o variabilă:

Pentru o variabilă

De aceea

Obținem un sistem de două ecuații raționale, în raport cuȘi

Revenind la variabilă, primim

Introducerea unei noi variabile

Simplificare - obținerea unui sistem de ecuații care nu conține radicali

1. Necesitatea de a urmări DID-ul noilor variabile

2. Necesitatea revenirii la variabila originală

Concluzie. Această metodă este utilizată cel mai bine pentru ecuații iraționale care conțin radicali de diferite grade sau polinoame identice sub semnul rădăcinii și în spatele semnului rădăcinii sau expresii reciproce sub semnul rădăcinii.

- Deci, băieți, pentru fiecare ecuație irațională trebuie să alegeți cel mai convenabil mod de a o rezolva: de înțeles. Accesibil, proiectat logic și competent. Ridicați mâna care dintre voi ar prefera:

1) metoda de ridicare a ambelor părți ale ecuației la aceeași putere cu verificare;

2) metoda transformărilor echivalente;

3) metoda functional-grafica;

4) metoda de introducere a unei noi variabile.

IV . Partea practică

(Se lucrează în grupuri. Fiecare grupă de elevi primește un cartonaș cu o ecuație și o rezolvă în caiete. În acest moment, un reprezentant al grupei rezolvă un exemplu pe tablă. Elevii fiecărei grupe rezolvă același exemplu ca un membru al grupul lor și monitorizează sarcinile de execuție corectă pe tablă.Dacă persoana care răspunde la tablă greșește, atunci cel care le observă ridică mâna și ajută la corectarea lor.În timpul lecției, fiecare elev, pe lângă exemplul rezolvat de către grupul său, trebuie să noteze celelalte propuse grupelor într-un caiet și să le rezolve acasă.)

Grupa 1.

Grupa 2.

Grupa 3.

V . Muncă independentă

(În grupuri, există mai întâi o discuție, iar apoi elevii încep să finalizeze sarcina. Soluția corectă, pregătită de profesor, este afișată pe ecran.)

VI . Rezumând lecția

Acum știi că rezolvarea ecuațiilor iraționale necesită cunoștințe teoretice bune, capacitatea de a le aplica în practică, atenție, muncă asiduă și inteligență.

Teme pentru acasă

Rezolvați ecuațiile date grupelor în timpul lecției.