უფროსი შორეული აღმოსავლეთის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მათემატიკის დეპარტამენტი

ირაციონალური, ლოგარითმული და ექსპონენციალური განტოლებების სისტემები

ტრადიციულად, მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის საკონტროლო საზომი მასალები მოიცავს დავალებებს, რომლებიც საშუალებას აძლევს სტუდენტებს შეამოწმონ განტოლებების სხვადასხვა სისტემის ამოხსნის უნარი. როგორც წესი, ეს არის ორი განტოლების სისტემები ორი ცვლადით. სისტემაში შემავალი განტოლებები შეიძლება იყოს ალგებრული, მათ შორის ირაციონალური ან ტრანსცენდენტული. ამ სტატიაში განვიხილავთ სისტემების ამოხსნის ძირითად მეთოდებს ირაციონალური, ლოგარითმული და ექსპონენციალური განტოლების ორი ცვლადით.

სანამ უშუალოდ განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მეთოდებზე გადავიდოდეთ, გავიხსენოთ სხვადასხვა ფუნქციის ძირითადი განმარტებები და თვისებები, რომლებიც შეიძლება შევიდეს სისტემის განტოლებებში.

შეგახსენებთ, რომ იქმნება ორი განტოლება ორი უცნობით განტოლებათა სისტემათუ ამოცანაა იპოვოთ ცვლადების ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც თითოეული განტოლების ამონახსნებია.

სისტემური გადაწყვეტაორი განტოლება ორ უცნობში ეწოდება შეუკვეთა წყვილი ნომრები, სისტემაში მათი ჩანაცვლებისას შესაბამისი ცვლადების ნაცვლად, მიიღება სწორი რიცხვითი ტოლობები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ამონახსნის პოვნას.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის პროცესი, ისევე როგორც განტოლების ამოხსნის პროცესი, შედგება თანმიმდევრული გადასვლისგან, გარკვეული გარდაქმნების გამოყენებით, მოცემული სისტემიდან უფრო მარტივზე. როგორც წესი, გამოიყენება ტრანსფორმაციები, რომლებიც იწვევს ეკვივალენტურ სისტემას, ამ შემთხვევაში არ არის საჭირო ნაპოვნი გადაწყვეტილებების შემოწმება. თუ არათანაბარი გარდაქმნები იქნა გამოყენებული, მაშინ ნაპოვნი გადაწყვეტილებების შემოწმება სავალდებულოა.

ირაციონალურიარის განტოლებები, რომლებშიც ცვლადი შეიცავს ფესვის ნიშნის ქვეშ ან წილადის ხარისხზე აწევის მოქმედების ნიშნის ქვეშ.

უნდა აღინიშნოს, რომ

1. განტოლებებში შეტანილი ლუწი ხარისხის ყველა ფესვი არის არითმეტიკული. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ რადიკალური გამოთქმა უარყოფითია, მაშინ ფესვი უაზროა; თუ რადიკალური გამოხატულება ნულის ტოლია, მაშინ ფესვიც ნულის ტოლია; თუ რადიკალური გამოხატულება დადებითია, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა დადებითია.

2. განტოლებაში შემავალი ყველა კენტი ფესვი განისაზღვრება რადიკალური გამოხატვის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის. ამ შემთხვევაში ფესვი უარყოფითია, თუ რადიკალური გამოხატულება უარყოფითია; უდრის ნულს, თუ რადიკალური გამოხატულება ნულის ტოლია; დადებითი თუ რადიკალური გამოხატულება დადებითია.

ფუნქციები წ = https://pandia.ru/text/78/063/images/image002_247.gif" width="37" height="24 src="> იზრდება მათი განმარტების დომენში.

ირაციონალური განტოლებების სისტემების ამოხსნისას გამოიყენება ორი ძირითადი მეთოდი: 1) განტოლებების ორივე მხარის ერთსა და იმავე ხარისხზე აყვანა; 2) ახალი ცვლადების დანერგვა.

პირველი მეთოდის გამოყენებით ირაციონალური განტოლებების სისტემის ამოხსნისას უნდა გვახსოვდეს, რომ განტოლების ორივე მხარის ტოლი ხარისხის ფესვების ერთსა და იმავე ხარისხით ამაღლებისას მიიღება განტოლება, რომელიც არის ორიგინალის შედეგი ფესვები შეიძლება გამოჩნდეს გადაწყვეტის პროცესში gif" width="161" height="61">

გამოსავალი.ირაციონალურობის თავიდან ასაცილებლად, ჩვენ შემოგვაქვს ახალი ცვლადები. მოდით ………………………… (1),

მაშინ საწყისი სისტემა მიიღებს ფორმას: ..gif" width="92" height="59"> პირველი განტოლების ორივე მხარის კვადრატში და მეორე მეოთხე ხარისხამდე მივიღებთ სისტემას: , საიდანაც ვიღებთ იპოვე:

ადვილია იმის შემოწმება, რომ ბოლო სისტემის ნაპოვნი გამოსავალი არის ორიგინალური სისტემის გამოსავალი.

პასუხი: (6; 5)

მაგალითი 2.განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გამოსავალი. 1..gif" width="51" height="27">.gif" width="140" height="27 src=">………………………..(2). შემოვიღოთ ახალი ცვლადი: ჩავსვათ ………………….(3) და შევცვალოთ იგი (2) განტოლებით, მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას ცვლადიდან: ..gif" width="56" height="23 src. ="> არის ზედმეტი, რადგან ისინი აღნიშნეს არითმეტიკული ფესვი..gif" width="84 height=27" height="27">. გამოვყოთ განტოლების ორივე მხარე და გამოვხატოთ: .

მოდით ჩავანაცვლოთ მიღებული გამოხატულება ორიგინალური სისტემის მეორე განტოლებაში: https://pandia.ru/text/78/063/images/image026_45.gif" width="147" height="24 src=">. მოდით ავწიოთ მიღებული განტოლების ორივე მხარე კვადრატამდე და იმისათვის, რომ არ გავაფართოვოთ მიღებული განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი, ჩვენ გვჭირდება https://pandia.ru/text/78/063/images/image028_36.gif" width="297" height="24 src="> .gif" width="65" height="23 src=">.gif" width="56" height="41 src="> უცხოა.

მოდი ვიპოვოთ ღირებულება ზემისამართზე: https://pandia.ru/text/78/063/images/image034_32.gif" width="199" height="59 src=">

გამოსავალი. 1. გაითვალისწინეთ, რომ პირველი განტოლების მარჯვენა მხარე უნდა იყოს არაუარყოფითი, ანუ gif" width="225" height="24">..gif" width="48" height="21">. მოდით ჩავანაცვლოთ ისინი მეორე განტოლებაში და ვიპოვოთ ცვლადის მნიშვნელობები:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image041_28.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20 src=">, წყვილი (10; 5) არ არის ორიგინალური სისტემის გამოსავალი.

https://pandia.ru/text/78/063/images/image044_23.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20">. ადვილია იმის შემოწმება, რომ ნაპოვნი რიცხვების წყვილი არის ორიგინალური სისტემის ამოხსნა.

პასუხი: (-10; -5)

განტოლებათა ექსპონენციალური და ლოგარითმული სისტემების წარმატებით ამოსახსნელად, გავიხსენოთ ლოგარითმის განმარტება და თვისებები.

რიცხვის ლოგარითმიბფუძე a არის მაჩვენებელი, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს რიცხვის მისაღებადბ.

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები:

1) https://pandia.ru/text/78/063/images/image047_24.gif" width="125" height="25">;

2) https://pandia.ru/text/78/063/images/image049_23.gif" width="120" height="41">;

3) https://pandia.ru/text/78/063/images/image051_23.gif" width="99 height=45" height="45">.

4) https://pandia.ru/text/78/063/images/image053_22.gif" width="93" height="24 src=">; 9)

5) https://pandia.ru/text/78/063/images/image056_20.gif" width="53" height="24 src=">;

მოდით ჩამოვთვალოთ ექსპონენციალური და ლოგარითმული ფუნქციების ძირითადი თვისებები:

1) ფუნქციის განსაზღვრის დომენი, სადაც არის რეალური რიცხვების მთელი სიმრავლე; ფუნქციები https://pandia.ru/text/78/063/images/image058_21.gif" width="77" height="21 src="> - დადებითი რეალური რიცხვების ნაკრები.

2) ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე არის დადებითი რეალური რიცხვების სიმრავლე; ფუნქციები https://pandia.ru/text/78/063/images/image060_20.gif" width="35" height="19">ორივე ფუნქცია იზრდება; თუ - ორივე ფუნქცია მცირდება.

კომენტარი.მეორე თვისების შესაბამისად, ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას აუცილებელია ან გაირკვეს განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი, ან მისი ამოხსნის შემდეგ შემოწმება.

ექსპონენციალური განტოლება არის ტრანსცენდენტული განტოლება, რომელშიც უცნობი შედის ზოგიერთი სიდიდის მაჩვენებელში. ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას გამოიყენება ორი ძირითადი მეთოდი:

1) გადასვლა განტოლებიდან ……….(1) განტოლებაზე;

2) ახალი ცვლადების დანერგვა.

ზოგჯერ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ხელოვნური ტექნიკა.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის პირველი მეთოდი ეფუძნება შემდეგ თეორემას:

თუ, შემდეგ განტოლება განტოლების ტოლფასია .

მოდით ჩამოვთვალოთ ექსპონენციალური განტოლების (1) განტოლებამდე შემცირების ძირითადი ტექნიკა.

1. განტოლების ორივე მხარის ერთსა და იმავე ფუძამდე შემცირება.

2. განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი (თუ ისინი მკაცრად დადებითია) ერთი და იგივე ფუძის გამოყენებით.

კომენტარი.თქვენ შეგიძლიათ, ზოგადად რომ ვთქვათ, აიღოთ ლოგარითმი ნებისმიერ ფუძეზე, მაგრამ ჩვეულებრივ ლოგარითმს იღებთ განტოლებაში შემავალი ძალების ერთ-ერთ საფუძველში.

3. განტოლების მარცხენა მხარის ფაქტორირება და განტოლების შემცირება (1) ფორმის რამდენიმე განტოლებამდე.

ლოგარითმული განტოლება არის ტრანსცენდენტული განტოლება, რომელშიც უცნობი შედის ლოგარითმის არგუმენტში.

ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას გამოიყენება ორი ძირითადი მეთოდი:

1) განტოლებიდან გადასვლა ფორმის განტოლებამდე;

2) ახალი ცვლადების დანერგვა.

კომენტარი.ვინაიდან ლოგარითმული ფუნქციის განსაზღვრის სფერო არის მხოლოდ დადებითი რეალური რიცხვების ერთობლიობა, ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნისას აუცილებელია ან განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დომენის პოვნა (ADV), ან განტოლების ამონახსნების პოვნის შემდეგ. გააკეთე შემოწმება.

ფორმის უმარტივესი ლოგარითმული განტოლების ამოხსნა

https://pandia.ru/text/78/063/images/image066_13.gif" width="43" height="21 src="> - ერთადერთი ფესვი.

ფორმის განტოლებისთვის https://pandia.ru/text/78/063/images/image068_13.gif" width="65" height="24">.

მაგალითი 4.იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა, თუ წყვილი არის განტოლებათა სისტემის ამონახსნი https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">.

2. ვინაიდან სისტემის განტოლებები შეიცავს ლოგარითმებს ორ განსხვავებულ ფუძეზე, გადავიდეთ ერთ საფუძველზე 3: ..gif" width="65" height="93">..gif" width="41 height=21" height="21">, ვასკვნით, რომ ეს არის უცხო ფესვი. ბოლო სისტემის პირველი განტოლებიდან ვპოულობთ მნიშვნელობას: https://pandia.ru/text/78/063/images/image082_11.gif" width="131 height=21" height="21">

მაგალითი 5.იპოვეთ უდიდესი ჯამი, თუ წყვილი არის განტოლებათა სისტემის ამონახსნი https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> მეორე განტოლებიდან სისტემის: ..gif" width="161" height="21">. ჩვენ მივიღეთ ერთი ცვლადის ექსპონენციალური განტოლება.

გამოვიყენოთ ხარისხის თვისებები: . განტოლება მოიცავს ძალას ორი განსხვავებული ფუძით. ერთ ბაზაზე გადასვლის სტანდარტული ტექნიკაა განტოლების ორივე მხარის გაყოფა ერთ-ერთ ხარისხზე უდიდესი მაჩვენებლით..gif" width="164" height="49">. სტანდარტული მეთოდი ამ ტიპის ექსპონენციალური ამოხსნისთვის განტოლება არის ცვლადის შეცვლა (აღვნიშნავთ, რომ ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებებიდან გამომდინარე, ახალი ცვლადის მნიშვნელობა უნდა იყოს დადებითი), შემდეგ მივიღებთ განტოლებას https://pandia.ru/text/78/063. /images/image092_10.gif" width="41" height="41">; . ჩვენ ვხსნით ორი განტოლების სიმრავლეს: . ვიღებთ: ; .

განტოლებიდან https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17">:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image097_11.gif" width="68" height="41 src=">.gif" width="67" height="23 src=">. ამგვარად, დააწყვილეთ და https://pandia.ru/text/78/063/images/image083_11.gif" width="37" height="19 src="> და აირჩიეთ ყველაზე დიდი, რომელიც აშკარად უდრის 3-ს.

მოდით განვიხილოთ განტოლებების „კომბინირებული“ სისტემების რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც მოიცავს სხვადასხვა ტიპის განტოლებებს: ირაციონალური, ლოგარითმული, ექსპონენციალური.

მაგალითი 6.ამოხსენით განტოლებათა სისტემა https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">,

2. სისტემის ტრანსფორმაცია ხარისხისა და ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image104_9.gif" width="69" height="24 src="> (1), შემდეგ სისტემის მეორე განტოლება მიიღებს ფორმას: მოდით ამოხსენით ეს წილადი რაციონალური განტოლება, იმის გათვალისწინებით, რომ ვიღებთ: https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> მეშვეობით.

როდესაც https://pandia.ru/text/78/063/images/image109_8.gif" width="77" height="24 src=">.gif" width="104" height="24 src="> . მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება: ვინაიდან ის დადებითი უნდა იყოს, მაშინ ეს არის ზედმეტი ფესვი; https://pandia.ru/text/78/063/images/image110_8.gif" width="49 height=41" height="41">, ვიღებთ .

როდესაც https://pandia.ru/text/78/063/images/image115_7.gif" width="65" height="24 src=">.gif" width="116" height="24 src="> . ჩვენ უკვე აღმოვაჩინეთ, რომ, შესაბამისად, პროდუქტის მხოლოდ მეორე ფაქტორი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი: https://pandia.ru/text/78/063/images/image120_7.gif" width="85" height="28 ">. ცხადია, რომელიც არის უცხო ფესვი. ამიტომ, სისტემის კიდევ ერთი გამოსავალი არის წყვილი. .

ალგებრის შესწავლისას სკოლის მოსწავლეებს აწყდებიან მრავალი სახის განტოლება. უმარტივესთა შორის არის წრფივი, რომელიც შეიცავს ერთ უცნობს. თუ მათემატიკური გამოსახულებაში ცვლადი ამაღლებულია გარკვეულ სიძლიერემდე, მაშინ განტოლებას ეწოდება კვადრატული, კუბური, ბიკვადრატი და ა.შ. ეს გამონათქვამები შეიძლება შეიცავდეს რაციონალურ რიცხვებს. მაგრამ არის ასევე ირაციონალური განტოლებები. ისინი განსხვავდებიან სხვებისგან იმ ფუნქციის არსებობით, სადაც უცნობი არის რადიკალური ნიშნის ქვეშ (ანუ წმინდა გარეგნულად, აქ ცვლადი ჩანს დაწერილი კვადრატული ფესვის ქვეშ). ირაციონალური განტოლებების ამოხსნას აქვს თავისი დამახასიათებელი ნიშნები. სწორი პასუხის მისაღებად ცვლადის მნიშვნელობის გამოთვლისას ისინი უნდა იქნას გათვალისწინებული.

"უთქმელი"

საიდუმლო არ არის, რომ უძველესი მათემატიკოსები ძირითადად რაციონალური რიცხვებით მოქმედებდნენ. ეს მოიცავს, როგორც ცნობილია, მთელი რიცხვები, რომლებიც გამოხატულია ჩვეულებრივი და ათობითი პერიოდული წილადებით, მოცემული საზოგადოების წარმომადგენლებით. ამასთან, ახლო და ახლო აღმოსავლეთის, ისევე როგორც ინდოეთის მეცნიერებმა, რომლებიც ავითარებდნენ ტრიგონომეტრიას, ასტრონომიას და ალგებრას, ასევე ისწავლეს ირაციონალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითად, ბერძნებმა იცოდნენ მსგავსი რაოდენობები, მაგრამ მათი სიტყვიერ ფორმაში ჩასმისას გამოიყენეს ცნება "ალოგოსი", რაც ნიშნავს "გამოუთქმელ". ცოტა მოგვიანებით, ევროპელებმა, მათ მიბაძვით, ასეთ ნომრებს "ყრუ" უწოდეს. ისინი განსხვავდებიან ყველა დანარჩენისგან იმით, რომ მათი წარმოდგენა შესაძლებელია მხოლოდ უსასრულო არაპერიოდული წილადის სახით, რომლის საბოლოო რიცხვითი გამოხატულება უბრალოდ შეუძლებელია. ამიტომ, უფრო ხშირად რიცხვთა სამეფოს ასეთი წარმომადგენლები იწერება რიცხვებისა და ნიშნების სახით, როგორც ზოგიერთი გამოხატულება, რომელიც მდებარეობს მეორე ან უფრო მაღალი ხარისხის ფესვის ქვეშ.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, შევეცადოთ განვსაზღვროთ ირაციონალური განტოლება. ასეთი გამონათქვამები შეიცავს ეგრეთ წოდებულ "გამოუთქმელ რიცხვებს", დაწერილი კვადრატული ფესვის ნიშნის გამოყენებით. ისინი შეიძლება იყოს ყველა სახის საკმაოდ რთული ვარიანტი, მაგრამ მათი უმარტივესი ფორმით ისინი ჰგავს ქვემოთ მოცემულ ფოტოში.

ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის დაწყებისას, პირველ რიგში, საჭიროა გამოვთვალოთ ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი.

აზრი აქვს გამოხატვას?

მიღებული მნიშვნელობების შემოწმების აუცილებლობა გამომდინარეობს თვისებებიდან, როგორც ცნობილია, ასეთი გამოთქმა მისაღებია და რაიმე მნიშვნელობა აქვს მხოლოდ გარკვეულ პირობებში. ლუწი გრადუსიანი ფესვების შემთხვევაში, ყველა რადიკალური გამონათქვამი უნდა იყოს დადებითი ან ნულის ტოლი. თუ ეს პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ წარმოდგენილი მათემატიკური აღნიშვნა არ შეიძლება ჩაითვალოს მნიშვნელოვნად.

მოდით მოვიყვანოთ კონკრეტული მაგალითი, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ირაციონალური განტოლებები (სურათი ქვემოთ).

ამ შემთხვევაში, აშკარაა, რომ მითითებული პირობები არ შეიძლება დაკმაყოფილდეს სასურველი მნიშვნელობით მიღებული ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, რადგან გამოდის, რომ 11 ≤ x ≤ 4. ეს ნიშნავს, რომ მხოლოდ Ø შეიძლება იყოს გამოსავალი.

ანალიზის მეთოდი

ზემოაღნიშნულიდან ირკვევა, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ზოგიერთი სახის ირაციონალური განტოლება. აქ მარტივი ანალიზი შეიძლება იყოს ეფექტური გზა.

მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი, რომელიც კიდევ ერთხელ ნათლად აჩვენებს ამას (სურათი ქვემოთ).

პირველ შემთხვევაში, გამონათქვამის ფრთხილად შესწავლის შემდეგ, მაშინვე აღმოჩნდება უკიდურესად ნათელი, რომ ეს არ შეიძლება იყოს სიმართლე. მართლაც, ტოლობის მარცხენა მხარეს უნდა მივიღოთ დადებითი რიცხვი, რომელიც არ შეიძლება იყოს -1-ის ტოლი.

მეორე შემთხვევაში, ორი დადებითი გამონათქვამის ჯამი შეიძლება ჩაითვალოს ნულის ტოლად მხოლოდ მაშინ, როდესაც x - 3 = 0 და x + 3 = 0 ერთდროულად. და ეს ისევ შეუძლებელია. და ეს ნიშნავს, რომ პასუხი კვლავ უნდა დაიწეროს Ø.

მესამე მაგალითი ძალიან ჰგავს ადრე განხილულს. მართლაც, აქ ODZ-ის პირობები მოითხოვს, რომ დაკმაყოფილდეს შემდეგი აბსურდული უტოლობა: 5 ≤ x ≤ 2. და ასეთ განტოლებას არ შეიძლება ჰქონდეს გონივრული ამონახსნები.

შეუზღუდავი მასშტაბირება

ირაციონალურის ბუნება ყველაზე მკაფიოდ და სრულად შეიძლება აიხსნას და შევიტყოთ მხოლოდ ათობითი რიცხვების გაუთავებელი სერიებით. ამ ოჯახის წევრების კონკრეტული, თვალსაჩინო მაგალითია პი. უმიზეზოდ არ არის ცნობილი ეს მათემატიკური მუდმივი უძველესი დროიდან, რომელიც გამოიყენება წრის გარშემოწერილობისა და ფართობის გამოსათვლელად. მაგრამ ევროპელებს შორის ის პირველად გამოიყენეს ინგლისელმა უილიამ ჯონსმა და შვეიცარიელმა ლეონარდ ეილერმა.

ეს მუდმივი წარმოიქმნება შემდეგნაირად. თუ შევადარებთ სხვადასხვა წრეწირის წრეებს, მაშინ მათი სიგრძისა და დიამეტრის თანაფარდობა აუცილებლად იგივე რიცხვის ტოლია. ეს არის პი. თუ მას ჩვეულებრივი წილადით გამოვხატავთ, დაახლოებით მივიღებთ 22/7-ს. ეს პირველად გააკეთა დიდმა არქიმედესმა, რომლის პორტრეტი ნაჩვენებია ზემოთ მოცემულ ფიგურაში. სწორედ ამიტომ მიიღო ასეთი რიცხვი მისი სახელი. მაგრამ ეს არ არის მკაფიო, მაგრამ ალბათ ყველაზე გასაოცარი რიცხვების სავარაუდო მნიშვნელობა. ბრწყინვალე მეცნიერმა იპოვა სასურველი მნიშვნელობა 0,02 სიზუსტით, მაგრამ, ფაქტობრივად, ამ მუდმივას არა აქვს რეალური მნიშვნელობა, არამედ გამოიხატება როგორც 3,1415926535... ეს არის რიცხვების გაუთავებელი სერია, რომელიც განუსაზღვრელად უახლოვდება რაღაც მითურ მნიშვნელობას.

კვადრატი

მაგრამ დავუბრუნდეთ ირაციონალურ განტოლებებს. უცნობის საპოვნელად, ამ შემთხვევაში ისინი ხშირად მიმართავენ მარტივ მეთოდს: არსებული თანასწორობის ორივე მხარის კვადრატს. ეს მეთოდი ჩვეულებრივ კარგ შედეგს იძლევა. მაგრამ უნდა გავითვალისწინოთ ირაციონალური რაოდენობების მზაკვრულობა. ამის შედეგად მიღებული ყველა ფესვი უნდა შემოწმდეს, რადგან შეიძლება არ იყოს შესაფერისი.

მაგრამ მოდით გავაგრძელოთ მაგალითების ყურება და შევეცადოთ ვიპოვოთ ცვლადები ახლად შემოთავაზებული მეთოდის გამოყენებით.

სულაც არ არის რთული ვიეტას თეორემის გამოყენებით რაოდენობების სასურველი მნიშვნელობების პოვნა მას შემდეგ, რაც გარკვეული ოპერაციების შედეგად ჩამოვაყალიბეთ კვადრატული განტოლება. აქ გამოდის, რომ ფესვებს შორის იქნება 2 და -19. თუმცა, შემოწმებისას, მიღებული მნიშვნელობების ორიგინალურ გამონათქვამში ჩანაცვლებისას, შეგიძლიათ დარწმუნდეთ, რომ არცერთი ეს ფესვი არ არის შესაფერისი. ეს ჩვეულებრივი მოვლენაა ირაციონალურ განტოლებებში. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენს დილემას კვლავ არ აქვს გადაწყვეტილებები და პასუხი უნდა მიუთითებდეს ცარიელ ნაკრებზე.

უფრო რთული მაგალითები

ზოგიერთ შემთხვევაში აუცილებელია გამოხატვის ორივე მხარის კვადრატი არა ერთხელ, არამედ რამდენჯერმე. მოდით შევხედოთ მაგალითებს, სადაც ეს საჭიროა. ისინი შეგიძლიათ იხილოთ ქვემოთ.

ფესვების მიღების შემდეგ არ უნდა დაგვავიწყდეს მათი შემოწმება, რადგან შეიძლება ზედმეტი აღმოჩნდეს. უნდა ავხსნათ, რატომ არის ეს შესაძლებელი. ამ მეთოდის გამოყენებისას განტოლება გარკვეულწილად რაციონალიზაცია ხდება. მაგრამ იმ ფესვებისგან, რომლებიც არ მოგვწონს, რაც ხელს გვიშლის არითმეტიკული მოქმედებების შესრულებაში მოშორებით, ჩვენ თითქოს ვაფართოებთ მნიშვნელობების არსებულ დიაპაზონს, რაც სავსეა (როგორც შეიძლება გაიგოს) შედეგებით. ამის მოლოდინში ჩვენ ვახორციელებთ შემოწმებას. ამ შემთხვევაში, არსებობს შანსი, დარწმუნდეთ, რომ მხოლოდ ერთი ფესვია შესაფერისი: x = 0.

სისტემები

რა უნდა მოვიმოქმედოთ იმ შემთხვევებში, როდესაც ირაციონალური განტოლებების სისტემების ამოხსნა გვჭირდება და გვაქვს არა ერთი, არამედ ორი უცნობი? აქ ჩვენ ვმოქმედებთ ისევე, როგორც ჩვეულებრივ შემთხვევებში, მაგრამ ამ მათემატიკური გამონათქვამების ზემოაღნიშნული თვისებების გათვალისწინებით. და ყოველ ახალ ამოცანაში, რა თქმა უნდა, უნდა გამოიყენოთ შემოქმედებითი მიდგომა. მაგრამ, კიდევ ერთხელ, უმჯობესია განიხილოს ყველაფერი ქვემოთ წარმოდგენილი კონკრეტული მაგალითის გამოყენებით. აქ თქვენ არა მხოლოდ უნდა იპოვოთ x და y ცვლადები, არამედ მიუთითოთ მათი ჯამი პასუხში. ასე რომ, არსებობს სისტემა, რომელიც შეიცავს ირაციონალურ რაოდენობას (იხილეთ სურათი ქვემოთ).

როგორც ხედავთ, ასეთი დავალება არ წარმოადგენს რაიმე ზებუნებრივად რთულს. თქვენ უბრალოდ უნდა იყოთ ჭკვიანი და გამოიცნოთ, რომ პირველი განტოლების მარცხენა მხარე არის ჯამის კვადრატი. მსგავსი ამოცანები გვხვდება ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში.

ირაციონალური მათემატიკაში

ყოველ ჯერზე, ახალი ტიპის რიცხვების შექმნის აუცილებლობა ჩნდებოდა კაცობრიობაში, როდესაც მას არ ჰქონდა საკმარისი „სივრცე“ ზოგიერთი განტოლების ამოსახსნელად. გამონაკლისი არ არის ირაციონალური რიცხვები. როგორც ისტორიიდან მოწმობს ფაქტები, დიდმა ბრძენებმა ამაზე პირველად ყურადღება მიაქციეს ჯერ კიდევ ჩვენს წელთაღრიცხვამდე, VII საუკუნეში. ეს გააკეთა მათემატიკოსმა ინდოეთიდან, რომელიც ცნობილია როგორც მანავა. მას აშკარად ესმოდა, რომ შეუძლებელი იყო ფესვის ამოღება ზოგიერთი ნატურალური რიცხვიდან. მაგალითად, მათ შორისაა 2; 17 ან 61, ისევე როგორც მრავალი სხვა.

ერთ-ერთი პითაგორაელი, მოაზროვნე, სახელად ჰიპასუსი, იმავე დასკვნამდე მივიდა, როდესაც ცდილობდა გამოთვლები გაეკეთებინა პენტაგრამის გვერდების რიცხვითი გამოსახულებების გამოყენებით. აღმოაჩინა მათემატიკური ელემენტები, რომლებიც ვერ გამოისახება რიცხვითი მნიშვნელობებით და არ გააჩნიათ ჩვეულებრივი რიცხვების თვისებები, მან იმდენად გააბრაზა კოლეგები, რომ გემზე გადააგდეს ზღვაში. ფაქტია, რომ სხვა პითაგორაელები მის მსჯელობას სამყაროს კანონების წინააღმდეგ აჯანყებად მიიჩნევდნენ.

რადიკალის ნიშანი: ევოლუცია

"ყრუ" რიცხვების რიცხვითი მნიშვნელობის გამოსახატავად ძირეული ნიშანი დაუყოვნებლივ არ დაიწყო გამოყენება ირაციონალური უტოლობებისა და განტოლებების ამოხსნისას. ევროპელმა, კერძოდ კი იტალიელმა მათემატიკოსებმა რადიკალზე პირველად დაიწყეს ფიქრი მე-13 საუკუნეში. ამავდროულად, მათ გაუჩნდათ ლათინური R-ის გამოყენების იდეა, მაგრამ გერმანელი მათემატიკოსები განსხვავებულად მოქმედებდნენ თავიანთ ნამუშევრებში. მათ უფრო მეტად მოეწონათ ასო V გერმანიაში მალევე გავრცელდა აღნიშვნა V(2), V(3), რომელიც მიზნად ისახავდა გამოეხატა კვადრატული ფესვი 2, 3 და ა.შ. მოგვიანებით ჰოლანდიელები ჩაერივნენ და რადიკალის ნიშანი შეცვალეს. და რენე დეკარტმა დაასრულა ევოლუცია, კვადრატული ფესვის ნიშანი თანამედროვე სრულყოფილებამდე მიიყვანა.

ირაციონალურის მოშორება

ირაციონალური განტოლებები და უტოლობები შეიძლება შეიცავდეს ცვლადს არა მხოლოდ კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ. ეს შეიძლება იყოს ნებისმიერი ხარისხის. მისგან თავის დაღწევის ყველაზე გავრცელებული გზაა განტოლების ორივე მხარის შესაბამის სიმძლავრემდე აწევა. ეს არის მთავარი მოქმედება, რომელიც ეხმარება ირაციონალურთან ოპერაციებში. ლუწი შემთხვევების მოქმედებები განსაკუთრებით არ განსხვავდება იმისგან, რაც უკვე განვიხილეთ. აქ გასათვალისწინებელია რადიკალური გამოხატვის არანეგატიურობის პირობები და ამოხსნის ბოლოს აუცილებელია ცვლადების ზედმეტი მნიშვნელობების გაფილტვრა ისე, როგორც უკვე განხილულ მაგალითებში იყო ნაჩვენები. .

დამატებით გარდაქმნებს შორის, რომლებიც სწორი პასუხის პოვნაში გვეხმარება, ხშირად გამოიყენება გამოხატვის გამრავლება მის კონიუგატზე და ასევე ხშირად საჭიროა ახალი ცვლადის შემოღება, რაც ამოხსნას აადვილებს. ზოგიერთ შემთხვევაში, მიზანშეწონილია გამოიყენოთ გრაფიკები უცნობის მნიშვნელობის საპოვნელად.

ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

გაკვეთილისთვის წინასწარი მომზადება: მოსწავლეებმა უნდა შეძლონ ირაციონალური განტოლებების ამოხსნა სხვადასხვა გზით.

ამ გაკვეთილამდე სამი კვირით ადრე მოსწავლეები იღებენ საშინაო დავალებას ნომერი 1: ამოხსნიან სხვადასხვა ირაციონალურ განტოლებებს. (მოსწავლეები დამოუკიდებლად პოულობენ 6 სხვადასხვა ირაციონალურ განტოლებას და ამოხსნიან წყვილებში).

ამ გაკვეთილამდე ერთი კვირით ადრე მოსწავლეები იღებენ No2 საშინაო დავალებას, რომელსაც ინდივიდუალურად ასრულებენ.

1. ამოხსენით განტოლებასხვადასხვა გზები.

2. შეაფასეთ თითოეული მეთოდის დადებითი და უარყოფითი მხარეები.

3. დასკვნები ჩაწერეთ ცხრილის სახით.

№ პ/პ	გზა	უპირატესობები	ხარვეზები

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:ამ თემაზე მოსწავლეთა ცოდნის განზოგადება, ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდის დემონსტრირება, სტუდენტების უნარი კვლევითი პერსპექტივიდან მიუდგეს განტოლებების ამოხსნას.

საგანმანათლებლო:დამოუკიდებლობის ხელშეწყობა, სხვების მოსმენისა და ჯგუფებში კომუნიკაციის უნარი, საგნისადმი ინტერესის გაზრდა.

განმავითარებელი:ლოგიკური აზროვნების, ალგორითმული კულტურის, თვითგანათლების უნარების განვითარება, თვითორგანიზება, წყვილებში მუშაობა საშინაო დავალების შესრულებისას, ანალიზის, შედარების, განზოგადებისა და დასკვნების გამოტანის უნარები.

აღჭურვილობა: კომპიუტერი, პროექტორი, ეკრანი, ცხრილი „ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის წესები“, პოსტერი ციტატით M.V. ლომონოსოვი „მათემატიკა მხოლოდ მაშინ უნდა ისწავლებოდეს, რადგან ის გონებას აწესრიგებს“, ბარათები.

ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის წესები.

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი-სემინარი (5-6 კაციან ჯგუფებში მუშაობა, თითოეულ ჯგუფს უნდა ჰყავდეს ძლიერი მოსწავლეები).

გაკვეთილების დროს

მე . ორგანიზების დრო

(გაკვეთილის თემისა და მიზნების კომუნიკაცია)

II . კვლევითი სამუშაოს „ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები“ პრეზენტაცია

(ნამუშევარი წარმოდგენილია სტუდენტის მიერ, რომელმაც ეს გააკეთა.)

III . საშინაო დავალების ამოხსნის მეთოდების ანალიზი

(თითოეული ჯგუფიდან ერთი მოსწავლე იწერს დაფაზე შემოთავაზებულ გადაწყვეტის მეთოდებს. თითოეული ჯგუფი აანალიზებს გადაწყვეტის ერთ-ერთ მეთოდს, აფასებს უპირატესობებსა და ნაკლოვანებებს და აკეთებს დასკვნებს. ჯგუფებში მოსწავლეები საჭიროების შემთხვევაში ამატებენ. ჯგუფის ანალიზი და დასკვნები. ფასდება პასუხები მკაფიო და სრული.)

პირველი მეთოდი: განტოლების ორივე მხარის იმავე სიმძლავრის აწევა და შემდეგ შემოწმება.

გამოსავალი.

მოდი ისევ გავაფორმოთ განტოლების ორივე მხარე:

აქედან

გამოცდა:

1. თუx=42 მაშინ, რაც ნიშნავს რიცხვს42 არ არის განტოლების ფესვი.

2. თუx=2, მაშინ, რაც ნიშნავს რიცხვს2 არის განტოლების ფესვი.

პასუხი:2.

№ პ/პ	გზა	უპირატესობები	ხარვეზები
	განტოლების ორივე მხარის ერთსა და იმავე ხარისხზე აწევა	1. ვხედავ. 2 ხელმისაწვდომია.	1. სიტყვიერი ჩანაწერი. 2. რთული გადამოწმება.

დასკვნა. ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას განტოლების ორივე მხარის ერთსა და იმავე სიძლიერეზე აწევით, აუცილებელია სიტყვიერი ჩანაწერის შენარჩუნება, რაც ამონახსნს გასაგებს და მისაწვდომს ხდის. თუმცა, სავალდებულო გადამოწმება ზოგჯერ რთული და შრომატევადია. ამ მეთოდის გამოყენება შესაძლებელია 1-2 რადიკალის შემცველი მარტივი ირაციონალური განტოლებების ამოსახსნელად.

მეორე მეთოდი: ეკვივალენტური გარდაქმნები.

გამოსავალი:მოდი განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ:

პასუხი:2.

№ პ/პ	გზა	უპირატესობები	ხარვეზები
	ექვივალენტური გარდაქმნები	1. სიტყვიერი აღწერის ნაკლებობა. 2. არანაირი დამოწმება. 3. ლოგიკური აღნიშვნის გასუფთავება. 4. ეკვივალენტური გადასვლების თანმიმდევრობა.	1. რთული ჩანაწერი. 2. სისტემისა და ნაკრების ნიშნების შეთავსებისას შეიძლება შეცდომა დაუშვა.

დასკვნა. ეკვივალენტური გადასვლების მეთოდის გამოყენებით ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას, თქვენ მკაფიოდ უნდა იცოდეთ, როდის დააყენოთ სისტემის ნიშანი და როდის დააყენოთ აგრეგატის ნიშანი. ჩანაწერების უხერხულობა და სისტემური და კომბინირებული სიმბოლოების სხვადასხვა კომბინაცია ხშირად შეცდომებს იწვევს. ამასთან, ეკვივალენტური გადასვლების თანმიმდევრობა, მკაფიო ლოგიკური აღნიშვნა სიტყვიერი აღწერის გარეშე, რომელიც არ საჭიროებს შემოწმებას, ამ მეთოდის უდავო უპირატესობაა.

მესამე მეთოდი: ფუნქციონალურ-გრაფიკული.

გამოსავალი.

მოდით შევხედოთ ფუნქციებსდა.

1. ფუნქციადამამშვიდებელი; იზრდება, რადგან მაჩვენებელი არის დადებითი (არა მთელი რიცხვი).

დ(ვ).

მოდით შევქმნათ მნიშვნელობების ცხრილიxდავ( x).

	1,5		3,5
f(x)

2. ფუნქციადამამშვიდებელი; მცირდება.

მოდი ვიპოვოთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენიდ( გ).

მოდით შევქმნათ მნიშვნელობების ცხრილიxდაგ( x).

g(x)

მოდით ავაშენოთ ეს ფუნქციის გრაფიკები ერთ კოორდინატულ სისტემაში.

ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება აბსცისის წერტილშიიმიტომ რომ ფუნქციავ( x) იზრდება და ფუნქციაგ( x) მცირდება, მაშინ განტოლების მხოლოდ ერთი ამონახსნი იქნება.

პასუხი: 2.

№პ/პ	გზა	უპირატესობები	ხარვეზები
	ფუნქციონალურ-გრაფიკული	1. ხილვადობა. 2. არ არის საჭირო რთული ალგებრული გარდაქმნების გაკეთება და ODZ-ის მონიტორინგი. 3. საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ გადაწყვეტილებების რაოდენობა.	1. სიტყვიერი ჩანაწერი. 2. ზუსტი პასუხის პოვნა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი და თუ პასუხი ზუსტია, მაშინ გადამოწმებაა საჭირო.

დასკვნა. ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი ვიზუალურია და საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ გადაწყვეტილებების რაოდენობა, მაგრამ უმჯობესია გამოიყენოთ იგი, როდესაც ადვილად შეძლებთ განსახილველი ფუნქციების გრაფიკების აგებას და ზუსტი პასუხის მიღებას. თუ პასუხი სავარაუდოა, მაშინ უმჯობესია გამოიყენოთ სხვა მეთოდი.

მეოთხე მეთოდი: ახალი ცვლადის დანერგვა.

გამოსავალი.შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები, აღსანიშნავადჩვენ ვიღებთ სისტემის პირველ განტოლებას

შევქმნათ სისტემის მეორე განტოლება.

ცვლადისთვის:

ცვლადისთვის

Ამიტომაც

ვიღებთ ორი რაციონალური განტოლების სისტემას, მიმართებითდა

ცვლადზე დაბრუნება, ვიღებთ

ახალი ცვლადის დანერგვა

გამარტივება - განტოლებათა სისტემის მიღება, რომელიც არ შეიცავს რადიკალებს

1. ახალი ცვლადების DID-ის თვალყურის დევნების საჭიროება

2. საწყის ცვლადში დაბრუნების აუცილებლობა

დასკვნა. ეს მეთოდი საუკეთესოდ გამოიყენება ირაციონალური განტოლებისთვის, რომლებიც შეიცავს სხვადასხვა ხარისხის რადიკალებს, ან იდენტურ მრავალწევრებს ძირის ნიშნის ქვეშ და ძირის ნიშნის უკან, ან საპასუხო გამონათქვამებს ძირის ნიშნის ქვეშ.

- ასე რომ, ბიჭებო, თითოეული ირაციონალური განტოლებისთვის თქვენ უნდა აირჩიოთ მისი ამოხსნის ყველაზე მოსახერხებელი გზა: გასაგები. ხელმისაწვდომი, ლოგიკურად და კომპეტენტურად შემუშავებული. ასწიეთ ხელი, რომელი თქვენგანი ურჩევნია:

1) განტოლების ორივე მხარის ერთსა და იმავე სიმძლავრის აწევის მეთოდი გადამოწმებით;

2) ეკვივალენტური გარდაქმნების მეთოდი;

3) ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი;

4) ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდი.

IV . პრაქტიკული ნაწილი

(მუშაობა ჯგუფურად. მოსწავლეთა თითოეული ჯგუფი იღებს ბარათს განტოლებით და ხსნის მას რვეულებში. ამ დროს ჯგუფიდან ერთი წარმომადგენელი ხსნის მაგალითს დაფაზე. თითოეული ჯგუფის მოსწავლეები წყვეტენ იმავე მაგალითს, როგორც წევრი. დააჯგუფეთ და აკონტროლეთ დაფაზე სწორი შესრულების ამოცანები, თუ დაფაზე პასუხისმგებელი პირი უშვებს შეცდომებს, მაშინ ის, ვინც მათ ამჩნევს, აწევს ხელს და ეხმარება მათ გამოსწორებაში გაკვეთილის მსვლელობისას მისმა ჯგუფმა უნდა ჩაწეროს ბლოკნოტში სხვა შეთავაზებული ჯგუფები და მოაგვაროს ისინი სახლში.)

ჯგუფი 1.

ჯგუფი 2.

ჯგუფი 3.

ვ . დამოუკიდებელი მუშაობა

(ჯგუფებში ჯერ იმართება დისკუსია, შემდეგ კი მოსწავლეები იწყებენ დავალების შესრულებას. ეკრანზე ნაჩვენებია მასწავლებლის მიერ მომზადებული სწორი გამოსავალი).

VI . გაკვეთილის შეჯამება

ახლა თქვენ იცით, რომ ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისთვის საჭიროა გქონდეთ კარგი თეორიული ცოდნა, მათი პრაქტიკაში გამოყენების უნარი, ყურადღება, შრომისმოყვარეობა და ინტელექტი.

Საშინაო დავალება

ამოხსენით გაკვეთილზე ჯგუფებისთვის მიცემული განტოლებები.