სტუდენტებისთვის სამედიცინო, პედიატრიული, სტომატოლოგიური

და სამედიცინო და პროფილაქტიკური ფაკულტეტები

ლაბორატორიული მუშაობისთვის

"მათემატიკური ანალიზის ძირითადი ცნებები"

1. თემის მეცნიერული და მეთოდოლოგიური დასაბუთება:

წარმოებული და დიფერენციალური ცნებები მათემატიკური ანალიზის ძირითად ცნებებს შორისაა. წარმოებულების გამოთვლა აუცილებელია ფიზიკასა და მათემატიკაში მრავალი ამოცანის ამოხსნისას (სიჩქარის პოვნა, აჩქარება, წნევა და ა.შ.). წარმოებულის ცნების მნიშვნელობა, კერძოდ, განისაზღვრება იმით, რომ ფუნქციის წარმოებული ახასიათებს ამ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს, როდესაც იცვლება მისი არგუმენტი.

დიფერენციალური გამოყენება შესაძლებელს ხდის მიახლოებითი გამოთვლების განხორციელებას, ასევე შეფასების შეცდომებს.

ფუნქციების წარმოებულებისა და დიფერენციალების პოვნის მეთოდები და მათი გამოყენება წარმოადგენს დიფერენციალური გამოთვლების მთავარ ამოცანას. წარმოებულის ცნების საჭიროება ჩნდება მოძრაობის სიჩქარის გამოთვლისა და მრუდის ტანგენსის კუთხის პოვნის პრობლემის ფორმულირებასთან დაკავშირებით. შებრუნებული პრობლემა ასევე შესაძლებელია: სიჩქარის გამოყენება განვლილი მანძილის დასადგენად და ტანგენტის კუთხის ტანგენტის გამოყენება შესაბამისი ფუნქციის მოსაძებნად. ამ შებრუნებულ პრობლემას მივყავართ განუსაზღვრელი ინტეგრალის ცნებამდე.

განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება გამოიყენება მთელ რიგ პრაქტიკულ ამოცანებში, კერძოდ, სიბრტყე ფიგურების ფართობების გამოთვლის, ცვლადი ძალის მიერ შესრულებული სამუშაოს გაანგარიშებისა და ფუნქციის საშუალო მნიშვნელობის პოვნის ამოცანებში.

სხვადასხვა ფიზიკური, ქიმიური, ბიოლოგიური პროცესებისა და ფენომენების მათემატიკურად აღწერისას ხშირად გამოიყენება განტოლებები, რომლებიც შეიცავს არა მხოლოდ შესწავლილ რაოდენობებს, არამედ ამ რაოდენობების სხვადასხვა რიგის მათ წარმოებულებს. მაგალითად, ბაქტერიების გამრავლების კანონის უმარტივესი ვერსიის მიხედვით, გამრავლების სიჩქარე მოცემულ დროს ბაქტერიების რაოდენობის პროპორციულია. თუ ეს სიდიდე აღინიშნა N(t)-ით, მაშინ წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობის შესაბამისად ბაქტერიების გამრავლების სიჩქარე არის N(t) წარმოებული და აღნიშნული კანონის საფუძველზე შეგვიძლია დავწეროთ მიმართება N. "(t)=k∙N, სადაც k>0 - პროპორციულობის კოეფიციენტი. მიღებული განტოლება არ არის ალგებრული, ვინაიდან შეიცავს არა მხოლოდ უცნობ ფუნქციას N(t), არამედ მის პირველი რიგის წარმოებულს.

2. მოკლე თეორია:

1. წარმოებულის ცნებამდე მიმავალი პრობლემები

1. მატერიალური წერტილის v სიჩქარის პოვნის პრობლემა. დაე, რომელიმე მატერიალურმა წერტილმა შეასრულოს მართკუთხა მოძრაობა. დროის მომენტში ტ 1 წერტილი არის პოზიციაში მ 1. დროის მომენტში ტ 2 ორსული მ 2 . მოდით აღვნიშნოთ ინტერვალი მ 1 , მ 2 მეშვეობით ΔS; ტ 2 -ტ 1 =Δt. მნიშვნელობას ეწოდება მოძრაობის საშუალო სიჩქარე. წერტილის მყისიერი სიჩქარის პოვნა პოზიციაზე მ 1 საჭირო Δtიჩქარეთ ნულისკენ. მათემატიკურად ეს იმას ნიშნავს

, (1)

ამრიგად, მატერიალური წერტილის მყისიერი სიჩქარის საპოვნელად, საჭიროა გამოვთვალოთ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი. ΔSΔt არგუმენტის მატებამდე, იმ პირობით, რომ Δt→0.

2. ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხის პოვნის ამოცანა.

ნახ.1

განვიხილოთ ზოგიერთი ფუნქციის გრაფიკი y=f(x).რა არის დახრის კუთხე?
წერტილზე დახატული ტანგენსი მ 1 ? წერტილში მ 1 დავხატოთ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი. შეარჩიეთ თვითნებური წერტილი გრაფიკზე მ 2 და დახაზეთ სეკანტი. ღერძისკენ არის დახრილი ოჰკუთხით α 1 . განვიხილოთ ΔM 1 მ 2 A:

, (2)

თუ წერტილი მ 1 დააფიქსირე და მიუთითე მ 2 მიახლოება მ 1 , შემდეგ სეკანტი მ 1 მ 2 წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტურად წავა მ 1 და ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:

, (3)

ამრიგად, აუცილებელია გამოვთვალოთ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ლიმიტი არგუმენტის ზრდასთან, თუ არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის.

y=f(x) ფუნქციის Δy ნაზრდის შეფარდების შეფარდება Δx არგუმენტის ზრდასთან მოცემულ x წერტილში. 0 რადგან Δx მიდრეკილია ნულისკენ, მას უწოდებენ მოცემულ წერტილში ფუნქციის წარმოებულს.

წარმოებული აღნიშვნა: y", f "(x), . ა-პრიორიტეტი

, (4)

სადაც Δx=х 2 -х 1 არის არგუმენტის ზრდა (სხვაობა არგუმენტის ორ მომდევნო საკმაოდ ახლო მნიშვნელობას შორის), Δy=y 2 -y 1 არის ფუნქციის ზრდა (სხვაობა მნიშვნელობებს შორის არგუმენტის ამ მნიშვნელობების შესაბამისი ფუნქციის).

მოცემული ფუნქციის წარმოებულის პოვნას მისი ეწოდება დიფერენციაცია. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების დიფერენცირება ხორციელდება მზა ფორმულების გამოყენებით (იხ. ცხრილი), ასევე გამოყენებით წესები:

ალგებრული ჯამის წარმოებული ფუნქციები უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს:

(u+ υ )"= u" + υ "

2. ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული უდრის მეორე ფუნქციის ნამრავლების ჯამს და პირველი და პირველი ფუნქციის წარმოებულს და მეორის წარმოებულს:

(უ∙υ )"=უ"υ +uυ "

3. კოეფიციენტის წარმოებული ორი ფუნქცია ტოლია წილადისა, რომლის მრიცხველი არის სხვაობა მნიშვნელის პროდუქტებსა და მრიცხველის წარმოებულსა და მრიცხველისა და მნიშვნელის წარმოებულს შორის, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელის კვადრატი:

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა. (4) და (1)-ის შედარებიდან გამომდინარეობს, რომ მატერიალური წერტილის მართკუთხა მოძრაობის მყისიერი სიჩქარე უდრის მისი კოორდინატის დროზე დამოკიდებულების წარმოებულს.

ფუნქციის წარმოებულის ზოგადი მნიშვნელობა არის ის, რომ ის ახასიათებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე (სიჩქარე).არგუმენტის მოცემული ცვლილებისთვის. ფიზიკური, ქიმიური და სხვა პროცესების სიჩქარე, მაგალითად, სხეულის გაგრილების სიჩქარე, ქიმიური რეაქციის სიჩქარე, ბაქტერიების გამრავლების სიჩქარე და ა.შ., ასევე გამოხატულია წარმოებულის გამოყენებით.

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის დახრის კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა მათემატიკაში ეწოდება ტანგენტის კუთხის კოეფიციენტი.

გარკვეულ წერტილში დიფერენცირებადი ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის კუთხური კოეფიციენტი რიცხობრივად უდრის ამ წერტილის ფუნქციის წარმოებულს.

ამ განცხადებას ე.წ წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

რომელზედაც ჩვენ შევისწავლეთ უმარტივესი წარმოებულები, ასევე გავეცანით დიფერენციაციის წესებს და წარმოებულების პოვნის ზოგიერთ ტექნიკურ ტექნიკას. ამრიგად, თუ თქვენ არ ხართ ძალიან კარგად ფუნქციების წარმოებულები ან ამ სტატიის ზოგიერთი პუნქტი არ არის სრულიად ნათელი, მაშინ ჯერ წაიკითხეთ ზემოთ მოცემული გაკვეთილი. გთხოვ სერიოზულ ხასიათზე დადექი - მასალა მარტივი არ არის, მაგრამ მაინც შევეცდები მარტივად და გარკვევით წარმოვადგინო.

პრაქტიკაში, რთული ფუნქციის წარმოებულთან ძალიან ხშირად გიწევს საქმე, მე ვიტყოდი, თითქმის ყოველთვის, როცა დავალებებს აძლევენ წარმოებულების პოვნას.

ჩვენ ვუყურებთ ცხრილს კომპლექსური ფუნქციის დიფერენცირების წესს (No. 5):

მოდი გავარკვიოთ. პირველ რიგში ყურადღება მივაქციოთ ჩანაწერს. აქ გვაქვს ორი ფუნქცია - და, და ფუნქცია, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, ფუნქციის შიგნით არის ჩასმული. ამ ტიპის ფუნქციას (როდესაც ერთი ფუნქცია მეორეშია ჩადგმული) რთული ფუნქცია ეწოდება.

დავრეკავ ფუნქციას გარე ფუნქციადა ფუნქცია - შიდა (ან წყობილი) ფუნქცია.

! ეს განმარტებები არ არის თეორიული და არ უნდა გამოჩნდეს დავალებების საბოლოო დიზაინში. მე ვიყენებ არაფორმალურ გამოთქმებს „გარე ფუნქცია“, „შინაგანი“ ფუნქცია მხოლოდ იმისთვის, რომ გაგიადვილოთ მასალის გაგება.

სიტუაციის გასარკვევად, განიხილეთ:

მაგალითი 1

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

სინუსის ქვეშ ჩვენ გვაქვს არა მხოლოდ ასო "X", არამედ მთელი გამოხატულება, ასე რომ, წარმოებულის პოვნა ცხრილიდან მოშორებით არ იმუშავებს. ჩვენ ასევე ვამჩნევთ, რომ აქ პირველი ოთხი წესის გამოყენება შეუძლებელია, როგორც ჩანს, განსხვავებაა, მაგრამ ფაქტია, რომ სინუსის "ნაწილებად დაშლა" შეუძლებელია:

ამ მაგალითში, ჩემი ახსნა-განმარტებიდან უკვე ინტუიციურად ცხადია, რომ ფუნქცია რთული ფუნქციაა, ხოლო მრავალწევრი არის შიდა ფუნქცია (ჩანერგვა) და გარე ფუნქცია.

Პირველი ნაბიჯირა უნდა გააკეთოთ რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნისას არის გააცნობიეროს რომელი ფუნქციაა შიდა და რომელი გარე.

მარტივი მაგალითების შემთხვევაში, აშკარად ჩანს, რომ პოლინომი ჩასმულია სინუსის ქვეშ. მაგრამ რა მოხდება, თუ ყველაფერი აშკარა არ არის? როგორ ზუსტად განვსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა? ამისათვის მე გთავაზობთ შემდეგი ტექნიკის გამოყენებას, რომელიც შეიძლება გაკეთდეს გონებრივად ან მონახაზში.

წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ გამოთქმის მნიშვნელობა at კალკულატორზე (ერთის ნაცვლად შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი).

პირველ რიგში რას გამოვთვლით? Პირველ რიგშითქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი მოქმედება: , შესაბამისად, პოლინომი იქნება შიდა ფუნქცია:

მეორეცუნდა მოიძებნოს, ამიტომ სინუსი - იქნება გარე ფუნქცია:

ჩვენ შემდეგ ᲒᲐᲧᲘᲓᲣᲚᲘᲐშიდა და გარე ფუნქციებით, დროა გამოვიყენოთ რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესი .

დავიწყოთ გადაწყვეტილების მიღება. გაკვეთილიდან როგორ მოვძებნოთ წარმოებული?ჩვენ გვახსოვს, რომ ნებისმიერი წარმოებულის ამოხსნის დიზაინი ყოველთვის იწყება ასე - ჩვენ ვსვამთ გამონათქვამს ფრჩხილებში და ვათავსებთ შტრიხს ზედა მარჯვნივ:

Პირველადვპოულობთ გარეგანი ფუნქციის წარმოებულს (სინუსს), დავაკვირდებით ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულთა ცხრილს და ვამჩნევთ, რომ . ცხრილის ყველა ფორმულა ასევე გამოიყენება, თუ "x" ჩანაცვლებულია რთული გამოსახულებით, ამ შემთხვევაში:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ შიდა ფუნქცია არ შეცვლილა, არ ვეხებით.

ისე, ეს სრულიად აშკარაა

ფორმულის გამოყენების შედეგი მისი საბოლოო სახით ასე გამოიყურება:

მუდმივი ფაქტორი ჩვეულებრივ მოთავსებულია გამოხატვის დასაწყისში:

თუ რაიმე გაუგებრობაა, დაწერეთ გამოსავალი ქაღალდზე და ხელახლა წაიკითხეთ განმარტებები.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

როგორც ყოველთვის, ჩვენ ვწერთ:

მოდით გავარკვიოთ სად გვაქვს გარეგანი ფუნქცია და სად გვაქვს შინაგანი. ამისათვის ჩვენ ვცდილობთ (გონებრივად ან მონახაზში) გამოვთვალოთ გამოხატვის მნიშვნელობა ზე. რა უნდა გააკეთო პირველ რიგში? უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გამოთვალოთ რის ტოლია ფუძე: მაშასადამე, მრავალწევრი არის შიდა ფუნქცია:

და მხოლოდ ამის შემდეგ ხდება ექსპონენტაცია, შესაბამისად, დენის ფუნქცია გარე ფუნქციაა:

ფორმულის მიხედვით , ჯერ უნდა იპოვოთ გარე ფუნქციის წარმოებული, ამ შემთხვევაში ხარისხი. ჩვენ ვეძებთ საჭირო ფორმულას ცხრილში: . კიდევ ერთხელ ვიმეორებთ: ნებისმიერი ცხრილის ფორმულა მოქმედებს არა მხოლოდ "X", არამედ რთული გამოსახულებისთვის. ამრიგად, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგი:

კიდევ ერთხელ ხაზს ვუსვამ, რომ როდესაც ვიღებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, ჩვენი შინაგანი ფუნქცია არ იცვლება:

ახლა რჩება მხოლოდ შიდა ფუნქციის ძალიან მარტივი წარმოებულის პოვნა და შედეგის ოდნავ შეცვლა:

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომლითაც თქვენ თვითონ გადაჭრით (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

რთული ფუნქციის წარმოებულის გაგების გასამყარებლად, მაგალითს მოგიყვან კომენტარების გარეშე, ვეცდები დამოუკიდებლად გაარკვიო, ახსნა სად არის გარე და სად შინაგანი ფუნქცია, რატომ წყდება ამოცანები ასე?

მაგალითი 5

ა) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

ბ) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ გვაქვს ფესვი და ფესვის დიფერენცირებისთვის ის ძალაუფლების სახით უნდა იყოს წარმოდგენილი. ამრიგად, ჯერ ფუნქციას მივყავართ დიფერენციაციისთვის შესაბამის ფორმაში:

ფუნქციის გაანალიზებისას მივდივართ დასკვნამდე, რომ სამი წევრის ჯამი შიდა ფუნქციაა, ხოლო ძალამდე აწევა გარეგანი ფუნქციაა. ჩვენ ვიყენებთ რთული ფუნქციების დიფერენცირების წესს :

ჩვენ კვლავ წარმოვადგენთ ხარისხს, როგორც რადიკალს (ფესვე), ხოლო შიდა ფუნქციის წარმოებულს ვიყენებთ ჯამის დიფერენცირების მარტივ წესს:

მზადაა. თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამციროთ გამოხატულება საერთო მნიშვნელამდე ფრჩხილებში და ჩაწეროთ ყველაფერი ერთ წილადად. მშვენიერია, რა თქმა უნდა, მაგრამ როცა უხერხულ გრძელ წარმოებულებს იღებთ, ჯობია არ გააკეთოთ ეს (ადვილია დაბნეულობა, ზედმეტი შეცდომის დაშვება და მასწავლებლისთვის უხერხული იქნება შემოწმება).

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომლითაც თქვენ თვითონ გადაჭრით (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ზოგჯერ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის ნაცვლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი. , მაგრამ ასეთი გამოსავალი უჩვეულო გარყვნილებას წააგავს. აქ არის ტიპიური მაგალითი:

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კოეფიციენტის დიფერენცირების წესი , მაგრამ ბევრად უფრო მომგებიანია წარმოებულის პოვნა რთული ფუნქციის დიფერენციაციის წესით:

ჩვენ ვამზადებთ ფუნქციას დიფერენციაციისთვის - მინუსს გამოვიყვანთ წარმოებული ნიშნიდან და კოსინუსს ვზრდით მრიცხველში:

კოსინუსი არის შინაგანი ფუნქცია, ექსპონენტაცია გარეგანი ფუნქციაა.
გამოვიყენოთ ჩვენი წესი :

ჩვენ ვპოულობთ შიდა ფუნქციის წარმოებულს და კოსინუსს უკან ვაბრუნებთ:

მზადაა. განხილულ მაგალითში მნიშვნელოვანია, რომ არ დაიბნეთ ნიშნებში. სხვათა შორის, შეეცადეთ მოაგვაროთ იგი წესის გამოყენებით , პასუხები უნდა ემთხვეოდეს.

მაგალითი 9

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომლითაც თქვენ თვითონ გადაჭრით (პასუხი გაკვეთილის ბოლოს).

აქამდე ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევები, როდესაც გვქონდა მხოლოდ ერთი ბუდე კომპლექსურ ფუნქციაში. პრაქტიკულ ამოცანებში ხშირად შეგიძლიათ იპოვოთ წარმოებულები, სადაც მობუდული თოჯინების მსგავსად, ერთი მეორეში, ერთდროულად 3 ან თუნდაც 4-5 ფუნქციაა ჩასმული.

მაგალითი 10

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული

მოდით გავიგოთ ამ ფუნქციის დანართები. შევეცადოთ გამოვთვალოთ გამოხატულება ექსპერიმენტული მნიშვნელობის გამოყენებით. როგორ ვითვლით კალკულატორს?

ჯერ უნდა იპოვოთ, რაც ნიშნავს, რომ რკალი არის ყველაზე ღრმა ჩადგმა:

ერთის ეს რკალი მაშინ უნდა დაიწიოს კვადრატში:

და ბოლოს, ჩვენ ვზრდით შვიდს ძალამდე:

ანუ, ამ მაგალითში გვაქვს სამი განსხვავებული ფუნქცია და ორი ჩაშენება, ხოლო ყველაზე შიდა ფუნქცია არის რკალი, ხოლო ყველაზე გარე ფუნქცია არის ექსპონენციალური ფუნქცია.

დავიწყოთ გადაწყვეტილების მიღება

წესის მიხედვით ჯერ უნდა აიღოთ გარე ფუნქციის წარმოებული. ჩვენ ვუყურებთ წარმოებულთა ცხრილს და ვპოულობთ ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებულს: ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ „x“-ის ნაცვლად გვაქვს რთული გამოხატულება, რომელიც არ უარყოფს ამ ფორმულის ნამდვილობას. ასე რომ, რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენების შედეგი შემდეგი.

მათემატიკური ანალიზი.

სახელოსნო.

უნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის სპეციალობაში:

"სახელმწიფო და მუნიციპალური ადმინისტრაცია"

თ.ზ. პავლოვა

კოლპაშევო 2008 წ

თავი 1: ანალიზის შესავალი

1.1 ფუნქციები. ზოგადი თვისებები

1.2 ლიმიტის თეორია

1.3 ფუნქციის უწყვეტობა

2.1 წარმოებულის განმარტება

2.4 ფუნქციის კვლევა

2.4.1 სრული ფუნქციის შესწავლის დიზაინი

2.4.2 ფუნქციის შესწავლის მაგალითები

2.4.3. ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა სეგმენტზე

2.5 L'Hopital-ის წესი

3.1 განუსაზღვრელი ინტეგრალი

3.1.1 განმარტებები და თვისებები

3.1.2 ინტეგრალების ცხრილი

3.1.3 ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები

3.2 განსაზღვრული ინტეგრალი

3.2.2 განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის ხერხები

თავი 4. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციები

4.1 ძირითადი ცნებები

4.2 რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების ლიმიტები და უწყვეტობა

4.3.3 სრული დიფერენციალი და მისი გამოყენება მიახლოებით გამოთვლებში

თავი 5. ოპტიმიზაციის კლასიკური მეთოდები

6.1 სასარგებლო ფუნქცია.

6.2 გულგრილობის ხაზები

6.3 საბიუჯეტო კომპლექტი

საშინაო ტესტური დავალებები

1.1 ფუნქციები. ზოგადი თვისებები

რიცხვითი ფუნქცია განისაზღვრება რეალური რიცხვების D სიმრავლეზე, თუ ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა ასოცირდება y ცვლადის გარკვეულ რეალურ მნიშვნელობასთან, სადაც D არის ფუნქციის განსაზღვრის დომენი.

ფუნქციის ანალიტიკური წარმოდგენა:

აშკარად: ;

ირიბად: ;

პარამეტრული ფორმით:

სხვადასხვა ფორმულები განმარტების არეალში:

Თვისებები.

თანაბარი ფუნქცია: . მაგალითად, ფუნქცია ლუწია, რადგან .

უცნაური ფუნქცია: . მაგალითად, ფუნქცია უცნაურია, რადგან .

პერიოდული ფუნქცია: , სადაც T არის ფუნქციის პერიოდი, . მაგალითად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

მონოტონური ფუნქცია. თუ განსაზღვრების რომელიმე დომენისთვის ფუნქცია იზრდება, მაშინ ის მცირდება. მაგალითად, - იზრდება და - მცირდება.

შეზღუდული ფუნქცია. თუ არის M რიცხვი ისეთი რომ . მაგალითად, ფუნქციები და იმიტომ .

მაგალითი 1. იპოვეთ ფუნქციების განსაზღვრის დომენი.

+ 2 – 3 +

1.2 ლიმიტის თეორია

განმარტება 1. ფუნქციის ზღვარი at არის რიცხვი b, თუ რომელიმესთვის ( ეს არის თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვი) შეგიძლიათ იპოვოთ არგუმენტის მნიშვნელობა, საიდანაც იწყება უტოლობა.

Დანიშნულება: .

განმარტება 2. ფუნქციის ზღვარი at არის რიცხვი b თუ რომელიმესთვის (ეს არის თვითნებურად მცირე დადებითი რიცხვი) არის ისეთი დადებითი რიცხვი, რომ x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას, უტოლობა დაკმაყოფილებულია.

Დანიშნულება: .

განმარტება 3.ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა ან თუ ან.

Თვისებები.

1. უსასრულო რაოდენობის უსასრულო სიდიდეების ალგებრული ჯამი არის უსასრულო სიდიდე.

2. უსასრულო სიდიდისა და შემოსაზღვრული ფუნქციის ნამრავლი (მუდმივი, სხვა უსასრულო სიდიდე) არის უსასრულო სიდიდე.

3. უსასრულო სიდიდის იმ ფუნქციაზე გაყოფის კოეფიციენტი, რომლის ზღვარი არ არის ნულოვანი, არის უსასრულო სიდიდე.

განმარტება 4.ფუნქცია ითვლება უსასრულოდ დიდი, თუ.

Თვისებები.

1. უსასრულოდ დიდი სიდიდისა და ფუნქციის ნამრავლი, რომლის ზღვარი განსხვავდება ნულისაგან, არის უსასრულოდ დიდი რაოდენობა.

2. უსასრულოდ დიდი რაოდენობისა და შეზღუდული ფუნქციის ჯამი არის უსასრულოდ დიდი რაოდენობა.

3. უსასრულოდ დიდი სიდიდის გაყოფის კოეფიციენტი იმ ფუნქციაზე, რომელსაც აქვს ზღვარი, არის უსასრულოდ დიდი რაოდენობა.

თეორემა.(დამოკიდებულება უსასრულოდ მცირე რაოდენობასა და უსასრულოდ დიდ რაოდენობას შორის.) თუ ფუნქცია უსასრულოდ მცირეა (), მაშინ ფუნქცია არის უსასრულოდ დიდი რაოდენობა (-ზე). და, პირიქით, თუ ფუნქცია უსასრულოდ დიდია (), მაშინ ფუნქცია არის უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობა ().

ლიმიტის თეორემები.

1. ფუნქციას არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი ლიმიტი.

2. რამდენიმე ფუნქციის ალგებრული ჯამის ზღვარი ტოლია ამ ფუნქციების ზღვრების ალგებრული ჯამის:

3. რამდენიმე ფუნქციის ნამრავლის ზღვარი ტოლია ამ ფუნქციების ზღვრების ნამრავლის:

4. ხარისხის ზღვარი უდრის ზღვრის ხარისხს:

5. კოეფიციენტის ზღვარი ტოლია ზღვრების კოეფიციენტის, თუ არსებობს გამყოფის ზღვარი:

.

6. პირველი მშვენიერი ლიმიტი.

შედეგები:

7. მეორე ღირსშესანიშნავი ზღვარი:

შედეგები:

ექვივალენტური უსასრულოდ მცირე რაოდენობით:

ლიმიტების გაანგარიშება.

ლიმიტების გამოთვლისას გამოიყენება ძირითადი თეორემები ლიმიტების, უწყვეტი ფუნქციების თვისებებისა და ამ თეორემებიდან და თვისებებიდან გამომდინარე წესების შესახებ.

წესი 1.იმისათვის, რომ იპოვოთ ლიმიტი ფუნქციის წერტილში, რომელიც ამ ეტაპზე უწყვეტია, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ მისი ზღვრული მნიშვნელობა ლიმიტის ნიშნის ქვეშ არსებულ ფუნქციაში, არგუმენტის x-ის ნაცვლად.

მაგალითი 2. იპოვე

წესი 2.თუ წილადის ზღვრის პოვნისას მნიშვნელის ზღვარი ნულის ტოლია, ხოლო მრიცხველის ზღვარი განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ ასეთი ფუნქციის ზღვარი უდრის .

მაგალითი 3. იპოვეთ

წესი 3.თუ წილადის ზღვრის პოვნისას მნიშვნელის ზღვარი უდრის , ხოლო მრიცხველის ზღვარი განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ ასეთი ფუნქციის ზღვარი ნულის ტოლია.

მაგალითი 4. იპოვე

ხშირად, არგუმენტის ზღვრული მნიშვნელობის ჩანაცვლება იწვევს ფორმის განუსაზღვრელ გამონათქვამებს

.

ამ შემთხვევებში ფუნქციის ლიმიტის პოვნას ეწოდება გაურკვევლობის აღმოჩენა. გაურკვევლობის გამოსავლენად აუცილებელია ამ გამოთქმის ტრანსფორმაცია ზღვრამდე გადასვლამდე. გაურკვევლობების გამოსავლენად გამოიყენება სხვადასხვა ტექნიკა.

წესი 4. ტიპის გაურკვევლობა ვლინდება სუბლიმიტის ფუნქციის გარდაქმნით, ისე, რომ მრიცხველში და მნიშვნელში ვირჩევთ კოეფიციენტს, რომლის ზღვარი არის ნული და წილადის მასით შემცირებით, ვპოულობთ კოეფიციენტის ზღვარს. ამისათვის მრიცხველი და მნიშვნელი ან ფაქტორდება ან მრავლდება მრიცხველთან და მნიშვნელთან კონიუგირებული გამონათქვამებით.

წესი 5.თუ სუბლიმიტის გამოხატულება შეიცავს ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს, მაშინ პირველი მნიშვნელოვანი ლიმიტი გამოიყენება ფორმის გაურკვევლობის გადასაჭრელად.

.

წესი 6. ზე ფორმის განუსაზღვრელობის გამოსავლენად ქველიმიტური წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა გაიყოს არგუმენტის უმაღლეს ხარისხზე და შემდეგ უნდა მოიძებნოს კოეფიციენტის ზღვარი.

შესაძლო შედეგები:

1) საჭირო ზღვარი უდრის მრიცხველისა და მნიშვნელის არგუმენტის უმაღლესი ხარისხების კოეფიციენტების თანაფარდობას, თუ ეს ხარისხები ერთნაირია;

2) ლიმიტი უსასრულობის ტოლია, თუ მრიცხველის არგუმენტის ხარისხი აღემატება მნიშვნელის არგუმენტის ხარისხს;

3) ლიმიტი ნულის ტოლია, თუ მრიცხველის არგუმენტის ხარისხი დაბალია მნიშვნელის არგუმენტის ხარისხზე.

ა)

რადგან

სიმძლავრეები ტოლია, რაც იმას ნიშნავს, რომ ლიმიტი უდრის უმაღლესი ძალების კოეფიციენტების შეფარდებას, ე.ი. .

ბ)

მრიცხველისა და მნიშვნელის ხარისხი არის 1, რაც ნიშნავს, რომ ზღვარი არის

V)

მრიცხველის ხარისხი არის 1, მნიშვნელი არის , რაც ნიშნავს, რომ ზღვარი არის 0.

წესი 7. ფორმის განუსაზღვრელობის გამოსავლენად სუბლიმიტური წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა გავამრავლოთ კონიუგატულ გამოსახულებაში.

მაგალითი 10.

წესი 8. სახეობების გაურკვევლობის გამოსავლენად გამოიყენება მეორე მნიშვნელოვანი ზღვარი და მისი შედეგები.

ამის დამტკიცება შეიძლება

მაგალითი 11.

მაგალითი 12.

მაგალითი 13.

წესი 9. გაურკვევლობების გამოვლენისას, რომელთა სუბლიმიტური ფუნქცია შეიცავს b.m.v.-ს, აუცილებელია ამ b.m.v-ის ლიმიტების შეცვლა. მათ ეკვივალენტური ბმ-ის ზღვრებამდე.

მაგალითი 14.

მაგალითი 15.

წესი 10. L'Hopital-ის წესი (იხ. 2.6).

1.3 ფუნქციის უწყვეტობა

ფუნქცია უწყვეტია წერტილში, თუ ფუნქციის ლიმიტი, როგორც არგუმენტი a-სკენ არის მიდრეკილი, არსებობს და უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას ამ წერტილში.

ექვივალენტური პირობები:

1. ;

3.

შესვენების წერტილების კლასიფიკაცია:

1-ლი სახის რღვევა

მოსახსნელი - ცალმხრივი ლიმიტები არსებობს და თანაბარია;

შეუქცევადი (ნახტომი) – ცალმხრივი საზღვრები არ არის თანაბარი;

მეორე სახის შეწყვეტა: ფუნქციის ზღვარი წერტილში არ არსებობს.

მაგალითი 16. დაადგინეთ ფუნქციის უწყვეტობის ბუნება წერტილში ან დაამტკიცეთ ფუნქციის უწყვეტობა ამ წერტილში.

ფუნქცია არ არის განსაზღვრული, შესაბამისად, ის არ არის უწყვეტი ამ ეტაპზე. იმიტომ რომ და შესაბამისად, , მაშინ არის პირველი სახის მოსახსნელი შეწყვეტის წერტილი.

ბ)

(a) დავალებასთან შედარებით, ფუნქცია უფრო მეტად არის განსაზღვრული იმ წერტილში, რომ , რაც ნიშნავს, რომ ეს ფუნქცია ამ ეტაპზე უწყვეტია.

როდესაც ფუნქცია არ არის განსაზღვრული;

.

იმიტომ რომ ერთ-ერთი ცალმხრივი ზღვარი უსასრულოა, მაშინ ეს არის მეორე სახის შეწყვეტის წერტილი.

თავი 2. დიფერენციალური გაანგარიშება

2.1 წარმოებულის განმარტება

წარმოებულის განმარტება

წარმოებული ან მოცემული ფუნქციის არის ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის შესაბამის ზრდასთან, როდესაც არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის:

ან .

წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხის ტანგენსი:

2.2 დიფერენცირების ძირითადი წესები

სახელი	ფუნქცია	წარმოებული
გამრავლება მუდმივ კოეფიციენტზე
ორი ფუნქციის ალგებრული ჯამი
ორი ფუნქციის პროდუქტი
ორი ფუნქციის კოეფიციენტი
კომპლექსური ფუნქცია

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულები

არა.	ფუნქციის სახელი	ფუნქცია და მისი წარმოებული
1	მუდმივი
2	დენის ფუნქცია განსაკუთრებული შემთხვევები
3	ექსპონენციალური ფუნქცია განსაკუთრებული შემთხვევა
4	ლოგარითმული ფუნქცია განსაკუთრებული შემთხვევა
5	ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
6	საპირისპირო ტრიგონომეტრიული

ბ)

2.3 უმაღლესი რიგის წარმოებულები

ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული

ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული:

მაგალითი 18.

ა) იპოვეთ ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული.

გამოსავალი. ჯერ ვიპოვოთ პირველი რიგის წარმოებული .

პირველი რიგის წარმოებულიდან ისევ ავიღოთ წარმოებული.

მაგალითი 19. იპოვეთ ფუნქციის მესამე რიგის წარმოებული.

2.4 ფუნქციის კვლევა

2.4.1 სრული ფუნქციის შესწავლის გეგმა:

სრული ფუნქციის შესწავლის გეგმა:

1. ელემენტარული კვლევა:

იპოვეთ განსაზღვრების დომენი და მნიშვნელობათა დიაპაზონი;

გაარკვიეთ ზოგადი თვისებები: თანაბარობა (უცნაობა), პერიოდულობა;

იპოვეთ გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან;

განსაზღვრეთ მუდმივი ნიშნის არეები.

2. ასიმპტოტები:

იპოვეთ ვერტიკალური ასიმპტოტები, თუ ;

იპოვეთ ირიბი ასიმპტოტები: .

თუ რომელიმე რიცხვი, მაშინ – ჰორიზონტალური ასიმპტოტები.

3. კვლევა გამოყენებით:

იპოვნეთ კრიტიკული წერტილები. წერტილები, რომლებშიც არსებობს ან არ არსებობს;

განსაზღვრეთ გაზრდის ინტერვალები, იმ. ინტერვალები, რომლებზეც ფუნქცია მცირდება – ;

განსაზღვრეთ უკიდურესობა: წერტილები, რომლებითაც ნიშანი „+“-დან „–“-მდე იცვლება, არის მაქსიმალური წერტილები, „-“-დან „+“ არის მინიმალური წერტილები.

4. კვლევა გამოყენებით:

იპოვნეთ წერტილები, რომლებშიც არსებობს ან არ არსებობს;

იპოვეთ ამოზნექილობის არეები, ე.ი. ინტერვალები, რომლებზედაც და ჩაღრმავებები – ;

იპოვეთ დახრის წერტილები, ე.ი. წერტილები გავლისას, რომლებშიც ნიშანი იცვლება.

1. კვლევის ცალკეული ელემენტები გრაფიკზე გამოსახულია თანდათან, მათი აღმოჩენის მიხედვით.

2. თუ სირთულეები წარმოიქმნება ფუნქციის გრაფიკის აგებისას, მაშინ ფუნქციის მნიშვნელობები გვხვდება დამატებით წერტილებში.

3. კვლევის მიზანია ფუნქციის ქცევის ხასიათის აღწერა. მაშასადამე, აგებულია არა ზუსტი გრაფიკი, არამედ მისი მიახლოება, რომელზედაც ნათლად არის მონიშნული აღმოჩენილი ელემენტები (ექსტრემა, გადახრის წერტილები, ასიმპტოტები და ა.შ.).

4. არ არის აუცილებელი მოცემული გეგმის მკაცრად დაცვა; მნიშვნელოვანია, რომ არ გამოტოვოთ ფუნქციის ქცევის დამახასიათებელი ელემენტები.

2.4.2 ფუნქციის კვლევის მაგალითები:

1)

2) უცნაური ფუნქცია:

.

3) ასიმპტოტები.

– ვერტიკალური ასიმპტოტები, რადგან

ირიბი ასიმპტოტი.

5)

- დახრის წერტილი.

2) უცნაური ფუნქცია:

3) ასიმპტოტები: არ არსებობს ვერტიკალური ასიმპტოტები.

ირიბი:

- ირიბი ასიმპტოტები

4) - ფუნქცია იზრდება.

- დახრის წერტილი.

ამ ფუნქციის სქემატური გრაფიკი:

2) ზოგადი ფუნქცია

3) ასიმპტოტები

- არ არსებობს მიდრეკილი ასიმპტოტები

– ჰორიზონტალური ასიმპტოტი ზე

- დახრის წერტილი

ამ ფუნქციის სქემატური გრაფიკი:

2) ასიმპტოტები.

– ვერტიკალური ასიმპტოტი, რადგან

- არ არსებობს მიდრეკილი ასიმპტოტები

, – ჰორიზონტალური ასიმპტოტი

ამ ფუნქციის სქემატური გრაფიკი:

2) ასიმპტოტები

– ვერტიკალური ასიმპტოტი ზე, რადგან

- არ არსებობს მიდრეკილი ასიმპტოტები

, – ჰორიზონტალური ასიმპტოტი

3) – ფუნქცია მცირდება თითოეულ ინტერვალზე.

ამ ფუნქციის სქემატური გრაფიკი:

სეგმენტზე ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების მოსაძებნად შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი დიაგრამა:

1. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

2. იპოვეთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები, რომლებშიც არსებობს ან არ არსებობს.

3. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა მოცემულ სეგმენტს მიკუთვნებულ კრიტიკულ წერტილებში და მის ბოლოებში და აირჩიეთ მათგან ყველაზე დიდი და პატარა.

მაგალითი. იპოვეთ ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობა მოცემულ სეგმენტზე.

25. შორის

2) – კრიტიკული წერტილები

26. ინტერვალში.

წარმოებული არ არსებობს, მაგრამ 1 არ ეკუთვნის ამ ინტერვალს. ფუნქცია მცირდება ინტერვალზე, რაც ნიშნავს, რომ არ არის უდიდესი მნიშვნელობა, მაგრამ ყველაზე მცირე მნიშვნელობა არის .

2.5 L'Hopital-ის წესი

თეორემა. ორი უსასრულოდ მცირე ან უსასრულოდ დიდი ფუნქციის შეფარდების ზღვარი უდრის მათი წარმოებულების შეფარდების ზღვარს (სასრული ან უსასრულო), თუ ეს უკანასკნელი არსებობს მითითებული მნიშვნელობით.

იმათ. ტიპის გაურკვევლობების გამჟღავნებისას ან შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:

.

27.

თავი 3. ინტეგრალური გამოთვლა

3.1 განუსაზღვრელი ინტეგრალი

3.1.1 განმარტებები და თვისებები

განმარტება 1. ფუნქციას ეწოდება ანტიწარმოებული თუ .

განმარტება 2. f(x) ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი არის ამ ფუნქციის ყველა ანტიწარმოებულის სიმრავლე.

Დანიშნულება: , სადაც c არის თვითნებური მუდმივი.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები

1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული:

2. განუსაზღვრელი ინტეგრალის დიფერენციალი:

3. დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

4. ორი ფუნქციის ჯამის (განსხვავების) განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

5. მუდმივი კოეფიციენტის გაფართოება განუსაზღვრელი ინტეგრალის ნიშნის მიღმა:

3.1.2 ინტეგრალების ცხრილი

.1.3 ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდები

1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებების გამოყენება.

მაგალითი 29.

2. დიფერენციალური ნიშნის წარდგენა.

მაგალითი 30.

3. ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი:

ა) ჩანაცვლება ინტეგრალში

სად - ფუნქცია, რომლის ინტეგრირება უფრო ადვილია, ვიდრე ორიგინალი; - ფუნქცია ფუნქციის შებრუნებული; - ფუნქციის ანტიდერივატი.

მაგალითი 31.

ბ) ჩანაცვლება ფორმის ინტეგრალში:

მაგალითი 32.

მაგალითი 33.

4. ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი:

მაგალითი 34.

მაგალითი 35.

ცალკე ავიღოთ ინტეგრალი

დავუბრუნდეთ ჩვენს ინტეგრალს:

3.2 განსაზღვრული ინტეგრალი

3.2.1 განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება და მისი თვისებები

განმარტება.მიეცით უწყვეტი ფუნქცია გარკვეულ ინტერვალზე. მოდით ავაშენოთ მისი გრაფიკი.

ფიგურას, რომელიც ზემოთ არის შემოსაზღვრული მრუდით, მარცხნივ და მარჯვნივ სწორი ხაზებით და ქვემოთ აბსცისის ღერძის სეგმენტით a და b წერტილებს შორის, ეწოდება მრუდი ტრაპეცია.

S – ფართობი – მრუდი ტრაპეცია.

გაყავით შუალედი წერტილებით და მიიღეთ:

კუმულაციური ჯამი:

განმარტება. განსაზღვრული ინტეგრალი არის ინტეგრალური ჯამის ზღვარი.

განსაზღვრული ინტეგრალის თვისებები:

1. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან:

2. ორი ფუნქციის ალგებრული ჯამის ინტეგრალი ამ ფუნქციების ინტეგრალების ალგებრული ჯამის ტოლია:

3. თუ ინტეგრაციული სეგმენტი დაყოფილია ნაწილებად, მაშინ ინტეგრალი მთელ სეგმენტზე უდრის თითოეული მიღებული ნაწილის ინტეგრალების ჯამს, ე.ი. ნებისმიერი a, b, c-სთვის:

4. თუ სეგმენტზე, მაშინ

5. ინტეგრაციის საზღვრები შეიძლება შეიცვალოს და ინტეგრალის ნიშანი იცვლება:

6.

7. წერტილის ინტეგრალი 0-ის ტოლია:

8.

9. („საშუალოების შესახებ“) მოდით y = f(x) იყოს ინტეგრირებადი ფუნქცია . მერე , სადაც , f(c) – f(x)-ის საშუალო მნიშვნელობა:

10. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა

,

სადაც F(x) არის f(x) ანტიწარმოებული.

3.2.2 განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის ხერხები.

1. პირდაპირი ინტეგრაცია

მაგალითი 35.

ა)

ბ)

V)

დ)

2. ცვლადების ცვლილება განსაზღვრული ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ .

მაგალითი 36.

2. ნაწილების მიერ ინტეგრაცია განსაზღვრულ ინტეგრალში .

მაგალითი 37.

ა)

ბ)

დ)

3.2.3 განსაზღვრული ინტეგრალის აპლიკაციები

დამახასიათებელი	ფუნქციის ტიპი	ფორმულა
	დეკარტის კოორდინატებში
მრუდი სექტორის ფართობი	პოლარულ კოორდინატებში
მოხრილი ტრაპეციის ფართობი	პარამეტრული ფორმით
რკალის სიგრძე	დეკარტის კოორდინატებში
რკალის სიგრძე	პოლარულ კოორდინატებში
რკალის სიგრძე	პარამეტრული ფორმით
სხეულის მოცულობა როტაცია	დეკარტის კოორდინატებში
სხეულის მოცულობა მოცემული განივი რადიუსი

მაგალითი 38. გამოთვალეთ ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურის ფართობი: და .

გამოსავალი:ვიპოვოთ ამ ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები. ამისთვის ვაიგივებთ ფუნქციებს და ვხსნით განტოლებას

ასე რომ, გადაკვეთის წერტილები და .

იპოვეთ ფიგურის ფართობი ფორმულის გამოყენებით

.

ჩვენს შემთხვევაში

პასუხი: ფართობი არის (კვადრატული ერთეული).

4.1 ძირითადი ცნებები

განმარტება. თუ ურთიერთდამოუკიდებელ რიცხვთა თითოეულ წყვილს გარკვეული ნაკრებიდან ენიჭება, გარკვეული წესის მიხედვით, z ცვლადის ერთი ან მეტი მნიშვნელობა, მაშინ z ცვლადი ეწოდება ორი ცვლადის ფუნქციას.

განმარტება. z ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის წყვილთა სიმრავლე, რომლისთვისაც არსებობს ფუნქცია z.

ორი ცვლადის ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის Oxy კოორდინატულ სიბრტყეზე წერტილების გარკვეული ნაკრები. z კოორდინატს ეწოდება აპლიკატი, შემდეგ კი თავად ფუნქცია გამოსახულია ზედაპირის სახით E 3 სივრცეში. Მაგალითად:

მაგალითი 39. იპოვეთ ფუნქციის დომენი.

ა)

მარჯვენა მხარეს გამოხატვას აზრი აქვს მხოლოდ მაშინ, როცა . ეს ნიშნავს, რომ ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელიც მდებარეობს R რადიუსის წრის შიგნით და საზღვარზე, რომლის ცენტრია სათავეში.

ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის სიბრტყის ყველა წერტილი, გარდა სწორი ხაზების წერტილებისა, ე.ი. კოორდინატთა ღერძები.

განმარტება. ფუნქციის დონის ხაზები არის მრუდების ოჯახი კოორდინატულ სიბრტყეზე, რომელიც აღწერილია ფორმის განტოლებებით.

მაგალითი 40. იპოვეთ ფუნქციის დონის ხაზები .

გამოსავალი. მოცემული ფუნქციის დონის ხაზები არის მრუდების ოჯახი სიბრტყეზე, რომელიც აღწერილია განტოლებით

ბოლო განტოლება აღწერს წრეების ოჯახს, რომელსაც აქვს ცენტრი O 1 (1, 1) რადიუსის წერტილში. ამ ფუნქციით აღწერილი ბრუნვის ზედაპირი (პარაბოლოიდი) ხდება „უფრო ციცაბო“ ღერძიდან მოშორებისას, რაც მოცემულია x = 1, y = 1 განტოლებებით (ნახ. 4).

4.2 რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების ლიმიტები და უწყვეტობა.

1. ლიმიტები.

განმარტება. A რიცხვს ეწოდება ფუნქციის ზღვარი, რადგან წერტილი მიისწრაფვის წერტილისკენ, თუ ყოველი თვითნებურად მცირე რიცხვისთვის არის ისეთი რიცხვი, რომ ნებისმიერი წერტილისთვის პირობა არის ჭეშმარიტი და პირობა ასევე ჭეშმარიტია. . Ჩაწერა: .

მაგალითი 41. იპოვეთ საზღვრები:

იმათ. ლიმიტი დამოკიდებულია , რაც ნიშნავს რომ ის არ არსებობს.

2. უწყვეტობა.

განმარტება. დაე, წერტილი მიეკუთვნოს ფუნქციის განსაზღვრის სფეროს. მაშინ ფუნქციას ეწოდება უწყვეტი თუ

(1)

და წერტილი თვითნებურად მიისწრაფვის წერტილისკენ.

თუ რომელიმე წერტილში პირობა (1) არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ ამ წერტილს ფუნქციის წყვეტის წერტილი ეწოდება. ეს შეიძლება იყოს შემდეგ შემთხვევებში:

1) ფუნქცია არ არის განსაზღვრული წერტილში.

2) არ არსებობს ლიმიტი.

3) ეს ზღვარი არსებობს, მაგრამ ის არ არის ტოლი.

მაგალითი 42. დაადგინეთ არის თუ არა მოცემული ფუნქცია უწყვეტი წერტილში თუ .

Გავიგე ეს ნიშნავს, რომ ეს ფუნქცია უწყვეტია წერტილში.

ლიმიტი დამოკიდებულია k-ზე, ე.ი. ის ამ ეტაპზე არ არსებობს, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქციას აქვს შეწყვეტა ამ ეტაპზე.

4.3 რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების წარმოებულები და დიფერენციაციები

4.3.1 პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები

ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული x არგუმენტთან მიმართებაში არის ერთი x ცვლადის ფუნქციის ჩვეულებრივი წარმოებული y ცვლადის ფიქსირებული მნიშვნელობისთვის და აღინიშნება:

ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული y არგუმენტთან მიმართებაში არის ერთი ცვლადის y ფუნქციის ჩვეულებრივი წარმოებული x ცვლადის ფიქსირებული მნიშვნელობისთვის და აღინიშნება:

მაგალითი 43. იპოვეთ ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები.

4.3.2 მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები

მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები არის პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულების ნაწილობრივი წარმოებულები. ფორმის ორი ცვლადის ფუნქციისთვის შესაძლებელია მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულების ოთხი ტიპი:

მეორე რიგის ნაწილობრივ წარმოებულებს, რომლებშიც დიფერენციაცია ხორციელდება სხვადასხვა ცვლადის მიმართ, შერეულ წარმოებულებს უწოდებენ. ორჯერ დიფერენცირებადი ფუნქციის მეორე რიგის შერეული წარმოებულები ტოლია.

მაგალითი 44. იპოვეთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები.

4.3.3 სრული დიფერენციალი და მისი გამოყენება მიახლოებით გამოთვლებში.

განმარტება. ორი ცვლადის ფუნქციის პირველი რიგის დიფერენციალი გვხვდება ფორმულით

.

მაგალითი 45. იპოვეთ ფუნქციის სრული დიფერენციალი.

გამოსავალი. მოდი ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები:

.

x და y არგუმენტების მცირე ნამატებისთვის ფუნქცია იღებს ნამატს დაახლოებით dz-ის ტოლი, ე.ი. .

ფორმულა ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობის პოვნის წერტილში, თუ ცნობილია მისი ზუსტი მნიშვნელობა წერტილში:

მაგალითი 46. იპოვე .

გამოსავალი. დაე,

შემდეგ ვიყენებთ ფორმულას

უპასუხე. .

მაგალითი 47. გამოთვალეთ დაახლოებით.

გამოსავალი. განვიხილოთ ფუნქცია. Ჩვენ გვაქვს

მაგალითი 48. გამოთვალეთ დაახლოებით.

გამოსავალი. განიხილეთ ფუნქცია . ჩვენ ვიღებთ:

უპასუხე. .

4.3.4 იმპლიციტური ფუნქციის დიფერენციაცია

განმარტება. ფუნქციას ეწოდება იმპლიციტი, თუ იგი მოცემულია განტოლებით, რომელიც არ არის ამოხსნადი z-ის მიმართ.

ასეთი ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები გვხვდება ფორმულებით:

მაგალითი 49: იპოვეთ განტოლებით მოცემული z ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები .

გამოსავალი.

განმარტება. ფუნქციას იმპლიციტი ეწოდება, თუ იგი მოცემულია განტოლებით, რომელიც არ არის ამოსახსნელი y-ის მიმართ.

ასეთი ფუნქციის წარმოებული გვხვდება ფორმულით:

.

მაგალითი 50. იპოვეთ ამ ფუნქციების წარმოებულები.

5.1 რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ლოკალური ექსტრემი

განმარტება 1. ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი if

განმარტება 2. ფუნქციას აქვს მინიმალური წერტილი if ყველა წერტილისთვის საკმარისად ახლოს მდებარე და მისგან განსხვავებული წერტილისთვის.

ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობა. თუ ფუნქცია აღწევს უკიდურეს წერტილს, მაშინ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ქრება ან არ არსებობს ამ წერტილში.

წერტილებს, რომლებზეც ნაწილობრივი წარმოებულები ქრება ან არ არსებობს, ეწოდება კრიტიკული.

ექსტრემის საკმარისი ნიშანი. დაე, ფუნქცია განისაზღვროს კრიტიკული წერტილის რომელიმე სამეზობლოში და ჰქონდეს უწყვეტი მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ამ წერტილში

1) აქვს ლოკალური მაქსიმუმი იმ წერტილში, თუ და ;

2) აქვს ლოკალური მინიმუმი იმ წერტილში, თუ და ;

3) არ აქვს ლოკალური ექსტრემუმი იმ წერტილში, თუ ;

ორი ცვლადის ფუნქციის ექსტრემუმის კვლევის სქემა.

1. იპოვეთ ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები: და.

2. ამოხსენით განტოლებათა სისტემა და იპოვეთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები.

3. იპოვნეთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები, გამოთვალეთ მათი მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში და საკმარისი პირობის გამოყენებით გამოიტანეთ დასკვნა ექსტრემის არსებობის შესახებ.

4. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა.

მაგალითი 51. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობები .

1) ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები.

2) ამოვიხსნათ განტოლებათა სისტემა

4) ვიპოვოთ მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები და მათი მნიშვნელობები კრიტიკულ წერტილებში: . იმ მომენტში ვიღებთ:

ეს ნიშნავს, რომ ამ წერტილში ექსტრემუმი არ არის. იმ მომენტში ვიღებთ:

ეს ნიშნავს, რომ წერტილი არის მინიმუმი.

5.2 გლობალური ექსტრემუმი (ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა)

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები, უწყვეტი ზოგიერთ დახურულ კომპლექტზე, მიიღწევა ან უკიდურეს წერტილებში ან ნაკრების საზღვარზე.

ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის სქემა.

1) იპოვეთ რეგიონის შიგნით მდებარე კრიტიკული წერტილები, გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ წერტილებში.

2) ფუნქციის გამოკვლევა რეგიონის საზღვარზე; თუ საზღვარი შედგება რამდენიმე განსხვავებული ხაზისგან, მაშინ შესწავლა უნდა განხორციელდეს თითოეული მონაკვეთისთვის ცალკე.

3) შეადარეთ მიღებული ფუნქციის მნიშვნელობები და აირჩიეთ ყველაზე დიდი და პატარა.

მაგალითი 52. იპოვეთ მართკუთხედში ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები.

გამოსავალი. 1) ვიპოვოთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები, ამისთვის ვიპოვით ნაწილობრივ წარმოებულებს: და ამოხსნით განტოლებათა სისტემას:

ჩვენ მივიღეთ კრიტიკული წერტილი A. შედეგად მიღებული წერტილი მდებარეობს მოცემულ რეგიონში,

რეგიონის საზღვარი შედგება ოთხი სეგმენტისგან: ი. მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა თითოეულ სეგმენტზე.

4) შევადაროთ მიღებული შედეგები და ვიპოვოთ ის წერტილებში .

თავი 6. სამომხმარებლო არჩევანის მოდელი

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ არსებობს n სხვადასხვა საქონელი. შემდეგ n-განზომილებიანი ვექტორით აღვნიშნავთ საქონლის გარკვეულ სიმრავლეს , სად არის i-ე პროდუქტის რაოდენობა. X საქონლის ყველა ნაკრების სიმრავლეს სივრცე ეწოდება.

ინდივიდუალური მომხმარებლის არჩევანს ახასიათებს უპირატესობის ურთიერთობა: ითვლება, რომ მომხმარებელს შეუძლია თქვას ნებისმიერი ორი ნაკრების შესახებ, რომელია უფრო სასურველი, ან ვერ ხედავს განსხვავებას მათ შორის. უპირატესობის მიმართება გარდამავალია: თუ კომპლექტი უპირატესობას ანიჭებს კომპლექტს, ხოლო კომპლექტი უპირატესობას ანიჭებს კომპლექტს, მაშინ კომპლექტი სასურველია ნაკრების მიმართ. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ მომხმარებლის ქცევა სრულად არის აღწერილი ინდივიდუალური მომხმარებლის აქსიომით: თითოეული ინდივიდუალური მომხმარებელი იღებს გადაწყვეტილებებს მოხმარების, შესყიდვების და ა.შ., მისი პრეფერენციების სისტემის საფუძველზე.

6.1 სასარგებლო ფუნქცია

ფუნქცია განისაზღვრება X სამომხმარებლო კომპლექტების სიმრავლეზე , რომლის ღირებულება სამომხმარებლო კომპლექტზე უდრის ინდივიდის მომხმარებლის შეფასებას ამ ნაკრებისთვის. ფუნქციას ეწოდება მომხმარებელთა სასარგებლო ფუნქცია ან მომხმარებლის უპირატესობის ფუნქცია. იმათ. თითოეულ მომხმარებელს აქვს საკუთარი სასარგებლო ფუნქცია. მაგრამ მომხმარებელთა მთელი ნაკრები შეიძლება დაიყოს მომხმარებელთა გარკვეულ კლასებად (ასაკის, ქონებრივი მდგომარეობის და ა.შ.) და თითოეულ კლასს შეიძლება მიენიჭოს გარკვეული, შესაძლოა საშუალოდ, სასარგებლო ფუნქცია.

ამრიგად, ფუნქცია არის მომხმარებლის შეფასება ან ინდივიდის მოთხოვნილებების დაკმაყოფილების დონე მოცემული ნაკრების შეძენისას. თუ ნაკრები სასურველია მოცემული ინდივიდის კომპლექტზე, მაშინ .

სასარგებლო ფუნქციის თვისებები.

1.

სასარგებლო ფუნქციის პირველ ნაწილობრივ წარმოებულებს ეწოდება პროდუქტების ზღვრული სარგებლიანობა. ამ თვისებიდან გამომდინარეობს, რომ ერთი პროდუქტის მოხმარების ზრდა, ხოლო სხვა პროდუქტების მოხმარება უცვლელი რჩება, იწვევს მომხმარებელთა შეფასების ზრდას. ვექტორი არის ფუნქციის გრადიენტი, ის აჩვენებს ფუნქციის უდიდესი ზრდის მიმართულებას. ფუნქციისთვის, მისი გრადიენტი არის პროდუქტების ზღვრული სარგებლიანობის ვექტორი.

2.

იმათ. ნებისმიერი საქონლის ზღვრული სარგებლობა მცირდება მოხმარების მატებასთან ერთად.

3.

იმათ. თითოეული პროდუქტის ზღვრული სარგებლიანობა იზრდება სხვა პროდუქტის რაოდენობის მატებასთან ერთად.

ზოგიერთი სახის სასარგებლო ფუნქციები.

1) ნეოკლასიკური: .

2) კვადრატული: , სადაც მატრიცა არის უარყოფითი განსაზღვრული და ამისთვის .

3) ლოგარითმული ფუნქცია: .

6.2 გულგრილობის ხაზები

გამოყენებული პრობლემებისა და მომხმარებლის არჩევანის მოდელებში ხშირად გამოიყენება ორი საქონლის ნაკრების განსაკუთრებული შემთხვევა, ე.ი. როდესაც სასარგებლო ფუნქცია დამოკიდებულია ორ ცვლადზე. გულგრილობის ხაზი არის სამომხმარებლო კომპლექტების დამაკავშირებელი ხაზი, რომლებსაც აქვთ ინდივიდუალური მოთხოვნილებების დაკმაყოფილების იგივე დონე. არსებითად, გულგრილობის ხაზები არის ფუნქციის დონის ხაზები. გულგრილობის ხაზების განტოლებები: .

გულგრილობის ხაზების ძირითადი თვისებები.

1. გულგრილობის ხაზები, რომლებიც შეესაბამება მოთხოვნილების დაკმაყოფილების სხვადასხვა დონეს, არ ეხება და არ იკვეთება.

2. მცირდება გულგრილობის ხაზები.

3. გულგრილობის ხაზები ამოზნექილია ქვემოთ.

თვისება 2 გულისხმობს მნიშვნელოვან სავარაუდო ტოლობას.

ეს თანაფარდობა გვიჩვენებს, თუ რამდენად უნდა გაზარდოს (შეამციროს) ინდივიდმა მეორე პროდუქტის მოხმარება, როდესაც ამცირებს (გაზრდის) პირველი პროდუქტის მოხმარებას ერთი ერთეულით მისი მოთხოვნილებების დაკმაყოფილების დონის შეცვლის გარეშე. თანაფარდობას ეწოდება პირველი პროდუქტის მეორეთი ჩანაცვლების სიჩქარე, ხოლო მნიშვნელობას ეწოდება პირველი პროდუქტის მეორეზე ჩანაცვლების ზღვრული მაჩვენებელი.

მაგალითი 53. თუ პირველი საქონლის ზღვრული სარგებლობა არის 6, ხოლო მეორე არის 2, მაშინ თუ პირველი საქონლის მოხმარება მცირდება ერთი ერთეულით, მეორე საქონლის მოხმარება უნდა გაიზარდოს 3 ერთეულით იმავე დონეზე. საჭიროებების დაკმაყოფილებაზე.

6.3 საბიუჯეტო კომპლექტი

დაე – ფასების ვექტორი n პროდუქტის ნაკრებისთვის; მე ვარ ინდივიდის შემოსავალი, რომელიც მას სურს დახარჯოს პროდუქციის ნაკრების შესაძენად. საქონლის კომპლექტების ერთობლიობას, რომელთა ღირებულება არ აღემატება I-ს მოცემულ ფასებში, ეწოდება ბიუჯეტის ნაკრები B. უფრო მეტიც, კომპლექტების ერთობლიობას, რომელთა ღირებულებაა I, ეწოდება B ბიუჯეტის ნაკრების საზღვარი G. ამრიგად. B სიმრავლე შემოსაზღვრულია G საზღვრით და ბუნებრივი შეზღუდვებით.

ბიუჯეტის ნაკრები აღწერილია უთანასწორობის სისტემით:

ორი საქონლის ნაკრების შემთხვევაში, ბიუჯეტის ნაკრები B (ნახ. 1) არის სამკუთხედი კოორდინატთა სისტემაში, რომელიც შემოიფარგლება კოორდინატთა ღერძებით და სწორი ხაზით.

6.4 სამომხმარებლო მოთხოვნის თეორია

მოხმარების თეორიაში ითვლება, რომ მომხმარებელი ყოველთვის ცდილობს მაქსიმალურად გაზარდოს თავისი სარგებლიანობა და მისთვის ერთადერთი შეზღუდვა არის შეზღუდული შემოსავალი I, რომელიც მას შეუძლია დახარჯოს საქონლის ნაკრების შესაძენად. ზოგადად, მომხმარებელთა არჩევანის პრობლემა (მომხმარებლის რაციონალური ქცევის პრობლემა ბაზარზე) ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: იპოვნეთ სამომხმარებლო ნაკრები. , რაც მაქსიმალურად ზრდის მის სასარგებლო ფუნქციას მოცემული ბიუჯეტის შეზღუდვის პირობებში. ამ პრობლემის მათემატიკური მოდელი:

ორი პროდუქტის ნაკრების შემთხვევაში:

გეომეტრიულად, ამ პრობლემის გადაწყვეტა არის საბიუჯეტო ნაკრების საზღვარს G და ინდიფერენტულ ხაზს შორის ტანჯვის წერტილი.

ამ პრობლემის გადაწყვეტა განტოლებათა სისტემის ამოხსნაზე მოდის:

(1)

ამ სისტემის გამოსავალი არის მომხმარებლის არჩევანის პრობლემის გადაწყვეტა.

მომხმარებლის არჩევანის პრობლემის გადაწყვეტას მოთხოვნის წერტილი ეწოდება. მოთხოვნის ეს წერტილი დამოკიდებულია ფასებზე და შემოსავალზე. ე.ი. მოთხოვნის წერტილი მოთხოვნის ფუნქციაა. თავის მხრივ, მოთხოვნის ფუნქცია არის n ფუნქციის ნაკრები, რომელთაგან თითოეული დამოკიდებულია არგუმენტზე:

ამ ფუნქციებს უწოდებენ მოთხოვნის ფუნქციებს შესაბამის საქონელზე.

მაგალითი 54. ბაზარზე არსებული ორი საქონლის ნაკრებისთვის, მათთვის ცნობილი ფასები და შემოსავალი I, იპოვეთ მოთხოვნის ფუნქციები, თუ სასარგებლო ფუნქციას აქვს ფორმა .

გამოსავალი. მოდით განვასხვავოთ სასარგებლო ფუნქცია:

.

მოდით შევცვალოთ მიღებული გამონათქვამები (1) და მივიღოთ განტოლებათა სისტემა:

ამ შემთხვევაში თითოეული პროდუქტის ხარჯი იქნება მომხმარებლის შემოსავლის ნახევარი, ხოლო შეძენილი პროდუქტის რაოდენობა უდრის მასზე დახარჯულ თანხას გაყოფილი პროდუქტის ფასზე.

მაგალითი 55. ნება მიეცით სასარგებლო ფუნქციონირებას პირველი კარგი, მეორე,

პირველი პროდუქტის ფასი, მეორის ფასი. შემოსავალი . რამდენი საქონელი უნდა შეიძინოს მომხმარებელმა, რომ მაქსიმალურად გაზარდოს სარგებლიანობა?

გამოსავალი. მოდი ვიპოვოთ სასარგებლო ფუნქციების წარმოებულები, ჩავანაცვლოთ ისინი სისტემაში (1) და მოვაგვაროთ:

საქონლის ეს ნაკრები ოპტიმალურია მომხმარებლისთვის სარგებლობის მაქსიმიზაციის თვალსაზრისით.

ტესტი უნდა დასრულდეს ცალკე რვეულში საკლასო წიგნის ნომრის ბოლო ციფრით შერჩეული ვარიანტის შესაბამისად. თითოეული პრობლემა უნდა შეიცავდეს პირობას, დეტალურ გადაწყვეტას და დასკვნას.

1. მათემატიკური ანალიზის შესავალი

ამოცანა 1. იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი.

5.

დავალება 2. იპოვეთ ფუნქციების საზღვრები.

.

დავალება 3. იპოვეთ ფუნქციის უწყვეტობის წერტილები და განსაზღვრეთ მათი ტიპი.

1. 2. 3.

თავი 2. ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენციალური გამოთვლა

ამოცანა 4. იპოვეთ ამ ფუნქციების წარმოებულები.

1. ა); ბ) გ) y = ;

დ) y = x 6 + + + 5; ე) y = x tan x + ln sin x + e 3x;

ე) y = 2 x - arcsin x.

2. ა) ; ბ) y = ; გ) y = ; დ) y = x 2 –+ 3; ე) y = e cos; ე) y = .

3. ა) y = lnx; ბ) y =; გ) y = ln;

4. ა) y = ; ბ) y = (e 5 x – 1) 6; გ) y = ; დ) y = ; ე) y = x 8 ++ + 5; ე) y = 3 x - arcsin x.

5. ა) y = 2x 3 - + e x; ბ) y = ; გ) y = ;

დ) y = ; ე) y = 2 cos; ე) y = .

6. ა) y = lnx; ბ) y =; გ) y = ln;

დ) y = ; ე) y = x 7 + + 1; ე) y = 2.

7. ა) ; ბ) y = ; გ)y = ; დ)y = x 2 + xsinx + ; ე) y = e cos; ე) y = .

8. ა) y = ; ბ) y = (3 x – 4) 6; გ) y = სინტგ;

დ) y = 3x 4 – – 9+ 9; ე) y = ;

ე) y = x 2 + arcsin x - x.

9. ა); ბ) ; გ) y = ; დ) y = 5 sin 3 x ; ე) y = x 3 – – 6+ 3; ე) y = 4x 4 + ln.

10. ა) ბ) y = ; გ) y = (3 x – 4) 6; დ) y = ; ე) y = x 2 - x; ე) y = e sin 3 x + 2.

დავალება 5. შეისწავლეთ ფუნქცია და შექმენით მისი გრაფიკი.

1. ა) ბ) გ) .

2. ა) ბ) V) .

3. ა) ბ) V) .

4. ბ) V)

5. ა) ბ) V) .

6. ა) ბ) V) .

7. ა) ბ) გ) .

8. ა) ბ) გ) .

9. ა) ბ) გ) .

10. ა) ბ) V) .

ამოცანა 6. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მოცემულ სეგმენტზე.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

თავი 3. ინტეგრალური გამოთვლა

ამოცანა 7. იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალები.

1. ა) ბ);

2. ა) ;ბ) გ) დ) .

4. გ)

5. ა) ; ბ); V) ; გ).

6. ა) ; ბ); V); გ)

7. ა) ; ბ) ; V) ; გ)

8. ა) ; ბ); V) ; გ) .

9. ა) ; ბ) გ); გ).

10. ა) ბ) V) ; გ) .

ამოცანა 8. გამოთვალეთ განსაზღვრული ინტეგრალები.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

ამოცანა 9. იპოვეთ არასწორი ინტეგრალები ან დაამტკიცეთ, რომ ისინი განსხვავდებიან.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

ამოცანა 10. იპოვეთ მრუდებით შემოსაზღვრული რეგიონის ფართობი

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

თავი 4. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალური გამოთვლა.

ამოცანა 11. იპოვეთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი (აჩვენეთ ნახაზზე).

ამოცანა 12. გამოიკვლიეთ ფუნქციის უწყვეტობა ზე

ამოცანა 13. იპოვეთ იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული.

ამოცანა 14. გამოთვალეთ დაახლოებით

1. ა) ;ბ) ; V)

2. ა) ; ბ) ; V) .

3. ა) ; ბ) ; V) .

4. ა) ; ბ) ; V) .

5. ა); ბ) ; V) .

6. ა); ბ) ; V) .

7. ა); ბ) ; V) .

8. ა) ;ბ) ; V)

9. ა) ; ბ) ; V) .

10. ა) ;ბ) ; V)

ამოცანა 15. გამოიკვლიეთ ფუნქცია ექსტრემებისთვის.

7. .

8. .

9. .

10. .

ამოცანა 16. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მოცემულ დახურულ რეგიონში.

1. ოთხკუთხედში

2.

3. ოთხკუთხედში

4. პარაბოლით შემოზღუდულ ტერიტორიაზე

და x-ღერძი.

5. კვადრატში

6. კოორდინატთა ღერძებითა და სწორი ხაზით შემოზღუდულ სამკუთხედში

7. კოორდინატთა ღერძებითა და სწორი ხაზით შემოზღუდულ სამკუთხედში

8. სამკუთხედში, რომელიც შემოიფარგლება კოორდინატთა ღერძებითა და სწორი ხაზით

9. პარაბოლით შემოზღუდულ ტერიტორიაზე

და x-ღერძი.

10. პარაბოლით შემოზღუდულ ტერიტორიაზე

და x-ღერძი.

მთავარი

1. მ.ს. კრასი, ბ.პ. ჩუპრინოვი. მათემატიკის საფუძვლები და მისი გამოყენება ეკონომიკურ განათლებაში: სახელმძღვანელო. – მე-4 გამოცემა, ესპანური. – მ.: დელო, 2003 წ.

2. მ.ს. კრასი, ბ.პ. ჩუპრინოვი. მათემატიკა ეკონომიკური სპეციალობებისათვის: სახელმძღვანელო. – მე-4 გამოცემა, ესპანური. – მ.: დელო, 2003 წ.

3. მ.ს. კრასი, ბ.პ. ჩუპრინოვი. მათემატიკა ეკონომიკის ბაკალავრიატისთვის. სახელმძღვანელო. – მე-4 გამოცემა, ესპანური. – მ.: დელო, 2005 წ.

4. უმაღლესი მათემატიკა ეკონომისტებისთვის. სახელმძღვანელო უნივერსიტეტებისთვის / ნ.შ. კრემერი, ბ.ა. პუტკო, ი.მ. ტრიშინი, მ.ნ. ფრიდმენი; რედ. პროფ. ნ.შ. კრემერი, - მე-2 გამოცემა, შესწორებული. და დამატებითი – M: ერთიანობა, 2003 წ.

5. Kremer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M., Fridman M.N.. უმაღლესი მათემატიკა ეკონომიკური სპეციალობებისთვის. სახელმძღვანელო და სახელოსნო (ნაწილები I და II) / რედ. პროფ. ნ.შ. კრემერი, - მე-2 გამოცემა, შესწორებული. და დამატებითი – M: უმაღლესი განათლება, 2007. – 893გვ. – (მეცნიერებათა საფუძვლები)

6. დანკო P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. უმაღლესი მათემატიკა სავარჯიშოებსა და ამოცანებში. მ.უმაღლესი სკოლა. 1999 წ.

დამატებითი

1. ი.ი. ბავრინი, ვ.ლ. მეზღვაურები. უმაღლესი მათემატიკა. „ჰუმანიტარული გამომცემლობის ცენტრი ვლადოსი“, 2002 წ.

2. ი.ა. ზაიცევი. უმაღლესი მათემატიკა. „უმაღლესი სკოლა“, 1998 წ.

3. ა.ს. სოლოდოვნიკოვი, ვ.ა. ბაბაიცევი, ა.ვ. ბრაილოვი, ი.გ. შანდრა. მათემატიკა ეკონომიკაში / ორ ნაწილად/. M. ფინანსები და სტატისტიკა. 1999 წ.